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1、第1页 共 22页 2016 年北京市高考数学试卷 理科 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选 出符合题目要求的一项 1 5 分 已知集合 A x x 2 B 1 0 1 2 3 则 A B A 0 1 B 0 1 2 C 1 0 1 D 1 0 1 2 2 5 分 若 x y 满足 则 2x y 的最大值为 A 0 B 3 C 4 D 5 3 5 分 执行如图所示的程序框图 若输入的 a 值为 1 则输出的 k 值为 A 1 B 2 C 3 D 4 4 5 分 设 是向量 则 是 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D
2、既不充分也不必要条件 5 5 分 已知 x y R 且 x y 0 则 A 0 B sinx siny 0 C x y 0 D lnx lny 0 6 5 分 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的体积为 第2页 共 22页 A B C D 1 7 5 分 将函数 y sin 2x 图象上的点P t 向左平移 s s 0 个单位长度得到点P 若 P 位于函数 y sin2x的图象上 则 A t s 的最小值为B t s的最小值为 C t s的最小值为D t s 的最小值为 8 5 分 袋中装有偶数个球 其中红球 黑球各占一半 甲 乙 丙是三个空 盒 每次从袋中任意取出两个球 将其中一个球放入甲
3、盒 如果这个球是红球 就将另一个放入乙盒 否则就放入丙盒 重复上述过程 直到袋中所有球都被放 入盒中 则 A 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C 乙盒中红球不多于丙盒中红球 D 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 二 填空题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 5 分 设 a R 若复数 1 i a i 在复平面内对应的点位于实轴上 则 a 10 5 分 在 1 2x 6的展开式中 x 2 的系数为 用数字作答 11 5 分 在极坐标系中 直线 cos sin 1 0 与圆 2cos 交于 A B 两点 则 AB 12 5 分 已知 an 为等差数列 Sn为其
4、前 n项和 若 a1 6 a3 a5 0 则 S6 第3页 共 22页 13 5 分 双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线为正方形OABC的边 OA OC 所在的直线 点B 为该双曲线的焦点 若正方形OABC的边长为2 则 a 14 5 分 设函数 f x 若 a 0 则 f x 的最大值为 若 f x 无最大值 则实数a 的取值范围是 三 解答题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 13 分 在 ABC中 a 2 c2 b2 ac 求 B的大小 求cosA cosC的最大值 16 13分 A B C三个班共有 100 名学生 为调查他们的体育锻炼情况 通
5、过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间 数据如表 单位 小时 A 班6 6 5 7 7 5 8 B班6 7 8 9 10 11 12 C班3 4 5 6 7 5 9 10 5 12 13 5 试估计 C班的学生人数 从 A 班和 C班抽出的学生中 各随机选取一个人 A 班选出的人记为甲 C班选出的人记为乙 假设所有学生的锻炼时间相对独立 求该周甲的锻炼时间 比乙的锻炼时间长的概率 再从 A B C三班中各随机抽取一名学生 他们该周锻炼时间分别是7 9 8 25 单位 小时 这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 为 1 表格中数据的平均数记为 0 试判断 0和 1的大小 结论不要
6、求证明 17 14 分 如图 在四棱锥 P ABCD中 平面 PAD 平面 ABCD PA PD PA PD AB AD AB 1 AD 2 AC CD 求证 PD 平面 PAB 求直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值 第4页 共 22页 在棱 PA上是否存在点 M 使得 BM 平面 PCD 若存在 求的值 若 不存在 说明理由 18 13 分 设函数 f x xe a x bx 曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线 方程为 y e 1 x 4 求 a b 的值 求 f x 的单调区间 19 14 分 已知椭圆C 1 a b 0 的离心率为 A a 0 B 0 b O 0 0 OAB
7、的面积为 1 求椭圆 C的方程 设 P是椭圆 C上一点 直线 PA与 y 轴交于点 M 直线 PB与 x 轴交于点 N 求 证 AN BM 为定值 20 13 分 设数列 A a1 a2 aN N 2 如果对小于 n 2 n N 的 每个正整数 k 都有 ak an 则称 n 是数列 A 的一个 G时刻 记 G A 是数列 A 的所有 G时刻 组成的集合 对数列 A 2 2 1 1 3 写出 G A 的所有元素 证明 若数列 A 中存在 an使得 an a1 则 G A 证明 若数列 A 满足 an an 1 1 n 2 3 N 则 G A 的元素个 数不小于 aN a1 第5页 共 22页
8、2016 年北京市高考数学试卷 理科 参考答案与试题解析 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选 出符合题目要求的一项 1 5 分 已知集合 A x x 2 B 1 0 1 2 3 则 A B A 0 1 B 0 1 2 C 1 0 1 D 1 0 1 2 分析 先求出集合 A 和 B 由此利用交集的定义能求出A B 解答 解 集合 A x x 2 x 2 x 2 B 1 0 1 2 3 A B 1 0 1 故选 C 点评 本题考查交集的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意交集定义的 合理运用 2 5 分 若 x y 满足 则 2x y 的最大值为
