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1、1 梅河口市第五中学高一暑期奥赛班梅河口市第五中学高一暑期奥赛班 数学试题 理科 数学试题 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 1 23 yx yN 则 NM A B 0 2 0 3 C 3 3 D 2 3 2 以下有关命题的说法错误的是 A 命题 若023 2 xx 则1x 的逆否命题为 若1x 则 2 320 xx B 若qp 为假命题 则p q均为假命题 C 1 x 是 023 2 xx
2、 的充分不必要条件 D 对于命题 0 pxR 使得 2 00 10 xx 则 pxR 则 2 10 xx 3 某单位共有老 中 青职工 430 人 其中青年职工 160 人 中年职工人数是老年职工人数的 2 倍 为了解职工身体 状况 现采用分层抽样方法进行调查 在抽取的样本中有青年职工 32 人 则该样本中的老年职工人数为 A 9B 18C 27D 36 4 已知向量a 1 1 0 b 1 0 2 且 ka b 与 2a b 互相垂直 则 k 值是 A 1B 5 1 C 5 3 D 5 7 5 在平行六面体 1111 DCBAABCD 中 设 11 32CCzACyABxAC 则zyx 等于
3、A 1B 3 2 C 6 5 D 6 11 6 若双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长 则该双曲线的离心 率为 A 5B 5C 2D 2 7 对任意非零实数ba 定义ba 的算法原理如上右侧 程序框图所示 设a为函数xxycossin2 的最大值 b为双曲线1 124 22 yx 的离心率 则计算机执行该运算后输 出结果是 A 3 7 B 4 7 C 5 7 D 2 7 8 已知曲线 C y 2 2 x 点 A 0 2 及点 B 3 a 从点 A 观察点 B 要使视线不被曲线 C 挡住 则实数 a 的取值 范围是 A 4 B 4 C 10 D 10 9 已
4、知抛物线 0 2 2 ppxy与双曲线1 2 2 2 2 b y a x 有相同的焦点 F 点 A 是两曲线的交点 且 AF x 轴 则双曲线的离心率为 2 A 5 1 2 B 3 1C 2 1D 2 2 1 2 10 棱长均为 1 三棱锥ABCS 若空间一点 P 满足SCzSBySAxSP 1 zyx 则SP的最小值为 A 1B 3 6 C 6 3 D 2 6 11 已知椭圆1 49 22 yx 的左 右顶点分别为 A1和 A2 垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为 P1和 P2 其中 P1的纵坐标为正数 则直线 A1P1与 A2P2的交点 M 的轨迹方程 A 1 49 22 yx
5、B 1 49 22 xy C 1 49 22 yx D 1 49 22 xy 12 如图 过双曲线1 2516 22 yx 的左焦点 F 引圆 x2 y2 16 的切线 切点为 T 延长 FT 交双曲线右支于 P 点 若 M 为线段 FP 的中点 O 为坐标原点 则 MTMO A 1B 2 3 C 4 5 D 2 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 13 在随机数模拟试验中 若randx 3 randy 2 rand 表示生成 0 到 1 之间的随机数 共做了m次试验 其中有n次满足1 49 22 yx 则椭圆1 4
6、9 22 yx 的面积可估计为 rand 表示生成 0 到 1 之间的随机数 14 与双曲线1 45 22 yx 有共同渐近线 且过点 2 2 的双曲线方程是 15 以下四个关于圆锥曲线的命题中 设 A B 为两个定点 k 为非零常数 若 PA PB k 则动点 P 的轨迹为双曲线 过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB O 为坐标原点 若学科网OBOAOP 2 1 2 1 则动点 P 的轨迹为椭圆 抛物线 2 ayx 0 a的焦点坐标是 0 4 1 a 曲线1 916 22 yx 与曲线1 1035 22 yx 35 且 10 有相同的焦点 其中真命题的序号为 16 点 yxP 在函数
7、4 13 2 x y 的图象上运动 则 2x y 的最大值与最小值之比为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7 70 0 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 10 分 已知0a 设命题 p 函数 x ya 在 R 上单调递增 命题 q 不等式 2 10axax 对xR 恒成立 若 p 且 q 为假 p 或 q 为真 求 a 的取值范围 18 12 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 侧棱 PA 底面 ABCD AB 3 BC 1 PA 2 E 为 PD 的中点 3 求直线 AC
8、与 PB 所成角的余弦值 在侧面 PAB 内找一点 N 使 NE 面 PAC 并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离 19 12 分 如图 四棱锥PABCD 中 底面ABCD为梯形 60DAB AB CD 22ADCDAB PD 底面ABCD M为PC的中点 证明 BDPC 若ADPD 2 2 求二面角DBMP 的余弦值 20 12 分 在 ABC中 a b c分别是角A B C的对边 且 ca b C B 2cos cos 求角B的大小 若13 b 4 ca 求 ABC的面积 21 12 分 已知抛物线 C y2 4x 直线 l y 1 2x b 与 C 交于 A B 两点 O 为坐标原点
