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1、1 绝密 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 作答时 将答案写在答题卡上 写在本试卷及草稿纸上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本题共12 小题 每小题5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 i 23i A 3 2i B 3 2i C 32i D 32i 2 已知集合1 3 5 7A 2 3 4 5B 则 ABI A 3 B 5 C 3 5D 1 2 3 4 5 7 3 函数 2 ee xx fx x 的图像大致为 4 已知向量a b
2、 满足 1a 1a b 则 2 aab A 4 B 3 C 2 D 0 5 从 2 名男同学和3 名女同学中任选2 人参加社区服务 则选中的2人都是女同学的概率为 A 0 6 B 0 5 C 0 4 D 0 3 6 双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的离心率为3 则其渐近线方程为 A 2yxB 3yxC 2 2 yxD 3 2 yx 7 在ABC 中 5 cos 25 C 1BC 5AC 则AB A 4 2B 30C 29D 2 5 2 8 为计算 11111 1 23499100 SL 设计了如图的程序框图 则在空白框中应填入 开始 0 0NT SNT S输出 1i 100i
3、 1 NN i 1 1 TT i 结束 是否 A 1iiB 2ii C 3iiD 4ii 9 在正方体 1111ABCDA BC D 中 E 为棱1CC 的中点 则异面直线AE 与 CD 所成角的正切值为 A 2 2 B 3 2 C 5 2 D 7 2 10 若 cossinf xxx 在 0 a 是减函数 则a的最大值是 A 4 B 2 C 3 4 D 11 已知 1 F 2 F 是椭圆 C 的两个焦点 P是 C 上的一点 若 12 PFPF 且 21 60PF F 则 C 的 离心率为 A 3 1 2 B 23 C 31 2 D 31 12 已 知 fx是 定 义 域 为 的 奇 函 数
4、满 足 1 1 fxfx 若 1 2f 则 1 2 3 fff 50 fL A 50B 0 C 2 D 50 二 填空题 本题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 曲线2lnyx 在点 1 0 处的切线方程为 14 若 x y满足约束条件 250 230 50 xy xy x 则 zxy 的最大值为 15 已知 5 1 tan 45 则tan 16 已知圆锥的顶点为S 母线 SA SB互相垂直 SA与圆锥底面所成角为30 若SAB 的面积 3 为 8 则该圆锥的体积为 三 解答题 共70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第17 21 题为必考题 每个 试题考生都必须作答 第
5、22 23 为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共60 分 17 12 分 记 n S 为等差数列 n a的前n项和 已知 1 7a 3 15S 1 求 n a的通项公式 2 求 n S 并求 n S 的最小值 18 12 分 下图是某地区2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y 单位 亿元 的折线图 为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额 建立了y与时间变量t 的两个线性回归模型 根据 2000 年至 2016 年的数据 时间变量t的值依次为 1 2 17L 建立模型 30 413 5yt 根据 2010 年至 2016 年的数据 时间变量t 的值依次为 1 2 7L 建
6、立模型 9917 5yt 1 分别利用这两个模型 求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值 2 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠 并说明理由 19 12 分 如图 在三棱锥PABC 中 2 2ABBC 4PAPBPCAC O 为 AC 的中点 1 证明 PO平面 ABC 4 2 若点 M在棱 BC 上 且2MCMB 求点 C 到平面 POM 的距离 20 12 分 设抛物线 2 4Cyx 的焦点为F 过F且斜率为 0 k k的直线 l 与 C 交于A B两点 8AB 1 求 l 的方程 2 求过点A B且与 C 的准线相切的圆的方程 21 12 分 已知函数 32 1 1 3 fxx
7、a xx 1 若 3a 求 f x 的单调区间 2 证明 f x 只有一个零点 二 选考题 共10 分 请考生在第22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计 分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系xOy 中 曲线C 的参数方程为 2cos 4sin x y 为参数 直线l 的参数方程为 1cos 2sin xt yt t 为参数 1 求 C 和 l 的直角坐标方程 2 若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 1 2 求 l 的斜率 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 设函数 5 2 f xxax 1 当1a时 求不等式 0f x 的解集 2
