e的发现及应用高数论文

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1、题 目的发现及应用系 （院）化学工程学院专 业化学工程与工艺班 级学生姓名学 号本文主要论述了的发现历史，发现人物；在数学分析中的应用以及表示形式；在概率统计、常微分方程中的应用；在生活实际中的应用以及作用. 通过对的历史的学习和了解,在数学分析、概率统计、常微分方程和在生活实际中的应用，使自己在以后的学习和工作中更加重视的学习和应用，并自觉的应用有关的知识来解决理论及生活和实际中的问题，提高分析和解决问题的能力.关键词：；数学分析；概率统计；常微分方程；生活实际；应用第一章 的发现历史以及发现人物 历史上数的出现与关于对数的研究紧密相关.17 世纪初，苏格兰数学家John Napier等人发

2、明了对数.基于对数的理论，人们编制了对数表，制成了计算尺，使之成为数值计算的有效工具.当时除了Napier对数之外，还有一种自然对数，自然对数的出现是历史上第一件与数有关的事. 令人意外的是，不曾研究对数的数学家Jacob Bernoulli (雅可布贝努力) ，却首次给出了数的定义.他在 1683 年研究复利时，证明了当趋于无穷时，数列这个极限介于2与3之间.这个极限值就是后来人们称之为 的数.当然，Jacob Bernoulli当时并没有认识到这个极限与对数的关系，也没有把两者联系在一起. 数作为一个数学常数第一次被正式提出是在1690年.那年，著名数学家 Leibniz(莱布尼斯)在写给

3、Huygens的信中，提出了这个常数.但他把它记为， 而不是.把这个常数记作，并对它作了全深入研究的数学家是Euler(欧拉) . 他从1727年就开始研究它，并记之为.他得到了众多的发现.在1748年出版的书无穷小分析引论中，他把自己的发现作了完整的叙述与总结.他同样把数定义为极限，并证明了.他取了上述公式的 20项进行计算，给出了数的前18位:.他定义了以 为底的指数函数与对数函数(即自然对数).此外他还给出了数和以为底的数函数的幂级数展开式，以及它们的连分数展开式.第二章 在数学分析中的应用以及表示形式2.1 在数学分析中的应用在数学分析教科书中，几乎都会用较大的篇幅介绍和这个数学中最重

4、要的基本极限之一.为什么数学分析系统介绍和呢?因为要介绍数列的极限和函数的极限，就必须面临两个最重要的极限：和.那么，这个极限又有什么用呢？让我们举出以下几个著名的例子：例2.1 求，解 例2.2 求，解 设，得到和，就有， 例2.3 求.解 我们知道，在数学分析中，要牵涉到求导、微分、积分等，就必定会出现一些关于指数、对数的式子，必然涉及“底数”的问题，因此数学家们都希望选取使得这些式子具有最简洁形式的底数.那么，选什么数作底数好呢？我们来看一个实例.如果，那么.很显然，只有当的时候才具有最简洁的形式.同时，除1以外的任何数作底的代数函数，进行微积分以后，都会出现以为底的函数.在求导时我们学

5、习过对数求导法，下面看一个具体实例：例2.4 设 ，求.解 先对函数式取对数，得 再对上式两边分别求导数，得整理后得到从这个例题中我们能看出用对数求导法更为清晰，简便.在微积分中，有许多公式，其中有“基本极限”、“重要极限”和“基本积分”.其中到处都有的身影.通常，微分学中列出6个基本极限，其中4个含有，简直就是它的大半壁“江山”.而微分学中列出的重要极限中，下面6个也含有：在基本（不定）积分公式中，也有许多涉及，下面是其中5个积分后含的公式：在函数的幂级数展开中，我们知道的幂级数展开式是，利用它的展开式我们可以求非初等函数的幂级数展开式，下面看一个例子：例2.5 用间接方法求非初等函数的幂级

6、数展开式.解 以代替展开式的，得 ，再逐项求积就得到在上的展开式 在数学分析中，我们还学习过双曲函数，从它们的表达式中我们不难看出里面都含有，那么，双曲函数怎么会和“联姻结盟”呢？我们首先来看一看双曲函数是怎么定义的.在右图2.1中， y N M （ 图2.1） O A P x 设双曲角是单位双曲线的半径和与双曲弧之间那个扇形面积的两倍.过作这条双曲线的切线，交于，则等分别称为双曲正弦线、双曲余弦线、双曲正切线等，于是和的数量，就分别定义为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切设的坐标是，并利用不定积分公式 就可以算出的面积曲边的面积 这样就有和由和，就分别得到和进而得到和这样就得到：式中的“1”是的长

7、，当时，由算出中的正值，这样，双曲函数就和“联姻结盟”了.2.2 的表示形式在数学家的笔下，有关的式子就像魔术师手中的魔术，下面，我们再了解一下有关的几种表示形式.第一种是的连分数表达式. 第二种是我们知道的的极限表达式.第三种是我们知道的的阶乘表达式.第三章在概率统计、常微分方程中的应用3.1 在概率统计中的应用 除了在数学分析中应用，此外在概率统计、常微分方程中应用也非常广泛.在概率论中我们都学过普哇松分布.观察某电话局在单位时间内收到用户的呼叫次数、某公共汽车站在单位时间里来站乘车的乘客数、宇宙中单位体积内星球的个数、耕地上单位面积内杂草的数目等，如果相应的变量用表示，那么实践表明，的统

