《数学新攻略大一轮浙江专用课件：10_§ 2_8 函数与方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新攻略大一轮浙江专用课件：10_§ 2_8 函数与方程（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引 2 8 函数与方程 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引总纲目录 1 函数零点的定义 教 材 研 读 2 函数零点的判定 零点存在性定理 3 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 4 二次函数f x ax2 bx c a 0 零点的分布 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引总纲目录 考 点 突 破 考点一 函数零点所在区间的判断 考点二 函数零点个数的判断 考点三 函数零点应用 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 1 函数零点的定义 1 对于函数y f x 把使 f x 0 的实数x叫做函数y f x 的零点 2 方程
2、f x 0有实根 函数y f x 的图象与 x轴 有交点 函数y f x 有 零点 教材研读 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 2 函数零点的判定 零点存在性定理 一般地 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并 且有 f a f b 0 的图象与零点的关系 0 0 0 的图象 与x轴的交点 x1 0 x2 0 x1 0 无交点 零点个数 两个 一个 无 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 4 二次函数f x ax2 bx c a 0 零点的分布 零点的分布 m n p为常数 图象满足条件 x1 x2 m m x1 x2 x1 m x2 f
3、 m 0 m x1 x2 n m x1 n x2 p 只有一个零点 在 m n 上 或f m f n 0 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 说明 f x 在 m n 上一定只有一个零点 除了 f m f n 0 这个情形 以外 还得考虑三种可能的特殊情况 这里是说可能 而不是一定 1 0 2 f m 0 3 f n 0 对这三种情况的处理办法 先依上述条 件求出参数 然后求出具体零点 再检验是否符合题意 决定取舍 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 1 函数f x 在 0 4 上的图象是连续不断的曲线 则函数f x 在 0 4 上有且 仅有一个零点是 f 0 f 4
4、1 C k 1或k1或k 1 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 4 若方程 x2 4x m有实数根 则所有实数根的和可能是 D A 2 4 6 B 4 5 6 C 3 4 5 D 4 6 8 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 解析 函数y x2 4x 的图象如图所示 易知函数y x2 4x 的图象关于直线x 2对称 当m4时 方程 x2 4x m有两个实根 它们的和为 4 当0 m 4时 方程 x2 4x m有四个实根 它们的和为 8 当m 4时 方程 x2 4x m有三个实根 它们的和为 6 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 函数零点所在区间的判断
5、典例1 1 已知函数f x ln x 的零点为x0 则x0所在的区间是 C A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 2 若x0是方程 的解 则x0属于区间 C A B C D 考点突破 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解析 1 易知f x ln x 在 0 上是增函数 又f 1 ln 1 ln 1 2 0 f 2 ln 2 0 x0 2 3 故选C 2 令g x f x 则g 0 1 f 0 0 g f 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 所以由图象关系可得 x0 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 方法技巧 判断函数零点所在区间的三种常用方法
6、1 方程法 当对应方程f x 0易解时 可先解方程 再看求得的根是否落 在给定区间上 2 定义法 利用零点存在性定理 首先看函数y f x 在区间 a b 上的图 象是否连续 再看是否有f a f b 0 若有 则函数y f x 在区间 a b 内必有零点 3 图象法 通过画函数图象 观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来 判断 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 1 1 函数f x ln x 的零点所在的区间是 B A 1 2 B 2 3 C 和 3 4 D e 解析 易知f x 为增函数 由f 2 ln 2 10 得f 2 f 3 0 故 选B 总纲目录 教材研读 考点突破 栏
7、目索引考点突破 典例2 已知函数f x ln x g x 则方程 f x g x 2的实 根个数为 D A 1 B 2 C 3 D 4 函数零点个数的判断 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解析 f x g x 2等价于f x g x 2 由函数与方程的关系知 方程 f x g x 2的实根个数等价于函数y f x 和y g x 2的图象的公共点个 数与函数y f x 和函数y g x 2的图象的公共点个数之和 在同一坐标系中作出函数y f x y g x 2和y g x 2的图 象 如图所示 由图象可知 共有4个公共点 所以方程 f x g x 2有4个实根 故选D 总纲目录
8、教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 方法指导 函数零点个数的判断方法 1 解方程法 令f x 0 如果能求出解 那么有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理法 利用定理不仅要判断函数图象在区间 a b 上是 连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质 如单调 性 奇偶性 周期性 对称性 才能确定函数有多少个零点 3 数形结合法 将原问题转化为求两个函数的图象的交点个数问题 先 画出两个函数的图象 再看其交点的个数 交点的个数就是函数零点的个 数 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 2 1 2019效实中学月考 已知定义在R上的奇函数 f x 满足f x 3
