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1、第1页 共 22页 2015 年广东省高考数学试卷 文科 一 选择题 共10 小题 每小题 5 分 满分 50 分 2015 年普通高等学校招生 全国统一考试 广东卷 数学 文科 1 5 分 若集合 M 1 1 N 2 1 0 则 M N A 0 1 B 0 C 1 D 1 1 2 5 分 已知 i 是虚数单位 则复数 1 i 2 A 2i B 2i C 2 D 2 3 5 分 下列函数中 既不是奇函数 也不是偶函数的是 A y x sin2x B y x 2 cosx C y 2x D y x 2 sinx 4 5 分 若变量 x y 满足约束条件 则 z 2x 3y 的最大值为 A 2 B
2、 5 C 8 D 10 5 5 分 设 ABC的内角 A B C的对边分别为 a b c 若 a 2 c 2 cosA 且 b c 则 b A B 2 C 2 D 3 6 5 分 若直线l1和 l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l 是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是 A l 与 l1 l2都不相交B l 与 l1 l2都相交 C l 至多与 l1 l2中的一条相交D l 至少与 l1 l2中的一条相交 7 5 分 已知 5 件产品中有 2 件次品 其余为合格品 现从这5 件产品中任取 2 件 恰有一件次品的概率为 A 0 4 B 0 6 C 0 8 D 1 8 5 分 已
3、知椭圆 1 m 0 的左焦点为 F1 4 0 则 m A 2 B 3 C 4 D 9 9 5 分 在平面直角坐标系xOy中 已知四边形ABCD是平行四边形 1 2 2 1 则 第2页 共 22页 A 5 B 4 C 3 D 2 10 5 分 若集合E p q r s 0 p s 4 0 q s 4 0 r s 4 且 p q r s N F t u v w 0 t u 4 0 v w 4 且 t u v w N 用 card X 表示集合 X中的元素个数 则 card E card F A 200 B 150 C 100 D 50 二 填空题 共3 小题 考生作答4 小题 每小题 5 分 满分
4、 15 分 一 必 做题 11 13 题 11 5 分 不等式 x2 3x 4 0 的解集为 用区间表示 12 5 分 已知样本数据x1 x2 xn的均值 5 则样本数据2x1 1 2x2 1 2xn 1 的均值为 13 5 分 若三个正数a b c 成等比数列 其中a 5 2 c 5 2 则 b 坐标系与参数方程选做题 14 5 分 在平面直角坐标系xOy 中 以原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 曲线C1的极坐标方程为 cos sin 2 曲线 C2的参数方 程为 t 为参数 则 C1与 C2交点的直角坐标为 几何证明选讲选做题 15 如图 AB为圆 O 的直径 E为 A
5、B 的延长线上一点 过E作圆 O 的切线 切点为 C 过 A 作直线 EC的垂线 垂足为 D 若 AB 4 CE 2 则 AD 三 解答题 共6 小题 满分 80 分 16 12 分 已知tan 2 第3页 共 22页 1 求 tan 的值 2 求的值 17 12 分 某城市 100 户居民的月平均用电量 单位 度 以 160 180 180 200 200 220 220 240 240 260 260 280 280 300 分组的频率分布直方图如图 1 求直方图中 x 的值 2 求月平均用电量的众数和中位数 3 在月平均用电量为 220 240 240 260 260 280 280 3
6、00 的四组用户中 用分层抽样的方法抽取11 户居民 则月平均用电量在 220 240 的用户中应抽取多少户 18 14 分 如图 三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直 PD PC 4 AB 6 BC 3 1 证明 BC 平面 PDA 2 证明 BC PD 3 求点 C 到平面 PDA的距离 19 14 分 设数列 an 的前 n 项和为 Sn n N 已知 a1 1 a2 a3 且 当 n 2 时 4Sn 2 5Sn 8Sn 1 Sn 1 1 求 a4的值 第4页 共 22页 2 证明 an 1 an 为等比数列 3 求数列 an 的通项公式 20 14 分 已知过原点的动直
7、线l 与圆 C1 x2 y2 6x 5 0相交于不同的两点A B 1 求圆 C1的圆心坐标 2 求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C的方程 3 是否存在实数k 使得直线 L y k x 4 与曲线C只有一个交点 若存 在 求出 k 的取值范围 若不存在 说明理由 21 14 分 设 a 为实数 函数f x x a 2 x a a a 1 1 若 f 0 1 求 a 的取值范围 2 讨论 f x 的单调性 3 当 a 2 时 讨论 f x 在区间 0 内的零点个数 第5页 共 22页 2015 年广东省高考数学试卷 文科 参考答案与试题解析 一 选择题 共10 小题 每小题 5 分 满分 50
8、分 2015 年普通高等学校招生 全国统一考试 广东卷 数学 文科 1 5 分 若集合 M 1 1 N 2 1 0 则 M N A 0 1 B 0 C 1 D 1 1 分析 进行交集的运算即可 解答 解 M N 1 1 2 1 0 1 故选 C 点评 考查列举法表示集合 交集的概念及运算 2 5 分 已知 i 是虚数单位 则复数 1 i 2 A 2i B 2i C 2 D 2 分析 利用完全平方式展开化简即可 解答 解 1 i 2 12 2i i2 1 2i 1 2i 故选 A 点评 本题考查了复数的运算 注意i2 1 3 5 分 下列函数中 既不是奇函数 也不是偶函数的是 A y x sin
