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1、 第二章 数列 2 3 等差数列的前n项和 复习回顾 1 等差数列的概念 2 等差数列的通项公式 an a1 n 1 d an an 1 d n N 且 n 2 3 数列 an 的前n项和 泰姬陵坐落于印度古都阿 格 是十七世纪莫卧儿帝国 皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所 建 她宏伟壮观 纯白大理 石砌建而成的主体建筑叫人 心醉神迷 成为世界七大奇 迹之一 陵寝以宝石镶饰 图案之细致令人叫绝 传说陵寝中有一个三角形 图案 以相同大小的圆宝石 镶饰而成 共有100层 见左 图 奢靡之程度 可见一 斑 你知道这个图案一共花 了多少宝石吗 探究发现 等差数列的前n项和 德国古代著名数学家高斯10岁的时候 很
2、快就解决了这个问题 1 2 3 100 你知道高斯是怎样算出来的吗 赶快开动脑筋 想一想 探究发现 问题 1 2 3 100 100 99 98 1 获得算法 图案中 第1层到第100层一共有多少颗 宝石 探究发现 问题 如果把两式左右两端相加 将会有什么结果 探究发现 思考 在正整数列中 前n个数的和是多少 在正整数列中 前n个偶数的和是多少 等差数列前n项和公式 1 2 n 2 4 2n 2 n n 1 n n 1 例1 2000年11月14日教育部下发了 关于在中 小学实施 校校通 的工程通知 某市据此提 出了实施 校校通 小学工程校园网 据测算 2001年该市用于 校校通 的总目标 从
3、2001年 起用10年的时间 在全市中小学建成不同标准的 校园网 据测算 2001年该市用于 校校通 工 程的经费为500万元 为了保证工程的顺利实施 计 划每年投入的资金都比上一年增加50万元 那么从 2001年起的未来10年内 该市在 校校通 工程中 的总投入是多少 解 依题意得 从2001 2010年 该市在 校校 通 工程的经费每年比上一年增加50万元 所以 每年投入的资金构成等差数列 an 且 a1 500 d 50 n 10 那么 到2010年 n 10 投入的资金总额为 答 从2001 2010年 该市在 校校通 工程中 的总投入是7250万元 例2 已知一个等差数列 an 的前
4、10项的和是 310 前20项的和是1220 由这些条件能确定这 个等差数列的前n项和的公式吗 分析 方 程思想和 前n项和 公式相结 合 分析 将已知条件代入等差数列前n 项和的公式后 可以得到两个关于首项和公差 的关系式 他们是关于首项和公差的二元一次 方程 由此可以求得首项和公差 从而得到所 求的前n项和的告诉 解 由题意知 S10 310 S20 1220 将 它们代入公式 得到 当n 1时 当n 1时 也满足 式 解析 由题意知 等差数列的公差为 于是 当n取与 最接近的整数即7或8时 取最大值 答案 27 练习1 练习2 等差数列 10 6 2 2 的前 项的和为54 答案 n 9 或n 3 舍去 仍是 知三 求一 1 等差数列前n项和的公式 2 等差数列前n项和公式的推导方法 倒序相加法 3 公式的应用 知三求一 两个 课堂小结
