常微分方程(王高雄)1

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1、常微分方程 Ordinary Differential Equation 教材及参考资料 教 材 常微分方程 第三版 王高雄等 高教出版社 参考书目 1 常微分方程 东北师大数学系编 高教出版社 2 常微分方程讲义 王柔怀 伍卓群编 高教出版社 3 常微分方程及其应用 周义仓等编 科学出版社 4 微分方程定性理论 张芷芬等编 科学出版社 教学安排 第1周 第18周 共72学时 第5周周一 4 6 清明节 第8周周五 5 1 劳 动节 第16周周一 6 22 端午节放假 实际 授课时66学时 授课内容 第1章 第5章 考试安排 在结课后一周考试 总成绩 平时 20 期末 80 有 小论文可以加分

2、 每周五课后按学号尾数 单双号交替交作业 答疑地点 25教15楼 尚月强办公室 第一章 绪论 常微分方程是现代数学的一个重要分支 是 人们解决各种实际问题的有效工具 它在几 何 力学 物理 电子技术 航空航天 生 命科学 经济领域等都有广泛的应用 随着计算技术和计算机的快速发展 常微分 方程已经渗透到自然科学 社会科学 工程 技术等学科的任何一个领域 正发挥着越来 越大的作用 动力系统 Dynamical system describes the evolution of a state over time http www scholarpedia org article History o

3、f dynamical systems Philip Holmes 2007 Scholarpedia 2 5 1843 Curator Dr Eugene M Izhikevich Editor in Chief of Scholarpedia the free peer reviewed encyclopedia 第一章 绪论 线性方程 二次方程 高次方程 指数方程 对 数方程 三角方程和方程组 这些方程都是要把研究问题中的已知数和未知数 之间的关系找出来 列出包含一个未知数或几个 未知数的一个或者多个方程式 在实际工作中 常常出现一些特点和以上 方程完全不同的问题 比如 某个物体在重力作

4、用下自由下落 要寻求下落距离随时间变化的规律 火箭在发动机推动下在空间飞行 要寻求 它飞行的轨道等 研究这些问题所建立的数学方程不仅与未 知函数有关 而且与未知函数的导数有关 这就是我们要研究的微分方程 基本思想 把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系 找出来 从列出的包含未知函数及其导数的一个 或几个方程中去求得未知函数的表达式 即求解 微分方程 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的 牛顿在建立微积分的同时 对简单的微分方程用 级数来求解 瑞士数学家雅各布 贝努利 欧拉 法国数学家克 雷洛 达朗贝尔 拉格朗日等人又不断地研究和 丰富了微分方程的理论 法国数学家Poincare及前苏联数

5、学家Lyapunov等 对现代微分方程理论的建立做出了巨大的贡献 常微分方程的形成与发展是和力学 天文学 物 理学 以及其他科学技术的发展密切相关的 数学的其他分支的新发展 如复变函数 李群 组合拓扑学等 都对常微分方程的发展产生了深 刻的影响 当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理 论研究提供了非常有力的工具 1 1 常微分方程模型 RLC电路 数学摆 人口模型 传染病模型 两生物种群生态模型 Lorenz方程 RL电路 基尔霍夫 Kirchhoff 第二定律 在闭合回路中 所有支路上的电压的代数和等于零 RLC电路 数学摆摆 数学摆摆是系于一根长长度为为 的线线上而质质量为为 的质质点

6、M 在重力作用下 它在垂直于地面的平面上沿圆圆周运动动 如图图所示 试试确定摆摆的运动动方程 解 Newton第二定律 取反时针时针 运动动方向为计为计 量摆摆与铅铅垂线线所成的角 的正 方向 则则由Newton第二定律 得到摆摆的运动动方程为为 附注1 如果研究摆摆的微小振动动 即当 比较较小时时 可以取 的近似值值 代入上式 这样这样 就得到微小振动时摆动时摆 的运动动方程 附注2 假设摆设摆 是在一个有粘性的介质质中作摆动摆动 如果阻力 系数为为 则摆则摆 的运动动方程为为 附注3 假设摆还设摆还 沿着摆摆的运动动方向受到一个外力F t 的 作用 则摆则摆 的运动动方程为为 人口模型 马

7、尔萨斯 Malthus 假设 在人口自然增长的过程 中 净相对增加率 单位时间内人口的净增长数与 人口总数之比 是常数 记为r 人口模型的改进 Verhulst 引入常数Nm 环境最大容纳量 假 设 净相对增长率为 logistic模型 传染病模型 假设传染病传播期间其地区总人数不变 为常数n 开始时染病人数为x0 在时刻t的 健康人数为y t 染病人数为x t 假设单位时间内一个病人能传染的人数与 当时的健康人数成正比 比例系数为k SI模型 易感染者 Susceptible y t 已感染者 Infective x t SIS模型 对无免疫性的传染病 假设病人治愈后会再次被 感染 设单位时