9、2x B y x 2 cosx C y 2x D y x 2 sinx 分析 利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择 解答 解 四个选项中 函数的定义域都是R 对于 A x sin 2x x sin2x 是奇函数 对于 B x 2 cos x x 2 cosx 是偶函数 对于 C 是偶函数 对于 D x 2 sin x x2 sinx x2 sinx x2 sinx x2 sinx 所以是 第6页 共 22页 非奇非偶的函数 故选 D 点评 本题考查了函数奇偶性的判断 在定义域关于原点对称的前提下 判断 f x 与 f x 的关系 相等就是偶函数 相反就是奇函数 4 5 分 若变量 x y
10、 满足约束条件 则 z 2x 3y 的最大值为 A 2 B 5 C 8 D 10 分析 作出不等式对应的平面区域 利用线性规划的知识 通过平移即可求z 的最大值 解答 解 作出不等式对应的平面区域 阴影部分 由 z 2x 3y 得 y 平移直线 y 由图象可知当直线y 经过点 B时 直线 y 的截距最大 此时z 最大 由 解得 即 B 4 1 此时 z 的最大值为 z 2 4 3 1 8 3 5 故选 B 点评 本题主要考查线性规划的应用 利用数形结合是解决线性规划题目的常 用方法 第7页 共 22页 5 5 分 设 ABC的内角 A B C的对边分别为 a b c 若 a 2 c 2 cos
11、A 且 b c 则 b A B 2 C 2 D 3 分析 运用余弦定理 a 2 b2 c2 2bccosA 解关于 b 的方程 结合 b c 即可 得到 b 2 解答 解 a 2 c 2 cosA 且 b c 由余弦定理可得 a2 b2 c2 2bccosA 即有 4 b2 12 4 b 解得 b 2 或 4 由 b c 可得 b 2 故选 B 点评 本题考查三角形的余弦定理及应用 主要考查运算能力 属于中档题和 易错题 6 5 分 若直线l1和 l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l 是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是 A l 与 l1 l2都不相交B l 与 l1 l2
12、都相交 C l 至多与 l1 l2中的一条相交D l 至少与 l1 l2中的一条相交 分析 可以画出图形来说明l 与 l1 l2的位置关系 从而可判断出A B C是 错误的 而对于D 可假设不正确 这样l 便和 l1 l2都不相交 这样可推出和 l1 l2异面矛盾 这样便说明D 正确 解答 解 A l 与 l1 l2可以相交 如图 第8页 共 22页 该选项错误 B l 可以和 l1 l2中的一个平行 如上图 该选项错误 C l 可以和 l1 l2都相交 如下图 该选项错误 D l至少与 l1 l2中的一条相交 正确 假如 l 和 l1 l2都不相交 l 和 l1 l2都共面 l 和 l1 l
13、2都平行 l1 l2 l1和 l2共面 这样便不符合已知的l1和 l2异面 该选项正确 故选 D 点评 考查异面直线的概念 在直接说明一个命题正确困难的时候 可说明它 的反面不正确 7 5 分 已知 5 件产品中有 2 件次品 其余为合格品 现从这5 件产品中任取 2 件 恰有一件次品的概率为 A 0 4 B 0 6 C 0 8 D 1 分析 首先判断这是一个古典概型 而基本事件总数就是从5 件产品任取2 件的取法 取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解 最后带入古典概 型的概率公式即可 第9页 共 22页 解答 解 这是一个古典概型 从5 件产品中任取 2 件的取法为 基本事件总数为1
14、0 设 选的2 件产品中恰有一件次品 为事件A 则 A 包含的基本事件个数为 6 P A 0 6 故选 B 点评 考查古典概型的概念 以及古典概型的概率求法 明白基本事件和基本 事件总数的概念 掌握组合数公式 分步计数原理 8 5 分 已知椭圆 1 m 0 的左焦点为 F1 4 0 则 m A 2 B 3 C 4 D 9 分析 利用椭圆 1 m 0 的左焦点为 F1 4 0 可得 25 m2 16 即可求出 m 解答 解 椭圆 1 m 0 的左焦点为 F1 4 0 25 m2 16 m 0 m 3 故选 B 点评 本题考查椭圆的性质 考查学生的计算能力 比较基础 9 5 分 在平面直角坐标系x
15、Oy中 已知四边形ABCD是平行四边形 1 2 2 1 则 A 5 B 4 C 3 D 2 分析 由向量加法的平行四边形法则可求 的坐标 然后代入向量数 第10页 共 22页 量积的坐标表示可求 解答 解 由向量加法的平行四边形法则可得 3 1 3 2 1 1 5 故选 A 点评 本题主要考查了向量加法的平行四边形法则及向量数量积的坐标表示 属于基础试题 10 5 分 若集合E p q r s 0 p s 4 0 q s 4 0 r s 4 且 p q r s N F t u v w 0 t u 4 0 v w 4 且 t u v w N 用 card X 表示集合 X中的元素个数 则 car
16、d E card F A 200 B 150 C 100 D 50 分析 对于集合 E s 4时 p q r 从 0 1 2 3 任取一数都有 4 种取法 从而构成的元素 p q r s 有 4 4 4 64 个 再讨论 s 3 2 1 的情况 求法一样 把每种情况下元素个数相加即可得到集合E的元素个数 而对于集合 F 需讨论两个数 u w 方法类似 最后把求得的集合E F 元素个数相加即 可 解答 解 1 s 4时 p q r 的取值的排列情况有4 4 4 64种 s 3时 p q r 的取值的排列情况有3 3 3 27种 s 2时 有 2 2 2 8种 s 1时 有 1 1 1 1种 card E 64 27 8 1 100 2 u 4时 若 w 4 t v 的取值的排列情况有4 4 16种 若 w 3 t v 的取值的排列情况有4 3 12 种 若 w 2 有 4 2 8种 若 w 1 有 4 1 4种 u 3 时 若 w 4 t v 的取值的排列情况有3 4 12种 若 w 3 t v 的取值的排列情况有3 3 9 种 若 w 2 有 3 2 6种 第11页 共 22页 若 w
