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1、1 上海市金山区 2015 届高考 数学一模试卷 一 填空题 本大题满分56 分 本大题共有14 题 考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果 每个空格填对得4 分 否则一律得零分 1 若集合M y y x 2 5 x R N y y x 2 则 M N 2 计算 3 不等式的解集是 4 如果复数z b R 的实部与虚部相等 则z 的共轭复数 5 方程 sinx cosx 1在 0 上的解是 6 等差数列 an 中 a2 8 S10 185 则数列 an 的通项公式an n N 7 当 a 0 b 0 且 a b 2 时 行列式的值的最大值是 8 若 x 12 的二项展开式中的常数项为m
2、则 m 9 从一堆苹果中任取5 只 称得它们的质量为 单位 克 125 124 121 123 127 则该 样本标准差s 克 用数字作答 10 三棱锥O ABC中 OA OB OC 2 且 BOC 45 则三棱锥O ABC体积的最大值是 11 从集合 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 中任取两个数 欲使取到的一个数大于k 另一个数小于k 其中 k 5 6 7 8 9 的概率是 则 k 12 已知点A 3 2 和圆 C x 4 2 y 8 2 9 一束光线从点 A发出 射到直线 l y x 1 后反射 入射点为B 反射光线经过圆周C上一点 P 则折线ABP的最短长度是 2 13 如图所
3、示 在长方体ABCD EFGH 中 AD 2 AB AE 1 M为矩形 AEHD 内的一点 如果 MGF MGH MG 和平面 EFG所成角的正切值为 那么点M到平面 EFGH 的距离是 14 已知点P x0 y0 在椭圆 C a b 0 上 如果经过点P的直线与椭圆 只有一个公共点时 称直线为椭圆的切线 此时点P称为切点 这条切线方程可以表示为 根据以上性质 解决以下问题 已知椭圆L 若 Q u v 是椭圆L 外一点 其中u v 为定值 经过 Q点作 椭圆 L 的两条切线 切点分别为A B 则直线AB的方程是 二 选择题 本大题满分20 分 本大题共有4 题 每题有且只有一个正确答案 考生应
4、在 答题纸的相应编号上 将代表答案的小方格涂黑 选对得5 分 否则一律得零分 15 复数 z1 a bi a b R i 为虚数单位 z2 b i 且 z1 z2 则 a 的取值范围是 A a 1 B a 0 C l a 1 D a 1 或 a 1 16 由数字1 2 3 4 5 组成没有重复数字的五位数 其中偶数共有 A 60 个B 48 个C 36 个D 24 个 17 设 k 1 f x k x 1 x R 在平面直角坐标系xOy 中 函数y f x 的图象 与 x 轴交于 A点 它的反函数y f 1 x 的图象与 y 轴交于 B点 并且这两个函数的图象交 于 P点 已知四边形OAPB的
5、面积是 3 则 k 等于 A 3 B C D 18 若集合A1 A2满足 A1 A2 A 则称 A1 A2 为集合A的一个分拆 并规定 当且仅当 A1 A2时 A1 A2 与 A2 A1 为集合A的同一种分拆 则集合A a1 a2 a3 的不同分 拆种数是 A 27 B 26 C 9 D 8 3 三 解答题 本大题满分74 分 本大题共有5 题 解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 19 a b c 分别是锐角 ABC 的内角 A B C的对边 向量 2 2sinA cosA sinA sinA cosA 1 sinA 且 已知 a ABC面积为 求 b c 的大小 2
