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1、习题33-1原长为的弹簧，上端固定，下端挂一质量为的物体，当物体静止时，弹簧长为现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8）解：振动方程：，在本题中，所以； 。取竖直向下为x正向，弹簧伸长为0.1m时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1m， 当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为。所以： 即：。3-2有一单摆，摆长，小球质量，时，小球正好经过处，并以角速度向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。（g取9.8）解：振动方程：
2、 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。（1）角频率：，频率： ，周期：；（2）振动方程可表示为：，根据初始条件，时：，可解得：，所以得到振动方程： 。3-3一质点沿轴作简谐振动，振幅为，周期为。当时，位移为，且向轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2）时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于，且向轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：（1）由题已知 A=0.12m，T=2 s ， 又t=0时，由旋转矢量图，可知：故振动方程为：； （2）将t=0.5 s代入得：，方向指向坐标原点，即沿x轴负向；（3）由题知，某时刻质点位于，且向轴负方向运动，如图示，质点从位置
3、回到平衡位置处需要走，建立比例式：，有： 。3-4两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 处，且向左运动时，另一个质点2在 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。解：由旋转矢量图可知：当质点1在 处，且向左运动时，相位为，而质点2在 处，且向右运动，相位为。所以它们的相位差为。3-5当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？解：由，有：，（1）当时，由，有：，；（2）当时，有：，。3-6两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) （1）求合振动的振幅。（2）求合振动的振动表达式。解：通过旋转矢量图做最为简单。由图可知，
4、两个振动同频率，且初相：，初相：，表明两者处于反相状态，（反相，），合成振动的振幅： ；合成振动的相位： ；合成振动的方程： 。3-7两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为，与第一个振动的位相差为。若第一个振动的振幅为。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？解：如图，可利用余弦定理：由图知 =0.01 mA=0.1 m ，再利用正弦定理：，有：，。说明A与A间夹角为/2，即两振动的位相差为/2 。3-8. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动：（1） ；（2） ；（3） 。试判别质点运动的轨迹。解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。对于，的叠
5、加，可推得：（1）将，代入有：，则方程化为：，轨迹为一般的椭圆；（2）将，代入有：则方程化为：，即，轨迹为一直线；（3）将，代入有：则方程化为：，轨迹为圆心在原点，半径为4m的圆。3-9沿一平面简谐波的波线上，有相距的两质点与，点振动相位比点落后，已知振动周期为，求波长和波速。解：根据题意，对于A、B两点，而相位和波长之间满足关系：，代入数据，可得：波长=24m。又T=2s，所以波速。3-10已知一平面波沿轴正向传播，距坐标原点为处点的振动式为，波速为，求：（1）平面波的波动式；（2）若波沿轴负向传播，波动式又如何?解：（1）设平面波的波动式为，则点的振动式为：，与题设点的振动式比较，有：，平
6、面波的波动式为：；（2）若波沿轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：，则点的振动式为：，与题设点的振动式比较，有：，平面波的波动式为：。3-11一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知点的振动规律为，试写出：（1）该平面简谐波的表达式；（2）点的振动表达式（点位于点右方处）。解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以点为原点平面简谐波的表达式为：，则点的振动式：题设点的振动式比较，有：，该平面简谐波的表达式为：（2）B点的振动表达式可直接将坐标，代入波动方程：3-12已知一沿正方向传播的平面余弦波，时的波形如图所示，且周期为。（1）写出点的振动表达式；（2）写出该波的波动表达式；（3）写出点的振动
7、表达式；（4）写出点离点的距离。解：由图可知：，而，则：，波动方程为：点的振动方程可写成：由图形可知：时：，有：考虑到此时，（舍去）那么：（1）点的振动表达式：；（2）波动方程为：；（3）设点的振动表达式为：由图形可知：时：，有：考虑到此时，（或）A点的振动表达式：，或；（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程为：，与（3）求得的A点的振动表达式比较，有：，所以： 。3-13一平面简谐波以速度沿轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：（1）原点的振动表达式；（2）波动表达式；（3）同一时刻相距的两点之间的位相差。解：这是一个振动 图像！由图可知A=0.5cm，设原点处的振动