9、f x f 2 0 则y f x 在 3 3 上的零点至少有 D A 1个 B 3个 C 5个 D 7个 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解析 因为f x 是R上的奇函数 所以f 0 0 因为f x 3 f x f 2 0 所以f x 6 f x 3 f 2 0 所以f x 6 f x 令x 3 得f 3 f 3 又f 3 f 3 故 f 3 f 3 0 在f x 3 f x f 2 0中 取x 则f f f 2 0 所以f 2 0 故f 2 0 再取x 2 则f 1 f 2 f 2 0 所以f 1 0 故f 1 0 综上 3 2 1 0 1 2 3都是y f x 的零点 所以
10、y f x 在 3 3 上的零点至少有7个 故选D 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 典例3 2019浙江台州模拟 已知e是自然对数的底数 函数f x ex x 2 的零点为a 函数g x ln x x 2的零点为b 则下列不等式中成立的是 A A f a f 1 f b B f a f b f 1 C f 1 f a f b D f b f 1 0恒成立 所以函数f x 在R上是单调递增的 而f 0 e0 0 2 10 所以函数f x 的零点a 0 1 由题意 知g x 1 0 所以函数g x 在 0 上是单调递增的 又g 1 ln 1 1 2 10 所以函数g x 的零点b
11、1 2 综上 可得0 a 1 b 2 因为f x 在R上是单调递增的 所以f a f 1 f b 故选A 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 典例4 2017浙江模拟 已知函数f x 满足f x 3f 当x 1 4 时 f x ln x 若在区间 内 函数g x f x mx有三个不同的零点 则实数m的取 值范围是 A A B C D 命题方向二 利用函数零点求参数的取值范围 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解析 当 x 1时 有1 4 则f x 3f 3ln 3ln x f x 令f x mx 0 得m 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 设h x 当
12、1 x 4时 h x 则h x 在区间 1 e 上为增函数 在区间 e 4 上为减函数 当 x 1时 h x 0 故要使函数g x f x mx有三个不同的零点 则 m 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 方法指导 已知函数有零点 方程有根 求参数取值常用的方法 1 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式 组 再通过解不 等式 组 确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数值域问题加以解决 3 数形结合法 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中 画出函数的 图象 然后数形结合求解 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 典例5 1 2017浙江镇海中学模
13、拟 已知函数f x 3x x g x log3x x h x sin x x的零点依次为x1 x2 x3 则下列正确的是 B A x1 x2 x3 B x1 x3 x2 C x3 x1 x2 D x2 x3 x1 2 已知函数f x g x 则函数 f g x 的所有零 点之和是 B A B 命题方向三 函数零点性质 C 1 D 1 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解析 1 易知三个函数都为单调递增函数 所以各自最多仅有一个零 点 显然x3 0 f 0 1 f 1 由零点存在性定理知 1 x1 0 同理x2 所以x1 x3 x2 故选B 2 令t g x f g x 0 f t
14、 0 f x t 2或t 2 若g x 2 则x 1 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 若g x 2 则x 函数f g x 的所有零点之和是1 故选B 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 方法提示 解决函数零点性质的问题 主要综合运用函数性质 零点存在性定理 必要时需要正确求解方程的根 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 同类练1 设函数f x x2 x 1 若方程f f x t恰有三个根 则t 解析 令m f x 则原方程为f m t 设f m t的两根分别为m1 m2 m1 m2 则必有m1 f 即t f m1 f 得t 总纲目录 教材研读 考点突破
15、栏目索引考点突破 同类练2 2017福建漳州八校联考 已知函数f x 若函数g x f x m有三个零点 则实数m的取值范围是 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解析 令g x f x m 0 得f x m 则函数g x f x m有三个零点等价于 函数f x 与y m的图象有三个不同的交点 作出函数f x 的图象如图 当x 0时 f x x2 x 若函数f x 与y m的图象有三个不同 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 的交点 则 0 且 a 1 在R上单调递减 且关于x的方程 f x 2 x恰有两个不相等的实数 解 则a的取值范围是 C A B C D 总纲目录
16、 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解析 要使函数f x 在R上单调递减 只需 解得 a 因为 方程 f x 2 x恰有两个不相等的实数解 所以直线y 2 x与函数y f x 的 图象有两个交点 如图所示 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 易知y f x 的图象与x轴的交点的横坐标为 1 又 1 2 故由图可 知 直线y 2 x与y f x 的图象在x 0时有一个交点 当直线y 2 x与y x2 4a 3 x 3a x 0 的图象相切时 设切点为 x0 y0 则 整理可得4a2 7a 3 0 解得a 1 舍 或a 而当3 a 2 即a 时 直线y 2 x与y f x 的图象在y轴左侧有一个交点 综上 可得a