6、0 如图 在四棱锥P ABCD的底面梯形ABCD 中 AD BC AB BC AB 1 AD 3 ADC 45 又 已知 PA 平面 ABCD PA 1 求 1 异面直线PD与 AC所成角的大小 结果用反三角函数值表示 2 四棱锥P ABCD 的体积 21 已知 a 0 且 a 1 数列 an 是首项与公比均为a 的等比数列 数列 bn 满足 bn an lgan n N 1 若 a 3 求数列 bn 的前 n项和 Sn 2 若对于n N 总有 bn bn 1 求 a 的取值范围 22 16 分 动点 P与点 F 0 1 的距离和它到直线l y 1 的距离相等 记点P的轨迹 为曲线 C 1 求
7、曲线C的方程 2 设点 A 0 a a 2 动点 T 在曲线 C上运动时 AT 的最短距离为a 1 求 a 的 值以及取到最小值时点T 的坐标 3 设 P1 P2为曲线 C的任意两点 满足OP1 OP2 O为原点 试问直线P1P2是否恒过一 个定点 如果是 求出定点坐标 如果不是 说明理由 23 18 分 设函数f x 2ka x k 3 a x a 0 且 a 1 是定义域为R的奇函数 1 求 k 值 2 若 f 2 0 试判断函数f x 的单调性 并求使不等式f x 2 x f tx 4 0 恒成立的t 的取值范围 3 若 f 2 3 且 g x 2 x 2 x 2mf x 在 2 上的最
8、小值为 2 求 m的值 上海市金山区2015 届高考数学一模试卷 4 一 填空题 本大题满分56 分 本大题共有14 题 考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果 每个空格填对得4 分 否则一律得零分 1 若集合M y y x 2 5 x R N y y x 2 则 M N 0 5 考点 交集及其运算 专题 集合 分析 分别求出M与 N中 y 的范围 确定出M与 N 找出两集合的交集即可 解答 解 由 M中 y x 2 5 5 得到 M 5 由 N中 y x 2 得到 y 0 即 N 0 则 M N 0 5 故答案为 0 5 点评 此题考查了交集及其运算 熟练掌握交集的定义是解本题的关键
9、2 计算 考点 数列的极限 专题 点列 递归数列与数学归纳法 分析 直接利用数列极限的运算法则 分子分母同除3 n 然后求解极限即可 解答 解 故答案为 点评 本题考查数列极限的运算法则 基本知识的考查 3 不等式的解集是 x 0 x 1 考点 其他不等式的解法 专题 计算题 分析 将不等式 1 移项后通分 即可求得不等式的解集 解答 解 1 1 0 0 0 x 1 5 不等式的解集为 x 0 x 1 故答案为 x 0 x 1 点评 本题考查不等式的解法 移项后通分是关键 属于基础题 4 如果复数z b R 的实部与虚部相等 则z 的共轭复数 1 i 考点 复数的基本概念 专题 数系的扩充和复
10、数 分析 利用分母实数化化简复数z 由条件求出b 的值 代入求出复数z 和 解答 解 由题意知 z 因为复数z b R 的实部与虚部相等 所以 2 b 2 b 解得 b 0 则 z 1 i 所以 1 i 故答案为 1 i 点评 本题考查复数的基本概念 化简复数的方法 分母实数化 以及共轭复数 属于基础 题 5 方程 sinx cosx 1在 0 上的解是或 0 考点 三角方程 专题 三角函数的求值 分析 sinx cosx 1 可得 sin 2x cos2x 2sinxcosx 1 sinxcosx 0 可得 sinx 0 或 cosx 0 利用 x 0 即可得出 解答 解 sinx cosx
11、 1 sin 2x cos2x 2sinxcosx 1 sinxcosx 0 sinx 0 或 cosx 0 x 0 或 0 故答案为 或 0 点评 本题考查了同角三角函数的关系式 正弦函数与余弦函数的单调性 属于基础题 6 等差数列 an 中 a2 8 S10 185 则数列 an 的通项公式an 3n 2 n N 考点 等差数列的前n 项和 等差数列的通项公式 专题 等差数列与等比数列 分析 由已知条件 利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求出首项和公差 由此能求出 数列的通项公式 6 解答 解 等差数列 an 中 a2 8 S10 185 解得 a1 5 d 3 an 5 n 1 3
