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1、1 东北三省三校 2014 届高三数学第二次联合模拟考试题理 新人教 A 版 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共150 分 考试时间120 分钟 第 卷 选择题共 60 分 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 若 7 6 5 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 BAU 则 UU C AC BI A 4 8 B 2 4 6 8 C 1 3 5 7 D 1 2 3 5 6 7 2 已知复数 iz 2 3 2 1 则 zz A i 2 3 2 1 B i 2 3 2 1 C i 2 3 2 1 D i 2
2、 3 2 1 3 设随机变量 服从正态分布 9 2 N 若 cP 2 cP 则 c 的值是 A 1 B 2 C 3 D 4 4 已知 1 1 3 x qkxp 如果 p 是 q 的充分不必要条件 则实数k 的取值范围是 A 2 B 2 C 1 D 1 5 已知 ABC的内角 A B C的对边分别为a b c 且 BC A ac bc sinsin sin 则 B A 6 B 4 C 3 D 4 3 6 已知函数 1ln 2 xxf 的值域为 2 1 0 则满足这样条件的函数的个数为 A 8 B 9 C 26 D 27 7 已知 ABC中 16 10ACABBC D为边 BC的中点 则 AD 等
3、于 A 6 B 5 C 4 D 3 8 函数 4 2sin 2 xxh 的图象与函数 xf 的图象关于点 1 0 对称 则函数 xf 可 由 xh 经过的变换得到 2 A 向上平移2 个单位 向右平移 4个单位 B 向上平移2 个单位 向左平移 4的单位 C 向下平移2 个单位 向右平移 4个单位 D 向下平移2 个单位 向左平移 4 的单位 9 一个射箭运动员在练习时只记射中9 环和 10 环的成绩 未击中 9 环或 10 环就以 0 环记 该运动员在练习时击中10 环的概率为a 击中 9 环的概率为b 既未击中9 环也未击中10 环的概率为c a b c 1 0 如果已知该运动员一次射箭击
4、中环数的期望为9 环 则当 ba9 110 取最小值时 c 的值为 A 11 1 B 11 2 C 11 5 D 0 10 已知某算法的流程图如图所示 输入的数x 和 y 为自然数 若已知输出的有序数对为 14 13 则开始输入的有序数对 yx 可能为 A 7 6 B 6 7 C 5 4 D 4 5 11 已知双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 00 ba 的焦点 0 1 cF 0 0 2 ccF 过 F2 的 3 直线 l 交双曲线于A D两点 交渐近线于B C两点 设 mCFBF 11 nDFAF 11 则下列各式成立的是 A nm B nm C 0 nm D 0 nm 12 已知
5、方程 k x x cos 在 0 上有两个不同的解 则下列的四个命题 正确的是 A sin2 2 cos2 B cos2 2 sin2 C sin2 2 sin2 D cos2 2 sina2 第 卷 非选择题共 90 分 本卷包括必考题和选考题两部分 第13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共4 小题 每小题5 分 13 观察下列等式 23 11 233 321 2333 6321 23333 104321 根 据上述规律 第n 个等式为 14 某几何体的三视图如图所示 则该几何体外接球的体积为 15
6、在区间 2 0 和 1 0 分别取一个数 记为x y 则 xxy2 2 的概率为 16 P为正方体ABCD A1B1C1D1 对角线 BD1上的一点 且 BP BD1 1 0 下面结论 A1D C1P 若 BD1 平面 PAC 则 3 1 若 PAC为钝角三角形 则 2 1 0 若 1 3 2 则 PAC为锐角三角形 4 其中正确的结论为 写出所有正确结论的序号 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分12 分 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 对任意的正整数n 都有 an 5Sn 1成立 求数列 an 的通项公式 设 log 4nn ab 求数列 1 2nn
7、bb 前 n 项和 Tn 18 本小题满分12 分 某个团购网站为了更好地满足消费者需求 对在其网站发布的团购产品展开了用户调查 每 个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分 最高分是10 分 上个月该网站共卖出 了 100 份团购产品 所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值 将这些产品按照得分分 成以下几组 第一组 0 2 第二组 2 4 第三组 4 6 第四组 6 8 第五组 8 10 得到的频率分布直方图如图所示 分别求第三 四 五组的频率 该网站在得分较高的第三 四 五组中用分层抽样的方法抽取6 个产品 已知甲产品和乙产品均在第三组 求甲 乙同时被选中的概率 某人决定在这6 个产
8、品中随机抽取2 个购买 设第 4 组中有 X个产品被购买 求 X的分布 列和数学期望 19 本小题满分12 分 已知四棱柱ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为2 的菱形 AC BD O AA1 2 3 BD A1A BAD A1AC 60 点 M是棱 AA1的中点 求证 A1C 平面 BMD 求证 A1O 平面 ABCD 5 求直线BM与平面 BC1D 所成角的正弦值 20 本小题满分1 2 分 已知圆 1 2 22 yxM 直线 1 yl 动圆 P 与圆 M相外切 且与直线l 相切 设动圆圆心P的轨迹为E 求E的方程 定点A 4 2 B C为 E上的两个动点 若直线AB与直
