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1、2016 高考全国 卷理数 1 设集合 2 430 Ax xx 230 Bxx 则ABI A 3 3 2 B 3 3 2 C 3 1 2 D 3 3 2 答案 D 考点 集合运算 2 设 1i 1ixy 其中x y是实数 则i xy A 1 B 2 C 3 D 2 答案 B 解析 试题分析 因为 1 1 i xyi所以 1 1 1 1 2 xxiyixyxxyii所以故故选 B 考点 复数运算 3 已知等差数列 na前 9 项的和为 27 10 8 a 则100 a A 100 B 99 C 98 D 97 答案 C 解析 试题分析 由已知 1 1 93627 98 ad ad 所以 1100
2、1 1 1 9919998 adaad故 选 C 考点 等差数列及其运算 4 某公司的班车在7 30 8 00 8 30 发车 小明在7 50 至 8 30 之间到达发车站乘坐班车 且到 达发车站的时刻是随机的 则他等车时间不超过10 分钟的概率是 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 答案 B 考点 几何概型 5 已知方程 x 2 m 2 n y 2 3m 2 n 1 表示双曲线 且该双曲线两焦点间的距离为 4 则 n的取值范围是 A 1 3 B 1 3 C 0 3 D 0 3 答案 A 解析 由题意知 双曲线的焦点在x轴上 所以 22 34mnmn 解得 2 1m 因为 方程 2
3、2 1 13 xy nn 表示双曲线 所以 10 30 n n 解得 1 3 n n 所以n的取值范围是 1 3 故选 A 考点 双曲线的性质 6 如图 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径 若该几何体的体 积是 28 3 则它的表面积是 A 17 B 18 C 20 D 28 答案 A 解析 试题分析 由三视图知 该几何体是 7 8 个球 设球的半径为R 则 3 7428 VR 833 解 得R2 所以它的表面积是 22 73 42217 84 故选 A 考点 三视图及球的表面积与体积 7 函数y 2x 2 e x 在 2 2 的图像大致为 A B C D 答案 D
4、 考点 函数图像与性质 8 若101abc 则 A cc ab B cc abba C loglog ba acbc D loglog ab cc 答案 C 考点 指数函数与对数函数的性质 9 执行右面的程序框图 如果输入的011xyn 则输出x y的值满足 A 2yx B 3yx C 4yx D 5yx 答案 C 解析 试 题 分 析 当 0 1 1xyn 时 1 1 0 1 11 2 xy 不 满 足 22 36xy 211 2 0 2 12 22 nxy 不满足 22 36xy 13 13 3 2 36 222 nxy 满足 22 36xy 输出 3 6 2 xy 则输出的 x y的 值
5、满足4yx 故选 C 考点 程序框图与算法案例 10 以抛物线 C的顶点为圆心的圆交C于A B两点 交C的准线于D E两点 已知 AB 4 2 DE 2 5 则C的焦点到准线的距离为 A 2 B 4 C 6 D 8 答案 B 解析 试 题 分 析 如 图 设 抛物 线方 程 为 2 2ypx 圆 的 半径 为r AB DE交x轴 于 C F点 则 2 2AC 即A点 纵 坐 标 为22 则A点 横 坐 标 为 4 p 即 4 OC p 由 勾 股 定 理 知 2222 DFOFDOr 2222 ACOCAOr 即 22224 5 2 2 2 p p 解得 4p 即C的焦点到准线的距离为4 故选
6、 B 考点 抛物线的性质 11 平面 过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A 平面CB 1D1 I平面 ABCD m I平面ABB 1 A1 n 则m n所成角的正弦值为 A 3 2 B 2 2 C 3 3 D 1 3 答案 A 考点 平面的截面问题 面面平行的性质定理 异面直线所成的角 12 已知函数 sin 0 24 f xx x 为 f x的零点 4 x为 yf x 图像的对称轴 且 f x 在 5 18 36 单调 则的最大值为 A 11 B 9 C 7 D 5 答案 B 考点 三角函数的性质 二 填空题 本题共4 小题 每小题5 分 13 设向量a m 1 b 1 2 且 a b
7、 2 a 2 b 2 则 m 答案 2 解析 试题分析 由 222 abab 得ab 所以1 1 20m 解得2m 考点 向量的数量积及坐标运算 14 5 2 xx的展开式中 x 3 的系数是 用数字填写答案 答案 10 解析 试题分析 5 2 xx的展开式的通项为 5 55 2 55 C 2 2C r rrrrr xxx 0r 1 2 5 令5 3 2 r 得 4r 所以 3 x 的系数是 4 5 2C10 考点 二项式定理 15 设等比数列 n a满足a1 a3 10 a2 a4 5 则 a1a2鬃 an的最大值为 答案 64 考点 等比数列及其应用 16 某高科技企业生产产品A和产品 B
8、需要甲 乙两种新型材料 生产一件产品 A需要甲材料 1 5 kg 乙材料 1 kg 用 5 个工时 生产一件产品B需要甲材料 0 5 kg 乙材料 0 3 kg 用 3 个工时 生产 一件产品 A的利润为 2100 元 生产一件产品B的利润为 900 元 该企业现有甲材料150 kg 乙材料 90 kg 则在不超过 600 个工时的条件下 生产产品 A 产品 B的利润之和的最大值为元 答案 216000 解析 试题分析 设生产产品A 产品B 分别为x y件 利润之和为 z元 那么由题意得约束条件 1 50 5150 0 390 53600 0 0 xy xy xy x y 目标函数 21009
9、00zxy 约束条件等价于 3300 103900 53600 0 0 xy xy xy x y 作出二元一次不等式组 表示的平面区域 即可行域 如图中阴影部分所示 将2100900zxy变 形 得 7 3900 z yx 作 直 线 7 3 yx并 平 移 当 直 线 7 3900 z yx经过点M时 z取得最大值 解方程组 103900 53600 xy xy 得M的坐标为 60 100 所以当 60 x 100y 时 max 210060900100216000z 故生产产品 A 产品 B的利润之和的最大值为 216000元 考点 线性规划的应用 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程
