《新疆鄯善县第二中学高中数学人教A 选修2-2 1.3.1《函数的单调性与导数》课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新疆鄯善县第二中学高中数学人教A 选修2-2 1.3.1《函数的单调性与导数》课件（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 求过曲线y x3 2x上的点 1 1 的切线方程 求过某点的曲线的切线方程时 除了要判断该点是否 在曲线上 还要分 该点是切点 和 该点不是切点 两种 情况进行讨论 解法复制 若设M x0 y0 为曲线y f x 上 一点 则以M为切点的曲线的切线方程可设为 y y0 f x x x0 利用此切线方程可以简化解题 避免 疏漏 1 3 1 函数的单调性与导数 4 对数函数的导数 5 指数函数的导数 3 三角函数 1 常函数 C 0 c为常数 2 幂函数 xn nxn 1 一 复习回顾 基本初等函数的导数公式 函数 y f x 在给定区间 G 上 当 x 1 x 2 G 且 x 1 x 2 时
2、 y xoab y xo ab 1 都有 f x 1 f x 2 则 f x 在G 上是增函数 2 都有 f x 1 f x 2 则 f x 在G 上是减函数 若 f x 在G上是增函数或减函数 则 f x 在G上具有严格的单调性 G 称为单调区间 G a b 二 复习引入 o y x y ox 1 o y x 1 在 0 和 0 上分别是减函数 但在定 义域上不是减函数 在 1 上是减 函数 在 1 上 是增函数 在 上是 增函数 概念回顾 画出下列函数的图像 并根据图像指出每个函数的单调区间 1 函数的单调性也叫函数的增减性 2 函数的单调性是对某个区间而言的 它是个局部概 念 这个区间是
3、定义域的子集 3 单调区间 针对自变量x而言的 若函数在此区间上是增函数 则为单调递增区间 若函数在此区间上是减函数 则为单调递减区间 以前 我们用定义来判断函数的单调性 在假设x1 x2的 前提下 比较f x1 f x2 与的大小 在函数y f x 比较复杂 的情况下 比较f x1 与f x2 的大小并不很容易 如果利用 导数来判断函数的单调性就比较简单 观 察 下图 1 表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的 函数 的图象 图 2 表示高台跳水运 动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象 运动员从起跳到最高点 以及从最高点到入水这两段时 间的运动状态有什么区别 a a b
4、b t t v h O O 运动员从起跳到 最高点 离水面的高度h 随时间t 的增加而增加 即h t 是增函数 相应 地 从最高点到入水 运动员离水面的高度h随时间t的 增加而减少 即h t 是减函数 相应地 1 2 x y O x y O x y O x y O y x y x2 y x3 观察下面一些函数的图象 探讨函数的单调性与其导函 数正负的关系 在某个区间 a b 内 如果 那么函数 在这个区间内单调递增 如果 那么 函数 在这个区间内单调递减 如果恒有 则 是常数 题1 已知导函数 的下列信息 当1 x 4 或 x 1时 当 x 4 或 x 1时 试画出函数 的图象的大致形状 解
5、当1 x 4 或 x 0 或f x 0 3 确认并指出递增区间 或递减区间 2 证明可导函数f x 在 a b 内的单调性的方法 1 求f x 2 确认f x 在 a b 内的符号 3 作出结论 练习 判断下列函数的单调性 并求出单调区间 例3 如图 水以常速 即单位时间内注入水的体积相同 注 入下面四种底面积相同的容器中 请分别找出与各容器对应 的水的高度h与时间t的函数关系图象 A B C D h tO h tO h tO h tO 一般地 如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大 那么函数在这个范围内变化得 快 这时 函数的图象就比较 陡峭 向上或 向下 反之 函数的图象就 平缓 一些
6、 如图 函数 在 或 内的图 象 陡峭 在 或 内的图象平缓 练习 2 函数 的图象如图所示 试画出导函数 图象 的大致形状 练习 3 讨论二次函数 的单调区间 解 由 得 即函数 的递增区间 是 相应地 函数的递减区间是 由 得 即函数 的递增区间 是 相应地 函数的递减区间是 练习 4 求证 函数 在 内是减函数 解 由 解得 所以函数 的递减区间是 即函数 在 内是减 函数 一 求参数的取值范围 增例2 求参数 解 由已知得 因为函数在 0 1 上单调递增 增例2 在某个区间上 f x 在这个区间上单调递增 递减 但由f x 在这个区间上单调递增 递减 而 仅仅得到 是不够的 还有可能导数等于0 也能使f x 在这个区间上单调 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证 增例2 本题用到一个重要的转化 例3 方程根的问题 求证 方程 只有一个根 作业 已知函数f x ax 3x x 1在R上是减函数 求a的取值值范围围
