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1、1 绝密 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 作答时 将答案写在答题卡上 写在本试卷及草稿纸上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本题共12 小题 每小题5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 12i 12i A 43 i 55 B 43 i 55 C 34 i 55 D 34 i 55 2 已知集合 22 3AxyxyxyZZ 则 A中元素的个数为 A 9 B 8 C 5 D 4 3 函数 2 ee xx fx x 的图像大致为 4
2、已知向量a b 满足 1a 1a b 则 2 aab A 4 B 3 C 2 D 0 5 双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的离心率为3 则其渐近线方程为 A 2yxB 3yxC 2 2 yx D 3 2 yx 6 在ABC 中 5 cos 25 C 1BC 5AC 则AB 2 A 4 2 B 30 C 29 D 2 5 7 为计算 11111 1 23499100 S 设计了右侧的程序框图 则在空白框中应填入 A 1ii B 2ii C 3ii D 4ii 8 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 哥德巴赫猜想是 每个大 于 2 的偶数可以表示为两个素数
3、的和 如30723 在不超过30 的素数中 随机选取两个 不同的数 其和等于30 的概率是 A 1 12 B 1 14 C 1 15 D 1 18 9 在长方体 1111 ABCDABC D 中 1ABBC 1 3AA 则异面直线1 AD 与 1 DB 所成角的余弦值 为 A 1 5 B 5 6 C 5 5 D 2 2 10 若 cossinf xxx 在 a a 是减函数 则 a的最大值是 A 4 B 2 C 3 4 D 11 已知 f x 是定义域为 的奇函数 满足 1 1 fxfx 若 1 2f 则 1 2 3 50 ffff A 50B 0 C 2 D 50 12 已知 1 F 2 F
4、 是椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的左 右焦点 A是 C 的左顶点 点P在过A且斜 率 为 3 6 的直线上 12 PF F 为等腰三角形 12 120F F P 则 C 的离心率为 A 2 3 B 1 2 C 1 3 D 1 4 二 填空题 本题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 开始 0 0NT SNT S输出 1i 100i 1 NN i 1 1 TT i 结束 是否 3 13 曲线2ln 1 yx在点 0 0 处的切线方程为 14 若 x y满足约束条件 250 230 50 xy xy x 则 zxy的最大值为 15 已知 sincos1 cossin0 则 si
5、n 16 已知圆锥的顶点为S 母线 SA SB所成角的余弦值为 7 8 SA与圆锥底面所成角为45 若 SAB 的面积为 5 15 则该圆锥的侧面积为 三 解答题 共70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第17 21 题为必考题 每个 试题考生都必须作答 第22 23 为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共60 分 17 12 分 记 n S 为等差数列 n a 的前 n项和 已知 1 7a 3 15S 1 求 n a 的通项公式 2 求 nS 并求nS的最小值 18 12 分 下图是某地区2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y 单位 亿元 的折线图 为了预测该地区
6、2018 年的环境基础设施投资额 建立了 y与时间变量t 的两个线性回归模型 根据 2000 年至 2016 年的数据 时间变量 t 的值依次为 1 217 建立模型 30 413 5yt 根据 2010 年至 2016 年的数据 时间变量t 的值依次为 1 27 建立模型 9917 5y t 1 分别利用这两个模型 求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值 2 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠 并说明理由 19 12 分 4 设抛物线 2 4Cyx 的焦点为F 过F且斜率为 0 k k的直线 l 与 C 交于 A B两点 8AB 1 求 l 的方程 2 求过点 A B且与 C 的准
7、线相切的圆的方程 20 12 分 如图 在三棱锥PABC 中 2 2ABBC 4PAPBPCAC O 为 AC 的中点 1 证明 PO平面 ABC 2 若点 M在棱 BC 上 且二面角 MPAC 为 30 求 PC 与平面PAM所成角的正弦值 P A O C B M 21 12 分 已知函数 2 e x f xax 1 若1a 证明 当0 x时 1f x 2 若 f x 在 0 只有一个零点 求 a 二 选考题 共10 分 请考生在第22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计 分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系xOy 中 曲线 C 的参数方程为 2
8、cos 4sin x y 为参数 直线l 的参数方程为 1cos 2sin xt yt t 为参数 1 求 C 和 l 的直角坐标方程 2 若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 1 2 求 l 的斜率 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 设函数 5 2 f xxax 1 当1a时 求不等式 0f x的解集 2 若 1f x 求a的取值范围 5 参考答案 一 选择题 1 D 2 A 3 B 4 B 5 A 6 A 7 B 8 C 9 C 10 A 11 C 12 D 二 填空题 13 2yx14 9 15 1 2 16 40 2 三 解答题 17 12分 解 1 设 n a的公差为
