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1、四川省树德中学2018-2019学年高二下学期4月阶段性测试数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若为虚数单位，则的虚部为（ ）A. -1B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由复数的乘法运算，化简，进而可得出结果.【详解】因为，所以其虚部为-1故选A【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，以及复数的概念，熟记运算法则即可，属于基础题型.2.若为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算法则，即可求出结果.【详解】.故选D【点睛】本题主要考查复
2、数的除法运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.3.（ ）A. 3B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，根据微积分基本定理，即可求出结果.【详解】.故选B【点睛】本题主要考查定积分的计算，熟记微积分基本定理即可，属于基础题型.4.（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据定积分的几何意义，即可求出结果.【详解】因为表示圆面积的一半，所以.故选A【点睛】本题主要考查定积分的计算，熟记定积分的几何意义即可，属于基础题型.5.已知点，直线，则点到距离的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由点到直线距离公式得到，点到直线的距离为，再令，用导数的
3、方法求其最值，即可得出结果.【详解】点到直线的距离为：，令，则，由得，所以当时，单调递减；当时，单调递增；所以，所以.故选B【点睛】本题主要考查导数的应用，先将问题转为为求函数最值的问题，对函数求导，用导数的方法求函数最值，即可求解，属于常考题型.6.在上极小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先对函数求导，用导数方法判断函数单调性，进而可求出极值.【详解】因为，所以，令，所以或；因此，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；所以当时，取极小值，且极小值为.故选A【点睛】本题主要考查求函数的极小值，通常需要对函数求导，用导数的方法处理即可，属于常考题型.7.将周
4、长为4的矩形绕旋转一周所得圆柱体积最大时，长为（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】先设，得到，根据圆柱的体积公式，表示出圆柱的体积，再用导数的方法求解，即可得出结果.【详解】因为矩形周长为4，设，（）则，所以将周长为4的矩形绕旋转一周所得圆柱体积为，则，由得，解得；由得，解得；所以上单调递增；在上单调递减；所以当，即，时，取得最大值.故选B【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数最值即可，属于常考题型.8.如图，正方形内切圆，一直线由开始绕逆时针匀速旋转，角速度为弧度/秒，经秒后阴影面积为，则图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【
5、解析】分析】观察图像可知，阴影部分面积一直增加，再结合阴影部分面积增加的快慢，即可得出结果.【详解】观察图像可知，面积变化情况为：一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢；因此，对应函数的图像变化率先增大后减小，故选C【点睛】本题主要考查函数图像的识别，根据题意能确定函数变化率即可，属于常考题型.9.用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“到”左边增加的项数是（ ）A. 项B. 项C. 项D. 项【答案】D【解析】【分析】分别写出当，和时，左边的式子，分别得到其项数，进而可得出结果.【详解】当时，左边，易知分母为连续正整数，所以，共有项；当时，左边，共有项；所以从“到”左边增加的项数是项.故选D【点睛
6、】本题主要考查数学归纳法，熟记数学归纳法的一般步骤即可，属于常考题型.10.函数，有公共点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意先得到关于的方程有实根，再令，用导数方法求出其最小值，进而可求出结果.【详解】因函数，有公共点，所以关于的方程有实根，令，则，由得（不在范围内，舍去），所以当时，单调递增；当时，单调递减；所以；为使关于的方程有实根，只需，所以.故选C【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数有交点，转化为方程有实根的问题来处理，构造函数，利用导数的方法求函数最值，即可求解，属于常考题型.11.若，则，解集（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析
7、】先由函数解析式，以及函数奇偶性的定义，判断为偶函数，再用导数的方法判断函数单调性，再由函数奇偶性将不等式转化，进而可求出结果.【详解】因为，所以，即函数为偶函数，又，所以，当时，恒成立；所以在上单调递增，所以，故函数在上单调递增；又为偶函数，所以在上单调递减；所以，由可得，所以，即，解得.故选A【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，以及导数的应用，熟记函数奇偶性的定义，以及用导数的方法判断函数单调性即可，属于常考题型.12.已知，恰有三个不同零点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由题意，得到关于的方程有三个不同实根，进而得到曲线与直线、共有3个交点，求出过原点的曲线的