8、 若 1f x 求a的取值范围 5 绝密 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一 选择题 1 D 2 C 3 B 4 B 5 D 6 A 7 A 8 B 9 C 10 C 11 D 12 C 二 填空题 13 y 2x 2 14 9 15 3 2 16 8 三 解答题 17 解 1 设 an 的公差为d 由题意得3a1 3d 15 由a1 7 得d 2 所以 an 的通项公式为an 2n 9 2 由 1 得Sn n 2 8n n 4 2 16 所以当n 4 时 Sn取得最小值 最小值为 16 18 解 1 利用模型 该地区2018 年的环境基础设施投资额的预
9、测值为 y 30 4 13 5 19 226 1 亿元 利用模型 该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 y 99 17 5 9 256 5 亿元 2 利用模型 得到的预测值更可靠 理由如下 i 从折线图可以看出 2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线y 30 4 13 5t 上下 这说明利用2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型 不能很好地描述环境基础设施投资额 的变化趋势 2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加 2010 年至 2016 年的数据对 应的点位于一条直线的附近 这说明从2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律
10、呈线性增长趋 势 利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型y 99 17 5t可以较好地描述2010 年以后的环境 基础设施投资额的变化趋势 因此利用模型 得到的预测值更可靠 ii 从计算结果看 相对于 2016 年的环境基础设施投资额220 亿元 由模型 得到的预测值226 1 亿元的增幅明显偏低 而利用模型 得到的预测值的增幅比较合理 说明利用模型 得到的预测值 更可靠 6 以上给出了2 种理由 考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 19 解 1 因为AP CP AC 4 O为AC的中点 所以OP AC 且OP 2 3 连结OB 因为AB BC 2 2 AC 所以 AB
11、C为等腰直角三角形 且OB AC OB 1 2 AC 2 由 222 OPOBPB 知 OP OB 由OP OB OP AC知PO 平面ABC 2 作CH OM 垂足为H 又由 1 可得OP CH 所以CH 平面POM 故CH的长为点C到平面POM的距离 由题设可知OC 1 2 AC 2 CM 2 3 BC 4 2 3 ACB 45 所以OM 2 5 3 CH sinOCMCACB OM 4 5 5 所以点C到平面POM的距离为 4 5 5 20 解 1 由题意得F 1 0 l的方程为y k x 1 k 0 设A x1 y1 B x2 y2 由 2 1 4 yk x yx 得 2222 24
12、0k xkxk 2 16160k 故 2 12 2 24k xx k 所以 2 12 2 44 1 1 k ABAFBFxx k 由题设知 2 2 44 8 k k 解得k 1 舍去 k 1 7 因此l的方程为y x 1 2 由 1 得AB的中点坐标为 3 2 所以AB的垂直平分线方程为 2 3 yx 即5yx 设所求圆的圆心坐标为 x0 y0 则 00 2 2 00 0 5 1 1 16 2 yx yx x 解得 0 0 3 2 x y 或 0 0 11 6 x y 因此所求圆的方程为 22 3 2 16xy或 22 11 6 144xy 21 解 1 当a 3 时 f x 321 333
13、3 xxx f x 2 63xx 令f x 0解得x 3 2 3或x 32 3 当x 32 3 323 时 f x 0 当x 32 3 32 3 时 f x 0 故f x 在 32 3 323 单调递增 在 32 3 32 3 单调递减 2 由于 2 10 xx 所以 0f x等价于 3 2 30 1 x a xx 设 g x 3 2 3 1 x a xx 则g x 22 22 23 1 xxx xx 0 仅当x 0 时g x 0 所以g x 在 单调递增 故g x 至多有一个零点 从而f x 至多有一个零点 又f 3a 1 22 111 626 0 366 aaa f 3a 1 1 0 3
14、故f x 有一个零点 综上 f x 只有一个零点 22 解 1 曲线C的直角坐标方程为 22 1 416 xy 当cos0时 l的直角坐标方程为tan2tanyx 当cos0时 l的直角坐标方程为1x 2 将l的参数方程代入C的直角坐标方程 整理得关于t 的方程 22 13cos 4 2cossin 80tt 因为曲线C截直线l所得线段的中点 1 2 在C内 所以 有两个解 设为 1 t 2 t 则12 0tt 又由 得 12 2 4 2cossin 13cos tt 故2cossin0 于是直线l的斜率tan2k 8 23 解 1 当1a时 24 1 2 12 26 2 xx f xx xx 可得 0f x的解集为 23 xx 2 1f x等价于 2 4xax 而 2 2 xaxa 且当2x时等号成立 故 1f x等价于 2 4a 由 2 4a可得6a或2a 所以 a的取值范围是 6 2 U