9、d 由题意得 1 3315ad 由 1 7a得d 2 所以 n a的通项公式为29 n an 2 由 1 得 22 8 4 16 n Snnn 所以当n 4 时 n S取得最小值 最小值为 16 18 12分 解 1 利用模型 该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 30 413 5 19226 1y 亿元 利用模型 该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 9917 59256 5y 亿元 2 利用模型 得到的预测值更可靠 理由如下 从折线图可以看出 2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线30 413 5yt 上下 这说明利用2000 年至 201
10、6 年的数据建立的线性模型 不能很好地描述环境基础设施投资额 的变化趋势 2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加 2010 年至 2016 年的数据对应 的点位于一条直线的附近 这说明从2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势 利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 9917 5yt可以较好地描述2010 年以后的环境基 础设施投资额的变化趋势 因此利用模型 得到的预测值更可靠 从计算结果看 相对于 2016 年的环境基础设施投资额220 亿元 由模型 得到的预测值226 1 6 亿元的增幅明显偏低 而利用模型 得到的预测值的增幅比较合理
11、 说明利用模型 得到的预测值 更可靠 以上给出了2 种理由 考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 19 12分 解 1 由题意得 1 0 F l的方程为 1 0 yk xk 设 1221 AyxyxB 由 2 1 4 yk x yx 得 2222 24 0k xkxk 2 16160k 故 12 2 2 24 k x k x 所以 12 2 2 44 1 1 x k ABAFBF k x 由题设知 2 2 44 8 k k 解得1k 舍去 1k 因此l的方程为1yx 2 由 1 得AB的中点坐标为 3 2 所以AB的垂直平分线方程为2 3 yx 即5yx 设所求圆的圆心坐标为 00 xy
12、 则 00 2 200 0 5 1 1 16 2 yx yx x 解得 0 0 3 2 x y 或 0 0 11 6 x y 因此所求圆的方程为 22 3 2 16xy或 22 11 6 144xy 20 12分 解 1 因为4APCPAC O为AC的中点 所以OPAC 且2 3OP 连结OB 因为 2 2 ABBCAC 所以ABC 为等腰直角三角形 且OBAC 1 2 2 OBAC 由 222 OPOBPB知POOB 由 OPOB OPAC知PO平面ABC 2 如图 以O为坐标原点 OB uu u r 的方向为 x轴正方向 建立空间直角坐标系Oxyz 7 由已知得 0 0 0 2 0 0 0
13、 2 0 0 2 0 0 0 23 0 2 23 OBACPAP uu u r 取平面PAC 的法向量 2 0 0 OB uu u r 设 2 0 02 M aaa 则 4 0 AMaa uuu r 设平面PAM的法向量为 x y zn 由0 0APAM uu u ruuu r nn得 22 30 4 0 yz axa y 可取 3 4 3 aaan 所以 222 2 3 4 cos 2 3 4 3 a OB aaa uu u r n 由已知得 3 cos 2 OB uu u r n 所以 222 2 3 4 3 2 2 3 4 3 a aaa 解得4a 舍去 4 3 a 所以 8 3 4 3
14、4 333 n 又 0 2 2 3 PC uuu r 所以 3 cos 4 PC uu u r n 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为 3 4 21 12 分 解析 1 当 1a 时 1f x等价于 2 1 e10 x x 设函数 2 1 e1 x g xx 则 22 21 e 1 e xx g xxxx 当1x时 0g x 所以 g x在 0 单调递减 而 0 0g 故当0 x时 0g x 即 1f x 2 设函数 2 1e x h xax f x 在 0 只有一个零点当且仅当 h x 在 0 只有一个零点 i 当0a时 0h x h x没有零点 ii 当 0a 时 2 e x h xax
15、 x 当 0 2 x 时 0h x 当 2 x 时 0h x 所以 h x在 0 2 单调递减 在 2 单调递增 8 故 2 4 2 1 e a h是 h x 在 0 的最小值 若 2 0h 即 2 e 4 a h x 在 0 没有零点 若 2 0h 即 2 e 4 a h x在 0 只有一个零点 若 2 0h 即 2 e 4 a 由于 0 1h 所以 h x 在 0 2 有一个零点 由 1 知 当 0 x 时 2 e x x 所以 333 4224 1616161 4 11110 e e 2 aa aaa ha aa 故 h x在 2 4 a有一个零点 因此 h x在 0 有两个零点 综上
16、fx在 0 只有一个零点时 2 e 4 a 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 解析 1 曲线C的直角坐标方程为 22 1 416 xy 当cos0时 l的直角坐标方程为tan2tanyx 当cos0时 l的直角坐标方程为1x 2 将l的参数方程代入C的直角坐标方程 整理得关于t的方程 22 13cos 4 2cossin 80tt 因为曲线C截直线l所得线段的中点 1 2 在C内 所以 有两个解 设为 1 t 2 t 则 12 0tt 又由 得 122 4 2cossin 13cos tt 故2cossin0 于是直线l的斜率tan2k 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 解析 1 当 1a 时 24 1 2 12 26 2 xx f xx xx 可得 0f x 的解集为 23 xx 2 1f x等价于 2 4xax 而 2 2 xaxa 且当 2x 时等号成立 故 1f x等价于 2 4a 由 2 4a 可得6a或2a 所以a的取值范围是 6 2 U