8、方程为：。（1）当时，考虑到：，有：，当时，考虑到：，有：，原点的振动表达式：；（2）沿轴负方向传播，设波动表达式：而，；（3）位相差： 。3-14一正弦形式空气波沿直径为的圆柱形管行进，波的平均强度为，频率为，波速为。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？解：（1）已知波的平均强度为：，由 有：；（2）由， 。3-15一弹性波在媒质中传播的速度，振幅，频率。若该媒质的密度为，求：（1）该波的平均能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积的总能量。解：（1）由：，有：；（2）1分钟为60秒，通过面积的总能量为： 。3-16设与为两个相干波源，相距波长，比
9、的位相超前。若两波在在、连线方向上的强度相同且不随距离变化，问、连线上在外侧各点的合成波的强度如何？又在外侧各点的强度如何？解：（1）如图，、连线上在外侧，两波反相，合成波强度为0；（2）如图，、连线上在外侧，两波同相，合成波的振幅为，合成波的强度为： 。3-17图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。为声源，为声音探测器，如耳或话筒。路径的长度可以变化，但路径是固定的。干涉仪内有空气，且知声音强度在的第一位置时为极小值100单位，而渐增至距第一位置为的第二位置时，有极大值单位。求：（1）声源发出的声波频率；（2）抵达探测器的两波的振幅之比。解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：，相邻波
10、节与波腹的间距：，可得：。（1）声音的速度在空气中约为340m/s，所以：（2），依题意有： ，那么 。3-18蝙蝠在洞穴中飞来飞去，是利用超声脉冲来导航的。假定蝙蝠发出的超声频率为39000Hz。当它以空气中声速的的运动速率朝着墙壁飞扑过程中，试问它自己听到的从墙壁反射回来的脉冲频率是多少？解：根据多普勒效应，3-19一声源的频率为1080Hz，相对于地以30m/s的速度向右运动，在其右方有一反射面相对于地以65m/s的速率向左运动，设空气中的声速为331m/s，求：（1）声源在空气中发出声音的波长；（2）每秒钟到达反射面的波数；（3）反射波的波速；（4）反射波的波长。解：（1）在声源前方静
11、止接收器接收到的频率 声音的波长（2）每秒钟到达反射面的波数（等于反射波的频率）为 （3）波速只取决于媒质的性质，因此反射波的波速仍为 （4）反射波的波长为 3-20试计算：一波源振动的频率为，以速度向墙壁接近（如图所示），观察者在点听得拍音的频率为，求波源移动的速度，设声速为。解：根据观察者不动，波源运动，即：，观察者认为接受到的波数变了：，其中，分别代入，可得： 。思考题3-1试说明下列运动是不是简谐振动：（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动；（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件： 描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆
12、长等等在运动中保持为常量； 系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动； 在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。或者说，若一个系统的运动微分方程能用描述时，其所作的运动就是谐振动。那么，（1）拍皮球时球的运动不是谐振动。第一、球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二、球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力。要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一、描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长等等在运动中保持为常量；二、系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三、在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。或者说，若一个系统的运动微分方
13、程能用描述时，其所作的运动就是谐振动。 （2）小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动。显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为。题中所述，故，所以回复力为。（式中负号表示回复力的方向始终与角位移的方向相反）即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的。若以小球为对象，则小球在以O为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有mR，令，则有：。3-2简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的?加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加
14、？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小?答： 简谐振动的速度： ；加速度：；要使它们同号，必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就是异号的。加速度为正值时，振动质点的速率不一定在增加，反之，加速度为负值时，速率也不一定在减小。只有当速度和加速度是同号时，加速度才能使速率增加；反之，两者异号时，加速度使速率减小。3-3分析下列表述是否正确，为什么?（1）若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动；（2）简谐振动过程是能量守恒的过程，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。答：（1）的表述是正确的，原因参考7-1；（2）的表述不正确，比如自由落体运动中能量守恒，但不是简谐振动。3-4用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。方法1：使其从平衡位置压缩，由静止开始释放。方法2：使其从平衡位置压缩2，由静止开始释放。若两次振动的周期和总能量分别用和表示，则它们满足下面那个关系？（A） （B） （C） （D） 答：根据题意，这两次弹簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。选择（B）。3-5一质点沿x轴作简谐振动，周期为T，振幅为A，质点从运动到处所需要的最短时间为