10、或演算步骤 17 本小题满分12 分 ABC 的内角A B C的对边分别为a b c 已知2cos coscos C aB bAc I 求C II 若 7 cABC 的面积为 3 3 2 求 ABC 的周长 答案 I C 3 II 57 解析 试题解析 I 由已知及正弦定理得 2cosC sincossincossinC 2cosCsinsinC 故2sinCcosCsinC 可得 1 cosC 2 所以C 3 考点 正弦定理 余弦定理及三角形面积公式 18 本小题满分12 分 如图 在以A B C D E F为顶点的五面体中 面ABEF为正方形 AF 2FD 90AFD o 且二面角 D A
11、F E与二面角C BE F都是60 o I 证明 平面ABEF平面EFDC II 求二面角 E BC A的余弦值 答案 I 见解析 II 2 19 19 解析 试 题 分 析 I 证 明 F 平 面FDC 结 合 F 平 面 F 可 得 平 面F 平 面 FDC II 建立空间坐标系 利用向量求解 试题解析 I 由已知可得FDF FF 所以F平面FDC 又F平面F 故平面F平面FDC II 过D作DGF 垂足为G 由 I 知DG平面 F 以G为坐标原点 GF uu u r 的方向为x轴正方向 GF uu u r 为单位长 建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz 由 I 知 DF 为二面角 DF
12、的平面角 故 DF60 o 则 DF2 DG3 可 得 1 4 0 3 4 0 3 0 0 D 0 0 3 考点 垂直问题的证明及空间向量的应用 19 本小题满分12 分 某公司计划购买2 台机器 该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一易损零件 在购进机器时 可以额外购买这种零件作为备件 每个200 元 在机器使用期间 如果备件不足再购买 则每个500 元 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使 用期内更换的易损零件数 得下面柱状图 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率 记X表 示 2 台机器三年内共需
13、更换的易损零件数 n表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 I 求X的分布列 II 若要求 0 5P Xn 确定n的最小值 III 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据 在19n与20n之中选其一 应选用 哪个 答案 I 见解析 II 19 III 19n 考点 概率与统计 随机变量的分布列 20 本小题满分12 分 设圆 22 2150 xyx的圆心为A 直线l过点B 1 0 且与x轴不重合 l交圆A于 C D两点 过B作AC的平行线交AD于点E I 证明 EAEB 为定值 并写出点E的轨迹方程 II 设点 E的轨迹为曲线C1 直线l 交C1于M N两点 过 B且与l 垂直的直线与圆
14、 A交于P Q两 点 求四边形 MPNQ 面积的取值范围 答案 1 34 22 yx 0y II 38 12 解析 试题分析 利用椭圆定义求方程 II 把面积表示为关于斜率k 的函数 再求最值 试题解析 因为 ACAD ACEB 故 ADCACDEBD 所以 EDEB 故 ADEDEAEBEA 又圆A的标准方程为16 1 22 yx 从而4 AD 所以4 EBEA 由题设得 0 1 A 0 1 B 2 AB 由椭圆定义可得点E的轨迹方程为 1 34 22 yx 0y 考点 圆锥曲线综合问题 21 本小题满分12 分 已知函数 错误 未找到引用源 有两个零点 I 求a的取值范围 II 设x1 x
15、2是错误 未找到引用源 的两个零点 证明 错误 未找到引用源 x2 2 答案 I 0 II 见解析 解析 试题分析 I 求导 根据导函数的符号来确定 主要要根据导函数零点来分类 II 借组 I 的结论来证 明 由 单 调 性 可 知 12 2xx等 价 于 12 2 f xfx 即 2 2 0fx 设 2 2 xx g xxexe 则 2 1 xx gxxee 则 当1x时 0gx 而 1 0g 故当1x时 0g x 从而 22 2 0g xfx 故 12 2xx 试题解析 1 2 1 1 2 xx fxxea xxea i 设0a 则 2 x f xxe f x只有一个零点 ii 设 0a
16、则当 1 x 时 0fx 当 1 x 时 0fx 所以 f x 在 1 单调递减 在 1 单调递增 又 1 fe 2 fa 取b满足0b且ln 2 a b 则 223 2 1 0 22 a f bba ba bb 故 f x存在两个零点 考点 导数及其应用 22 本小题满分10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 OAB是等腰三角形 AOB 120 以O为圆心 错误 未找到引用源 OA为半径作圆 I 证明 直线 AB与 O相切 II 点C D在 O上 且A B C D四点共圆 证明 AB CD 答案 I 见解析 II 见解析 考点 四点共圆 直线与圆的位置关系及证明 23 本小题满分10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 曲线C1的参数方程为 错误 未找到引用源 t为参数 a 0 在以坐标 原点为极点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线C2 4cos I 说明C1是哪种曲线 并将C1的方程化为极坐标方程 II 直线 C3的极坐标方程为 0 其中 0满足 tan 0 2 若曲线C1与C2的公共点都在C3 上 求 a 答案 I 圆 22 2 sin10a II 1