12、3n 2 故答案为 3n 2 点评 本题考查等差数列的通项公式的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意等差数列 的性质的合理运用 7 当 a 0 b 0 且 a b 2 时 行列式的值的最大值是0 考点 二阶行列式的定义 基本不等式 专题 矩阵和变换 分析 利用行列的性质和均值定理求解 解答 解 a 0 b 0 且 a b 2 时 行列式 ab 1 1 1 1 0 当且仅当a b 1 时 取 行列式的值的最大值为0 故答案为 0 点评 本题考查行列式的最大值的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意行列式性质和 均值定理的合理运用 8 若 x 12 的二项展开式中的常数项为m 则 m 7920
13、考点 二项式定理的应用 专题 二项式定理 分析 根据二项式展开式的通项公式 求出展开式为常数时r 的值 再计算常数项m即可 解答 解 x 12的展开式的通项公式为 Tr 1 x 12 r 2 r x 12 3r 令 12 3r 0 解得 r 4 常数项m 2 4 16 7920 7 故答案为 7920 点评 本题考查了二项式定理的应用问题 也考查了组合公式的应用问题 是基础题目 9 从一堆苹果中任取5 只 称得它们的质量为 单位 克 125 124 121 123 127 则该 样本标准差s 2 克 用数字作答 考点 极差 方差与标准差 专题 计算题 压轴题 分析 根据题意 利用平均数 方差
14、标准差的公式直接计算即可 解答 解 由题意得 样本平均数x 125 124 121 123 127 124 样本方差s 2 12 0 2 32 12 32 4 s 2 故答案为2 点评 本题考查用样本的平均数 方差 标准差来估计总体的平均数 方差 标准差 属基 础题 熟记样本的平均数 方差 标准差公式是解答好本题的关键 10 三棱锥 O ABC中 OA OB OC 2 且 BOC 45 则三棱锥O ABC体积的最大值是 考点 棱柱 棱锥 棱台的体积 专题 空间位置关系与距离 分析 将 BOC作为三棱锥的底面 当OA 平面 BOC时 该棱锥的高最大 体积就最大 由 此能求出三棱锥O ABC体积的
15、最大值 解答 解 将 BOC作为三棱锥的底面 OA OB OC 2 且 BOC 45 BOS的面积为定值S 当 OA 平面 BOC 时 该棱锥的高最大 体积就最大 此时三棱锥O ABC体积的最大值V S h 故答案为 点评 本题考查三棱锥的体积的最大值的求法 是中档题 解题时要认真审题 注意空间思 维能力的培养 11 从集合 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 中任取两个数 欲使取到的一个数大于k 另一个数小于k 其中 k 5 6 7 8 9 的概率是 则 k 7 考点 古典概型及其概率计算公式 专题 概率与统计 8 分析 先求出所有的基本事件有45 种 再求出取到的一个数大于k 另一个
16、数小于k 的基 本事件有 k 1 10 k 根据古典概率公式即可得到关于k 的方程解得即可 解答 解 从集合 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 中任取两个数的基本事件有 45 种 取到的一个数大于k 另一个数小于k 比 k 的小的数有 k 1 个 比k 的大的数有 10 k 个 故有 k 1 10 k 所以取到的一个数大于k 另一个数小于k 其中 k 5 6 7 8 9 的概率是 P 解得 k 7 故答案为 7 点评 本题考查了古典概型的概率公式的应用 关键是求出取到的一个数大于k 另一个数 小于 k 的基本事件 属于基础题 12 已知点A 3 2 和圆 C x 4 2 y 8 2 9 一束光线从点 A发出 射到直线 l y x 1 后反射 入射点为B 反射光线经过圆周C上一点 P 则折线ABP的最短长度是 10 考点 圆的标准方程 专题 直线与圆 分析 求出 A点关于直线l y x 1 的对称点D 连接 D与圆 C的圆心 交圆C于 P 则折 线 ABP的最短长度等于 DC 3 解答 解 如图 设 A 3 2 关于直线l y x 1 的对称点为D x0 y0 由 解得 D 1