8、切线斜率，进而可得出结果.【详解】由得；又恰有三个不同零点，则关于的方程有三个不同实根，即曲线与直线、共有3个交点，设曲线上任意一点为，由得，所以该点处的切线斜率为，故过点的切线方程为，若该切线过原点，则，解得，此时，因为，所以直线与曲线有两交点，因此直线与曲线只有一个交点，所以与曲线相切，因此.故选D【点睛】本题主要考查根据函数的零点求参数的问题，可用导数的方法处理，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数_【答案】【解析】【分析】先由复数的除法运算，求出复数，进而可得出其共轭复数
9、.【详解】因为，所以，因此其共轭复数为故答案为【点睛】本题主要考查复数的运算，以及共轭复数，熟记运算法则与共轭复数的概念即可，属于基础题型.14.如图，两曲线，围成图面积_【答案】【解析】试题分析：作出如图的图象，联立，解得或，即点，所求面积为：.考点：定积分.15.，在上有最大值，则最大值为_【答案】3【解析】【分析】先对函数求导，求出，再由导数的方法研究函数单调性，进而可求出结果.【详解】因为，所以，因此，解得，所以，由得或；由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；所以当时，取极大值，由得或；又在上有最大值，所以只需.故答案3【点睛】本题主要考查导数的应用，由函数在给定区间
10、有最大值求参数，只需利用导数的方法研究函数单调性，即可求解，属于常考题型.16.在单调递增，则的范围是_【答案】【解析】【分析】由求导公式和法则求出，由题意可得在区间上恒成立，设，从而转化为，结合变量的范围，以及取值范围，可求得其最大值，从而求得结果.【详解】，则，因为函数在上单调增，可得在上恒成立，即，令，则，所以，因为在上是增函数，所以其最大值为，所以实数的取值范围是.【点睛】该题考查的是有关函数在给定区间上是增函数，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有导数与单调性的关系，恒成立问题向最值问题转换，注意同角的正余弦的和与积的关系.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说
11、明、证明过程或演算步骤.）17.若.（1）指出函数的单调递增区间；（2）求在的最大值和最小值.【答案】（1）在，递增；（2），【解析】【分析】（1）先对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，得到函数单调性，进而可求出其最值.【详解】（1）因为所以，由可得或；由可得；所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；故函数的单调递增区间为，；（2）因为，所以由（1）可得，在上单调递减，在上单调递增；因此，又，所以.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常先对函数求导，用导数的方法研究函数单调性，最值等，属于常考题型.18.已知在点处的切线方程为.（1）求的值；
12、（2）若，求常数取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由题意得到，对函数求导，根据题意得到，求解，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，得到，对函数求导，用导数方法得到其最大值，即可得出结果.【详解】（1）因为过点，所以，即；又，所以曲线在点处切线斜率为；所以切线方程为：，又在点处的切线方程为，.（2）由（1）可得，所以，由得；由得；所以在上单调递增，在上单调递减；因此；又，即.【点睛】本题主要考查由曲线的切线方程求参数，以及根据函数最值求参数的问题，熟记导数的几何意义，以及利用导数的方法求函数的最值即可，属于常考题型.19.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单
13、位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足，其中，为常数.已知销售价格为7元/千克时，每日可售出该商品11千克.（1）求的值；（2）若该商品成本为5元/千克，试确定销售价格值，使商场每日销售该商品所获利润最大.【答案】（1）（2）时，利润最大.【解析】【分析】（1）根据，以及题中条件，列出等式，即可求出的值；（2）设利润为，根据题意得到，用导数的方法求出其最大值，即可得出结果.【详解】（1）因为销售价格为7元/千克时，每日可售出该商品11千克，所以有，解得.（2）设利润为，由题意可得，所以，当时，单调递增；当时，单调递减；所以当时，取得最大值.即，当销售价格为6时，商场每日销售该商品所获利润最
14、大.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法求其最值即可，属于常考题型.20.已知.（1）若在有唯一零点，求值；（2）求在的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由得，令，用导数的方法求其最小值，进而可得出结果；（2）先对求导，分别讨论，三种情况，即可求出结果.【详解】（1）由得，令，由得；所以当时，单调递减；当时，单调递增；故因为在有唯一零点，所以只需与直线有一个交点， .（2），.当时，恒成立，所以在上单调递增，因此最小值为；当时，由得；由得；所以在上单调递减，在上单调递增；因此；当时，在上恒成立，所以在上单调递减；因此，最小值为；综上，.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的零点，最值等，属于常考题型.21.
