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1、2019年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷 数学 理工类 本试卷分为第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共150 分 考试用时120 分钟 第 卷 1 至 2 页 第 卷3 5 页 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考号填写在答题卡上 并在规定位置粘贴考试用条形码 答卷时 考生务必将答案涂写在答题卡上 答在试卷上的无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 祝各位考生考试顺利 第 卷 注意事项 1 每小题选出答案后 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂 其他答案标号 2 本卷共 8 小题 每小题5 分 共 40 分 参考公式 如果事件A B互斥 那
2、么 P ABP AP BU 如果事件 A B相互独立 那么 P ABP A P B 圆柱的体积公式 VSh 其中S表示圆柱的底面面积 h表示圆柱的高 棱锥的体积公式 1 3 VSh 其中S表示棱锥的底面面积 h表示棱锥的高 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设集合 1 1 2 3 5 2 3 4 13 ABCxxR 则 ACBIU A 2 B 2 3 C 1 2 3 D 1 2 3 4 2 设变量 x y满足约束条件 20 20 1 1 xy xy x y 则目标函数4zxy的最大值为 A 2 B 3 C 5 D 6 3 设xR 则 2 50 xx 是 1 1
3、x 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4 阅读右边的程序框图 运行相应的程序 输出S的值为 A 5 B 8 C 24 D 29 5 已知抛物线 2 4yx的焦点为F 准线为l 若l与双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的两条渐近线分别 交于点 A和点B 且 4 ABOF O为原点 则双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 2 D 5 6 已知 5 log 2a 0 5 og2 l0b 0 2 0 5c 则 a b c的大小关系为 A a cb B abc C bca D cab 7 已知函数 sin 0 0 f xAxA是奇函数
4、 将yfx的图像上所有点的横坐标 伸长到原来的2 倍 纵坐标不变 所得图像对应的函数为g x 若g x的最小正周期为2 且 2 4 g 则 3 8 f A 2 B 2 C 2 D 2 8 已知a R 设函数 2 22 1 ln 1 xaxax f x xaxx 若关于x的不等式 0f x 在R上恒成立 则a的 取值范围为 A 0 1 B 0 2 C 0 e D 1 e 第 卷 注意事项 1 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 2 本卷共 12 小题 共110 分 二 填空题 本大题共6 小题 每小题5 分 共 30 分 9 i是虚数单位 则 5 1 i i 的值为 10 8 3 1 2
5、 8 x x 是展开式中的常数项为 11 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形 侧棱长均为5 若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧 棱的中点 另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心 则该圆柱的体积为 12 设a R 直线20axy 和圆 22cos 12sin x y 为参数 相切 则a的值为 13 设0 0 25xyxy 则 1 21 xy xy 的最小值为 14 在四边形ABCD中 2 3 5 30ADBCABADA 点E在线段CB的延长线上 且AEBE 则BDAE uuu r u uu r 三 解答题 本大题共6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分1
6、3 分 在ABC 中 内角 A B C所对的边分别为 a b c 已知2bca 3 sin4 sincBaC 求cosB的值 求sin 2 6 B 的值 16 本小题满分13 分 设甲 乙两位同学上学期间 每天7 30 之前到校的概率均为 2 3 假定甲 乙两位同学到校情况互不影响 且任一同学每天到校情况相互独立 用X表示甲同学上学期间的三天中7 30 之前到校的天数 求随机变量X的分布列和数学期望 设M为事件 上学期间的三天中 甲同学在7 30 之前到校的天数比乙同学在7 30 之前到校的天 数恰好多2 求事件 M 发生的概率 17 本小题满分13 分 如图 AE平面ABCD CFAEADB
7、C 1 2ADABABADAEBC 求证 BF 平面ADE 求直线CE与平面BDE所成角的正弦值 若二面角EBDF的余弦值为 1 3 求线段CF的长 18 本小题满分13 分 设椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为F 上顶点为B 已知椭圆的短轴长为4 离心率为 5 5 求椭圆的方程 设点P在椭圆上 且异于椭圆的上 下顶点 点M为直线PB与x轴的交点 点N在y轴的负半 轴上 若 ONOF O为原点 且OPMN 求直线 PB的斜率 19 本小题满分14 分 设 n a是等差数列 n b是等比数列 已知 112233 4 622 24abbaba 求 n a和 n b的通项公式 设
8、数列 n c满足 1 1 1 22 2 1 kk n k k c n c b n 其中 kN i 求数列 22 1 nnac的通项公式 ii 求 2 1 n ii i acnN 20 本小题满分14 分 设函数 e cos x f xxg x为fx的导函数 求fx的单调区间 当 42 x时 证明 0 2 fxg xx 设 n x为 函 数 1u xf x在 区 间2 2 42 mm 内 的 零 点 其 中nN 证 明 2 00 2 2sincos n n nx x e x 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷 数学 理工类 参考解答 一 选择题 本题考查基本知识和基本运算 每小题