9、 当直线 l 过抛物线 C 的焦点 F 时 求 AB 是否存在直线 l 使得直线 OA OB 倾斜角之和为 135 若存在 求出直线 l 的方程 若不存在 请说明理由 22 12 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的焦距为 4 且过点 23 P 求椭圆 C 的方程 设 0000 0 Q xyx y 为椭圆C上一点 过点Q作x轴的垂线 垂足为E 取点 0 2 2 A 连接AE 过点A 作AE的垂线交x轴于点D 点G是点D关于y轴的对称点 作直线QG 问这样作出的直线QG是否与椭圆 C 一 定有唯一的公共点 并说明理由 AB C D P M 第 19 题图 4 一 选择题 一
10、选择题 1 C 2 B 3 B 4 D 5 D 6 A 7 B 8 D 9 C 10 B 11 C 12 A 二 填空题 二 填空题 13 m n24 14 1 4 5 2 2 x y 15 16 5 4 三 解答题 三 解答题 17 解 y ax在 R 上单调递增 a 1 2 分 又不等式 ax2 ax 1 0 对 x R 恒成立 0 即 a2 4a 0 0 a 4 4 分 q 0 a 4 而命题 p 且 q 为假 p 或 q 为真 那么 p q 中有且只有一个为真 一个为假 若 p 真 q 假 则 a 4 6 分 若 p 假 q 真 则 0 a 1 8 分 所以 a 的取值范围为 0 1
11、4 10 分 18 解 方法一 1 设 AC BD O 连 OE 则 OE PB EOA 即为 AC 与 PB 所成的角或其补角 2 分 在 AOE 中 AO 1 OE 2 7 2 1 PB 2 5 2 1 PDAE 14 73 1 2 7 2 4 5 4 7 1 cos EOA 即 AC 与 PB 所成角的余弦值为 14 73 6 分 2 在面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 F 则 6 ADF 连 PF 则在 Rt ADF 中 3 3 tan 3 32 cos ADFADAF ADF AD DF 设 N 为 PF 的中点 连 NE 则 NE DF DF AC DF PA
12、DF 面 PAC 从而 NE 面 PAC N 点到 AB 的距离1 2 1 AP N 点到 AP 的距离 6 3 2 1 AF 12 分 方法二 建立如图所示的空间直角坐标系 则 A B C D P E 的坐标为 A 0 0 0 B 3 0 0 C 3 1 0 D 0 1 0 P 0 0 2 E 0 2 1 1 3 分 5 A B C D P M x y z 从而 2 0 3 0 1 3 PBAC 设PBAC与的夹角为 则 14 73 72 3 cos PBAC PBAC AC 与 PB 所成角的余弦值为 14 73 6 分 由于 N 点在侧面 PAB 内 故可设 N 点坐标为 x O z 则
13、 1 2 1 zxNE 由 NE 面 PAC 可得 0 2 1 3 01 0 0 1 3 1 2 1 0 2 0 0 1 2 1 0 0 x z zx zx ACNE APNE 化简得即 1 6 3 z x 10 分 即 N 点的坐标为 1 0 6 3 从而 N 点到 AB AP 的距离分别为 1 6 3 12 分 19 解 由余弦定理得 22 122 1 2cos603BD 222 BDABAD 90ABD DCABABBD BDDC PD 底 面ABCD BD 底面ABCD BDPD 又 PDDCD BD 平面 PDC 又PC 平面PDC BDPC 已知1 AB 2 CDAD 2 PD 由
14、 可知BD 平面 PDC 如图 以 D 为坐标原点 射线 DB 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz 则 0 0 0 D 3 0 0 B 0 2 0 C 2 0 0 P 2 0 1 2 M 3 0 0 DB 2 2 1 0 DM 2 2 0 CP 3 2 0 CB 8 分 设平面BDM的法向量为 mx y z 则 0 0 m DB m DM 0 2 2 0 zyx 令2 z 可取 2 1 0 m 9 分 6 同理设平面BMP的法向量为 na b c 则 0 0 n CP n CB 2 1 3 32 n 10 分 13 13 3 13 3 1 cos nm 二面角DBMP 的余弦值大小为
15、 13 13 12 分 20 解 1 BaCbBccos2coscos 由正弦定理 BACBBCcossin2cossincossin BACBcossin2 sin 3 分 又 ACBsin sin 2 1 cos B B0 3 2 B 6 分 2 Baccabcos2 222 8 分 acacacca 16 2 1 2213 2 3 ac 4 33 2 2 3 2 1 sin 2 1 BacS ABC 12 分 21 解 1 抛物线 C y2 4x 的焦点为 F 1 0 代入直线 y 1 2x b 可得 b 1 2 1 分 l y 1 2x 1 2 设 A x 1 y1 B x2 y2 联
16、立 y2 4x y 1 2x 1 2 消去 y 得 x2 18x 1 0 x1 x2 18 x1x2 1 7 方法一方法一 AB 1 k2 x1 x2 5 4 x1 x2 2 4x1x2 20 4 分 方法二方法二 AB x1 x2 p 18 2 20 4 分 2 假设存在满足要求的直线 l y 1 2x b 设 A x1 y1 B x2 y2 联立 y2 4x y 1 2x b 消去 x 得 y2 8y 8b 0 y1 y2 8 y1y2 8b 6 分 设直线 OA OB 的倾斜角分别为 斜率分别为 k1 k2 则 135 tan tan135 k1 k2 1 k1k2 1 8 分 其中 k1 y1 x1 4 y1 k 2 y2 x2 4 y2 代入上式整理得 y1y2 16 4 y1 y2 0 10 分 8b 16 32 0 即 b 2 11 分 代入 64 32b 128 0 满足要求 综上 存在直线 l y 1 2x 2 使得直线 OA OB 的倾斜角之和为 135 12 分 22 解 1 因为椭圆过点 23 P 22 23 1 ab 且 222 abc 2 8a 2 4b 2