9、 A 0 B 3 C 4 D 5 分析 作出不等式组对应的平面区域 目标函数的几何意义是直线的纵截距 利用数形结合即可求z 的取值范围 解答 解 作出不等式组对应的平面区域如图 阴影部分 设 z 2x y 得 y 2x z 平移直线 y 2x z 由图象可知当直线y 2x z经过点 A 时 直线 y 2x z的截距最大 此时 z 最大 由 解得 即 A 1 2 代入目标函数 z 2x y 得 z 1 2 2 4 第6页 共 22页 即目标函数 z 2x y 的最大值为 4 故选 C 点评 本题主要考查线性规划的应用 利用目标函数的几何意义 结合数形结 合的数学思想是解决此类问题的基本方法 3
10、5 分 执行如图所示的程序框图 若输入的 a 值为 1 则输出的 k 值为 A 1 B 2 C 3 D 4 分析 根据已知的程序框图可得 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量 S的值 模拟程序的运行过程 可得答案 解答 解 输入的 a 值为 1 则 b 1 第一次执行循环体后 a 不满足退出循环的条件 k 1 第7页 共 22页 第二次执行循环体后 a 2 不满足退出循环的条件 k 2 第三次执行循环体后 a 1 满足退出循环的条件 故输出的 k 值为 2 故选 B 点评 本题考查的知识点是程序框图 当循环次数不多 或有规律可循时 可 采用模拟程序法进行解答 4 5 分 设 是向量 则
11、是 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 分析 根据向量模相等的几何意义 结合充要条件的定义 可得答案 解答 解 若 则以 为邻边的平行四边形是菱形 若 则以 为邻边的平行四边形是矩形 故 是 的既不充分也不必要条件 故选 D 点评 本题考查的知识点是充要条件 向量的模 分析出 与 表示的几何意义 是解答的关键 5 5 分 已知 x y R 且 x y 0 则 A 0 B sinx siny 0 C x y 0 D lnx lny 0 分析 x y R 且 x y 0 可得 sinx与 siny的大小关系不确定 lnx lny 与 0 的大小关
12、系不确定 即可判断出结论 解答 解 x y R 且 x y 0 则 sinx与 siny 的大小关系不确定 即 0 lnx lny 与 0 的大小关系不确定 故选 C 点评 本题考查了不等式的性质 函数的单调性 考查了推理能力与计算能力 第8页 共 22页 属于中档题 6 5 分 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的体积为 A B C D 1 分析 由已知中的三视图可得 该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥 进 而可得答案 解答 解 由已知中的三视图可得 该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥 棱锥的底面面积 S 1 1 高为 1 故棱锥的体积 V 故选 A 点评 本题考查的知识点是由三视图
13、求体积和表面积 根据已知的三视图 判断几何体的形状是解答的关键 7 5 分 将函数 y sin 2x 图象上的点P t 向左平移 s s 0 个单位长度得到点P 若 P 位于函数 y sin2x的图象上 则 A t s 的最小值为B t s的最小值为 C t s的最小值为D t s 的最小值为 分析 将 x 代入得 t 进而求出平移后 P 的坐标 进而得到 s的最小值 第9页 共 22页 解答 解 将 x 代入得 t sin 将函数 y sin 2x 图象上的点 P向左平移 s 个单位 得到 P s 点 若 P 位于函数 y sin2x的图象上 则 sin 2s cos2s 则 2s 2k k
14、 Z 则 s k k Z 由 s 0 得 当 k 0时 s 的最小值为 故选 A 点评 本题考查的知识点是函数y Asin x A 0 0 的图象和性质 难度中档 8 5 分 袋中装有偶数个球 其中红球 黑球各占一半 甲 乙 丙是三个空 盒 每次从袋中任意取出两个球 将其中一个球放入甲盒 如果这个球是红球 就将另一个放入乙盒 否则就放入丙盒 重复上述过程 直到袋中所有球都被放 入盒中 则 A 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C 乙盒中红球不多于丙盒中红球 D 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 分析 分析理解题意 乙中放红球 则甲中也肯定是放红球 往丙中放球的前 提是放
15、入甲中的不是红球 据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析 解答 解 取两个球共有 4 种情况 红 红 则乙盒中红球数加1 个 黑 黑 则丙盒中黑球数加1 个 红 黑 红球放入甲盒中 则乙盒中黑球数加1 个 黑 红 黑球放入甲盒中 则丙盒中红球数加1 个 第10页 共 22页 设一共有球 2a 个 则 a 个红球 a 个黑球 甲中球的总个数为 a 其中红球 x 个 黑球 y 个 x y a 则乙中有 x 个球 其中 k 个红球 j 个黑球 k j x 丙中有 y 个球 其中 l 个红球 i 个黑球 i l y 黑球总数 a y i j 又 x y a 故 x i j 由于 x k j 所以可得
16、 i k 即乙中的红球等于丙中的黑球 故选 B 点评 该题考查了推理与证明 重点是找到切入点逐步进行分析 对学生的逻 辑思维能力有一定要求 中档题 二 填空题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 5 分 设 a R 若复数 1 i a i 在复平面内对应的点位于实轴上 则 a 1 分析 1 i a i a 1 a 1 i 则 a 1 0 解得答案 解答 解 1 i a i a 1 a 1 i 若复数 1 i a i 在复平面内对应的点位于实轴上 则 a 1 0 解得 a 1 故答案为 1 点评 本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义 难度不大 属于 基础题 10 5 分 在 1 2x 6的展开式中 x 2 的系数为60 用数字作答 分析 利用二项式定理展开式的通项公式即可得出 解答 解 1 2x 6的展开式中 通项公式Tr 1 2x r 2 r xr 令 r 2 则 x2的系数 60 故答案为 60 点评 本题考查了二项式定理的应用 考查了推理能力与计算能力 属于基础 题 第11页 共 22页 11 5 分 在极坐标系中 直线 cos sin 1 0 与圆 2cos