9、线 AC垂直 求证 直线BC 恒过定点 21 本小题满分12 分 已知函数 0 1 2 a x bax xf 求证 xf 必有两个极值点 一个是极大值点 个是极小值点 设 xf 的极小值点为 极大值点为 1 1 ff 求 a b 的值 在 的条件下 设 x efxg 若对于任意实数x 2 2 2 mx xg 恒成立 求实数 m的取值范围 请考生在第22 23 24 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 作答时请 写清题号 22 本小题满分10 分 选修4 1 几何证明选讲 已知 PQ与圆 O相切于点A 直线 PBC交圆于 B C两点 D是圆上一点 且AB CD DC的延 长线交 P
10、Q于点 Q 求证 AC2 CQ AB 若AQ 2AP AB 3 BP 2 求 QD 23 本小题满分10 分 选修4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中 以原点O为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知曲线C1 的极坐标方程为 2 2 sin1 2 直线 l 的极坐标方程为 cossin2 4 写出曲线C1与直线 l 的直角坐标方程 设Q为曲线 C1上一动点 求Q点到直线l 距离的最小值 24 本小题满分10 分 选修4 5 不等式选讲 已知 1 222 cbaRcba 6 求证 3 cba 若不等式 2 1 1 cbaxx 对一切实数a b c 恒成立 求实数x 的取 值范围
11、 7 参考答案 二模理科数学参考答案 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A D C B C B D A A B C C 13 22 333 1 12 4 nn n 14 125 2 3 15 2 3 16 17 解 当 1n 时 111 1 51 4 aSa 2 分 又 11 51 51Q nnnn aSaS 11 5 nnn aaa 4 分 1 1 4 n n a a 即 数列 n a 是首项为 1 1 4 a 公比为 1 4 q 的等比数列 1 4 n n a 6 分 nb n n 4 1 log4 8 分 所以 2 11111 2 22 nn b bn nnn
12、 10 分 1111111111 1 1 232422212 n T nnnn L 12 分 18 解 第三组的频率是0 150 2 0 3 第四组的频率是0 100 2 0 2 第五组的频 率是 0 050 2 0 1 3 分 由题意可知 在分层抽样的过程中第三组应抽到6 0 5 3个 而第三组共有 100 0 3 30 个 所以甲乙两产品同时被选中的概率为 1 28 3 30 1 145 C P C 7 分 第四组共有X个产品被购买 所以X的取值为0 1 2 12 33 2 6 6 0 15 CC P X C 111 322 2 6 8 1 15 C CC P X C 2 2 2 6 1
13、2 15 C P X C 所以 X的分布列为 012 281 51515 X P 10 分 8 812 2 15153 EX 12 分 19 证明 连结MO 1 1 1 1 A MMA MOAC AOOC MOBMDACBMD ACBMD 平面平面 平面 3 分 11 BDAABDACBDA AC 得面 于是 1 BDA O ACBDO 11 1 1 1 1 603 2 2 2 3 cos60 ABCD BADAOAC AB AAAOAC AOABCD A AC AOBD o o 平面 7 分 如图建立直角坐标系 1 0 0 3 3 0 0 3 0 0 0 1 0 0 1 0 AACBD 11
14、1 2 3 0 0 2 3 0 3 ACACC u uuu ruu u r 3333 0 1 2222 MMB u uu r 1 0 2 0 2 3 1 3 DBBC u uu ruu uu r 9 设平面 1 BC D 的法向量为 nx y z r 11 20 0 3 0 2 2 330 0 y nDBn DB n yz nBCn BC ruu u rr uuu r r ruu uu rr uuu u r 9 分 9 cos 4 7 BM n uu uu r r 11 分 所以 直线BM与平面 1 BC D 所成角的正弦值为 9 7 28 12 分 20 设 P x y 则 222 2 1
15、18xyyxy 4 分 设直线 BC ykxb 1122 B x yC xy 将直线 BC代入到 2 8xy 中得 2 880 xkxb 所以 1212 8 8xxk x xb 5 分 又因为 1122 4 2 4 2 ABxyACxy u uu ru uu r 所以 12121212 22 1212 4 4 2 2 4 4 2 2 1 2 4 2 160 AB ACxxyyxxkxbkxb kx xk bxxb u uu r uuu r 22 8 1 8 2 4 2 160b kk k bb 2222 121632200 6 16 1 0bbkkbk 8 分 410bk 或 42bk 10
16、分 所以恒过定点 4 10 12 分 21 2 2 22 22 12 2 11 a xx axb axbxa fx xx 令 2 020fxaxbxa 22 4 0baQ 2 分 0fx 有两实根不妨记为 x 10 fx00 f x极小极大 所以 f x 有两个极值点 一个极大值点一个极小值 点 4 分 2 20axbxa 由韦达定理得 2b a 2 22 2 1 10 200 1 10 f ab ab f ab 6 分 00 1 1b 所以 2a 7 分 因为 2 2 0 1 x x e g x e 所以 0m 8 分 又因为当 0 x 时 不等式恒成立 所以 原问题 2 2 xx ee m x 对一切 00 xU 恒成立 法一 设 2 2 xx ee u x x 00 xU 2 43 2222 xxxxxxxx eexx eeeexee u x xx 设 22 xxxx h xeexee xxxx h xeexee xx h xeex 当 0 x 时 xx ee 所以 0h x 当 0 x 时 xx ee 所以 0hx 所以 h x 在R上单调递增 又因为 0 0h 所以当 0 x