8、间治愈率为mu SIR模型 R 移出者 Removed 对有很强免疫性的传染病 假设病人治愈后不会在 被感染 设在时刻t的愈后免疫人数为r t 称为移出 者 而治愈率l为常数 两生物种群生态模型 意大利数学家沃特拉 Volterra 建立了一个 关于捕食鱼与被食鱼生长情形的数学模型 假设在时刻t 被食鱼的总数为x t 而捕食 鱼的总数为y t 假设单位时间内捕食鱼与被捕食鱼相遇的 次数为bxy 捕食鱼的自然减少率同它们的存在数目y成 正比 捕食鱼的自然增长率同它们它们的存在数 目y及被被捕食鱼x成正比 Volterra被捕食 捕食模型 两种群竞争模型 相互竞争同一资源 Lorenz方程 Lor

9、enz吸引子 系统总体稳定性和局部不稳定性 在吸引子外的一切运动都趋 向 吸引 到吸引子 一切到达吸引子内的运动都互相排斥 蝴蝶效应 一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶 偶尔扇动几 下翅膀 可以在两周以后引起美国德克萨斯州的一场龙卷 风 对初值的敏感性 电影 蝴蝶效应 当一个人小时候受到微小的心理刺激 长大后这个刺激会 被放大 分形 fractal 一个粗糙或零碎的几何形状 可以分成数个 部分 且每一部分都 至少近似地 是整体 缩小后的形状 总结 微分方程反映量与量之间的关系 与时间 有关 是一个动态系统 从已知的自然规律出发 考虑主要因素 构造出由自变量 未知函数及其导数的关 系史 即微

10、分方程 从而建立数学模型 数学模型的建立有多种方式 研究微分方程的解和解结构的性质 检查 是否与实际相吻合 不断改进模型 由微分方程发现或预测新的规律和性质 1 2 基本概念与常微分方程的发展史 1 2 1 常微分方程基本概念 定义 微分方程 联系自变量 未知函数及未知函数 导数 或微分 的关系式称为微分方程 例1 下列关系式都是微分方程 微分方程 如果在一个微分方程中 自变量的个数只有一个 则这样的微分方程称为常微分方程 都是常微分方程 常微分方程 如 如果在一个微分方程中 自变量的个数为两个或两 个以上 称为偏微分方程 注 本课程主要研究常微分方程 同时把常微分 方程简称为微分方程或方程

11、偏微分方程 如 都是偏微分方程 定义 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微 分的阶数称为微分方程的阶数 是一阶微分方程 是二阶微分方程 是四阶微分方程 微分方程的阶 如 n阶微分方程的一般形式为 是线性微分方程 线性和非线性 如 如果方程 是非线性微分方程 如 n阶线性微分方程的一般形式 不是线性方程的方程称为非线性方程 微分方程的解 定义 称为方程的显示解 例 证明 显式解与隐式解 隐式解 注 显式解与隐式解统称为微分方程的解 例如 有显式解 和隐式解 通解与特解 定义 如果微分方程的解中含有任意常数 且所 含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的 阶数相同 则称这样的解为该方程的通解

12、例如 n阶微分方程通解的一般形式为 注 例 证明 由于 故 又 类似可定义方程的隐式通解 如果微分方程的隐式解中含有任意常数 且所 含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的 阶数相同 则称这样的解为该方程的隐式通解 以后不区分显式通解和隐式通解 统称为方程的通解 隐式通解也称为 通积分 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解 称为方程的特解 例如 定义 定解条件 为了从通解中得到合乎要求的特解 必须根据实 际问题给微分方程附加一定的条件 称为定解条件 求满足定解条件的求解问题称为定解问题 常见的定解条件是初始条件 n阶微分方程的初始 条件是指如下的n个条件 当定解条件是初始条件时 相应的定解问

13、题称为初值问题 注1 n阶微分方程的初始条件有时也可写为 注2 例 P19 解 由于 且 解以上方程组得 积分曲线和方向场 积分曲线 一阶微分方程 称为微分方程的积分曲线 方向场 在方向场中 方向相同的点的几何轨迹称为等斜线 所规定的方向场 常微分方程求解的几何意义常微分方程求解的几何意义 在方向场中寻求一条曲线 使这条曲线上每一点切线的方向等于在方向场中寻求一条曲线 使这条曲线上每一点切线的方向等于 方向场中该点的方向 方向场中该点的方向 例例 画出方程画出方程 的方向场 的方向场 等倾线方程等倾线方程 即即 也就是说 方向场中每点的方向与该点等倾线垂直 也就是说 方向场中每点的方向与该点等

14、倾线垂直 x x y y o o 微分方程组 驻定与非驻定 动力系统 驻定 自治 非驻定 非自治 相空间 奇点和轨线 不含自变量 仅由未知函数组成的空间称为相空 间 积分曲线在相空间中的投影称为轨线 称为平衡解 驻定解 常数解 奇点 平衡点 垂直等倾线 水平等倾线 1 2 2 常微分方程的发展史 300多年前 Newton与Leibniz奠定微积分 基本思想的同时 就正式提出了微分方程的 概念 17世纪末到18世纪 常微分方程研究的中 心问题是如何求出通解的表达式 19世纪末到20世纪初 主要研究解的定性理 论与稳定性问题 20世纪进入新的阶段 定性上升到理论 进一 步发展分为解析法 几何方法 数值方法 解析方法 把微分方程的解看作是依靠这个 方程来定义的自变量的函数 几何方法 或定性方法 把微分方程的解看 作是充满平面或空间或其局部的曲线族 数值方法 求微分方程满足一定初始条件 或 边界 条件的解的近似值的各种方法 作业 P26 27 1 5 6 3 3 6