9、5 分 满分40 分 1 D 2 C 3 B 4 B 5 D 6 A 7 A 8 C 二 填空题 本题考查基本知识和基本运算 每小题 5 分 满分30 分 9 13 10 28 11 4 12 3 4 13 4 3 14 1 三 解答题 15 本小题主要考查同角三角函数的基本关系 两角和正弦公式 二倍角的正弦与余弦公式 以及正弦定理 余弦定理等基础知识 考查运算求解能力 满分13 分 解 在 ABC 中 由正弦定理 sinsin bc BC 得sinsinbCcB 又由3 sin4 sincBaC 得 3 sin4 sinbCaC 即34ba 又 因 为2bca 得 到 4 3 ba 2 3
10、ca 由 余 弦 定 理 可 得 222 222 416 1 99 cos 2 24 2 3 aaa acb B aa 解 由 可 得 2 15 sin1cos 4 BB 从 而 15 sin 22sincos 8 BBB 22 7 cos2cossin 8 BBB 故 153713 57 sin 2sin2 coscos2sin 666828216 BBB 16 本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望 互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础 知识 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力 满分 13 分 解 因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立 且每天7 30 之前到校的概率
11、均为 2 3 故 2 3 3 XB 从而 3 3 21 0 1 2 3 33 kk k P XkCk 所以 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P1 27 2 9 4 9 8 27 随机变量X的数学期望 2 32 3 E X 解 设 乙 同 学 上 学 期 间 的 三 天 中7 30之 前 到 校 的 天 数 为Y 则 2 3 3 YB 且 3 1 2 0 MXYXYU 由题意知事件 3 1 XY与 2 0 XY互斥 且事件3X 与1Y 事件2X与0Y均相互独立 从而由 知 3 1 2 0 3 1 2 0 P MPXYXYP XYP XYU 824120 3 1 2 0 27992724
12、3 P XP YP XP Y 17 本小题主要考查直线与平面平行 二面角 直线与平面所成的角等基础知识 考查用空间向量解决立体 几何问题的方法 考查空间想象能力 运算求解能力和推理论证能力 满分 13 分 依题意 可以建立以A为原点 分别以ABADAE uuu ruuu ruu u r 的方向为x轴 y轴 z轴正方向的空间直角坐标系 如 图 可 得 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1 0 ABCD 0 0 2 E 设 0 CFhh 则 1 2 Fh 证明 依题意 1 0 0 AB uu u r 是平面ADE的法向量 又 0 2 BFh u uu r 可得0BFAB u uu r uu
13、u r 又因 为直线BF平面ADE 所以BF 平面ADE 解 依题意 1 1 0 1 0 2 1 2 2 BDBECE uu u ruuu ruuu r 设 nx y z为平面 BDE的法向量 则 0 0 n BD n BE uuu r uuu r即 0 20 xy xz 不妨令 1z 可得 2 2 1 n 因此有 4 cos 9 CE n CE n CEn uuu r uuu r uuu r 所以 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 4 9 解 设 mx y z为平面BDF的法向量 则 0 0 m BD m BF uuu r uuu r即 0 20 xy yhz 不妨令1y 可得 2 1
14、1 m h 由题意 有 2 2 4 1 cos 3 4 3 2 m nh m n m n h 解得 8 7 h 经检验 符合题意 所以 线段CF的长为 8 7 18 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线方程等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲面的性 质 考查运算求解能力 以及用方程思想解决问题的能力 满分 13 分 解 设椭圆的半焦距为c 依题意 5 24 5 c b a 又 222 abc 可得5a 2 b1c 所以 椭圆的方程为 22 1 54 xy 解 由题意 设0 0 PPpM P xyxMx 设直线PB的斜率为0k k 又0 2B 则直 线PB的 方 程 为2ykx 与 椭
15、圆 方 程 联 立 22 2 1 54 ykx xy 整 理 得 22 45200kxkx 可 得 2 20 45 P k x k 代入2ykx得 2 2 810 45 P k y k 进而直线OP的斜率 2 45 10 P p yk xk 在2ykx中 令0y 得 2 M x k 由 题 意 得0 1N 所 以 直 线MN的 斜 率 为 2 k 由OPMN 得 2 45 1 102 kk k 化简得 224 5 k 从而 2 30 5 k 所以 直线PB的斜率为 2 30 5 或 2 30 5 19 本小题主要考查等差数列 等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识 考查化归与转化思想和
16、数列求和的基本方法以及运算求解能力 满分 14 分 解 设等差数列 n a的公差为d 等比数列 n b的公比为q 依题意得 2 662 6124 qd qd 解得 3 2 d q 故 1 4 1 331 6232 nn nn annb 所以 n a的通项公式为31 nn anb的通项公式为32 n n b i 解 222 11321 3 219 41nnx nnn n acab 所以 数列 22 1nnac的通项公式为 22 19 41 nn n ac ii 解 222 2 1111 2 11 nnn ii n iiiiii iiii a caacaac 1 221 243941 2 nn n ni i 212 4 1 4 3 2529 14 n nn n 211 2725212 nn nnN 20 本小题主要考查导数的运算 不等式证明 运用导数研究函数的性质等基础知识和方法 考查函数思想 和化归与转化思想 考查抽象概括能力 综合分析问题和解决问题的能力 满分 14 分 解 由已知 有 cossin x fxexx 因此 当 5 2 2 44 xkk kZ时 有 sincosxx 得