8、计规律近似地为：其中是某个常数，易于验证有这个分布称作是参数为的普哇松分布，并常常记作.（普哇松定理） 在重贝努里试验中，事件在一次试验中出现的概率为（与试验总数有关），如果当时，（常数），则有这个定理有什么用呢？首先，它可以用来作近似计算.在二项分布中，要计算，当和都比较大时，计算量是令人烦恼的，如果这时不太大（即较小），那么由普哇松定理就有（1）其中，而要计算，有专用的普哇松分布表可以查，这就方便多了.让我们来看一个例子：例3.1 已知某种疾病的发病率为，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数超过5的概率为多大？解 设该单位患有这种疾病的人数为，则，其中，这时如果直接计算，计算量

9、很大.由于很大，很小，这时不很大，可以利用普哇松定理，取，由（1）式就有查普哇松分布表可得，于是.从这个例子中，由于不太大，我们利用了普哇松定理作近似计算，比较方便的解决了问题.我们还可以利用普哇松分布来描述一家商店（每月）出售某种（非紧张）商品的件数.让我们来看下面的问题.一家商店采用科学管理.为此，在每一个月的月底要制订出下一个月的商品进货计划，为了不是商店的流动资金积压，月底的进货不宜过多，但为了保证人们的生活需要和完成每月的营业额，进货又不应该太少！这样的矛盾怎样才能合理解决呢？请看下面的例子.例3.2 又该商店过去的销售纪录知道，某种商品每月的销售数可以用参数的普哇松分布来描述，为了

10、以以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解 设该商店每月销售某种商品件，月底的进货为件，则当时就不会脱销，因而按题意要求为，因为已知服从的普哇松分布，上式也就是，有普哇松分布表知于是，这家商店只要在月底进货某种商品15件（假定上个月没有存货，）就可以以上的把握保证这种商品在下个月内不会脱销.在概率论中我们学过这样一个分布函数：我们称为正态分布，常常简单地记作.它的密度函数是，如果，我们常常称分布是标准正态分布，相应的分布函数记作，其表达式为. 正态分布是概率论中最重要的一个分支，高斯在研究误差理论时曾用它来刻划误差，所以在许多著作中也有称为高斯分布的.许多实际问题中的变量，

11、如测量误差、射击时弹着点与靶心间的距离、热力学中理想气体地分子速度、某地区成年男子的身高等都可以认为服从正态分布. 在常微分方程中，常系数线性微分方程可以用拉普拉斯变换法进行求解.由积分所定义的确定于复平面上的复变数的函数，称为函数的拉普拉斯变换，其中于有定义，且满足不等式，这里为某两个正常数，我们将称为原函数，而称为像函数.在这里，又奇迹般的出现了.3.2 在常微分方程中的应用拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程转换成复变数的代数方程，通过一些代数运算，一般地再利用拉普拉斯变换表，即可求出微分方程的解.下面我们看几个例子：例3.3 求方程满足初值条件的解.解 对方程两边

12、施行拉普拉斯变换，得到方程的解的像函数所应满足的方程，由此，并注意到，得.查拉普拉斯变换表，可得和的原函数分别为和.因此，利用线性性质，就求得的原函数为，这就是所要求得解.例3.4 求方程的满足初值条件的解.解 对方程两边施行拉普拉斯变换得，由此得把上式右端分解成部分分式，对上式右端各项分别求出其原函数，则它们的和就是的原函数，这就是所要求的解.在讨论常系数线性微分方程时，函数将起着重要的作用，这里是复值常数.设是任一复数，这里是实数，而为实变量，我们定义由上述立即推得如果以表示复数的共轭复数，那么容易证明 此外，函数还有下面重要性质： (1)； (2),其中为实变量；（3）.第四章在生活实际

13、中的应用以及作用在自然科学中有着重要的地位和作用.如原子物理和地质科学中考察放射性物质的衰变规律或地球年龄时要用到,在用齐奥尔科夫斯基公式算火箭速度时要用到，甚至算储蓄最优利息及生物增殖问题时用复利率,也“将一个数分成若干等份,要使各等份的乘积最大,怎么分 ?” 这个问题竟要和打交道！答案是,使等分的各份尽可能地接近. 如,因而把10分成4份,每份为 (接近),这时,是乘积最大的,若分成其它(如3或5)份数,乘积都小于39.现在让我们虚构一个有关复利计算的故事.某处有一家银行，它对客户储蓄的年利率是某客户甲在年初存入1元，年终取出，其本利和为1+1=2元某客户乙在年初存入1元，而在年中时(假定

14、恰好是1年之半时)取出，然后再将当时的本利和一并存入该行，则他在年终取出时本利和应为，多于客户甲之所获.某客户丙在年初存入1元，然后以一季(一年的)为周期，每一季办理一次存取手续，以获得复利.这样，客户丙在年终时，本利和应为，更多于某甲之所获.某客户丁在年初存入1元，然后要求银行，以天为单位作复利计算，那么年终时，他所得本利和应为.从理论上探讨，如果计算复利的周期无限缩短，或者说如果银行允许对客户时时刻刻均以复利计息，依旧假定年利率为，那么年初1元的本金到了年终时其本利和应为.上述极限很容易推广成下列形式这个极限是微积分学中两个重要极限之一.有了它，立刻就推出，其中，为任意实数.这个结果仍可用复利做出解释：上式告诉我们，如果银行的年利率不是 1，而是 ，在每时每刻以复利计息的条件下,那么年初的1元本金到了年终则其本利和为，这些故事当然是虚构的. 但自然界确实存着每时每刻“复利计息”的例子:比如放射物质的衰变所遵从的规律就是，其中 为放射物的初始质量,为放射物在时刻时的质量，为一正的常数.放射物质的衰变,相当于在前述例子中,利率为负数的情况, 初始值由1改为,而时间间隔从一年换从0到. 这样,以为底的指数函数描述这自然现象时有特殊意义.奇迹般地出现,还可举出数学上最值得称道的发现之一的“素数分布定