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1、习题11.1选择题(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径的端点处,其速度大小为(A) (B)(C) (D) 答案:D(2) 一质点作直线运动,某时刻的瞬时速度,瞬时加速度,则一秒钟后质点的速度(A)等于零 (B)等于-2m/s(C)等于2m/s (D)不能确定。答案:D(3) 一质点沿半径为R的圆周作匀速率运动,每t秒转一圈,在2t时间间隔中,其平均速度大小和平均速率大小分别为(A) (B) (C) (D) 答案:B1.2填空题(1) 一质点,以的匀速率作半径为5m的圆周运动,则该质点在5s内,位移的大小是;经过的路程是。答案: 10m; 5m(2) 一质点沿x方向运动,其加速度随时间的变化关系为
2、a=3+2t (SI),如果初始时刻质点的速度v0为5ms-1,则当t为3s时,质点的速度v=。答案: 23ms-1 (3) 轮船在水上以相对于水的速度航行,水流速度为,一人相对于甲板以速度行走。如人相对于岸静止,则、和的关系是。答案: 1.3一个物体能否被看作质点,你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定:(1) 物体的大小和形状;(2) 物体的内部结构;(3) 所研究问题的性质。解:只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响,因此主要由所研究问题的性质决定。1.4下面几个质点运动学方程,哪个是匀变速直线运动?(1)x=4t-3;(2)x=-4t3+3t2+6;(3)x=-2t2+
3、8t+4;(4)x=2/t2-4/t。给出这个匀变速直线运动在t=3s时的速度和加速度,并说明该时刻运动是加速的还是减速的。(x单位为m,t单位为s)解:匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得(3)为匀变速直线运动。其速度和加速度表达式分别为t=3s时的速度和加速度分别为v=20m/s,a=4m/s2。因加速度为正所以是加速的。1.5在以下几种运动中,质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零?(1) 匀速直线运动;(2) 匀速曲线运动;(3) 变速直线运动;(4) 变速曲线运动。解:(1) 质点作匀速直线运动时,其切向加速度、法
4、向加速度及加速度均为零;(2) 质点作匀速曲线运动时,其切向加速度为零,法向加速度和加速度均不为零;(3) 质点作变速直线运动时,其法向加速度为零,切向加速度和加速度均不为零;(4) 质点作变速曲线运动时,其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。1.6 与 有无不同?和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?试举例说明解:(1)是位移的模,是位矢的模的增量,即,;(2)是速度的模,即.只是速度在径向上的分量.有(式中叫做单位矢),则式中就是速度在径向上的分量,不同如题1.6图所示. 题1.6图 (3)表示加速度的模,即,是加速度在切向上的分量.有表轨道节线方向单位矢),所以式中就是加速度的切向
5、分量.(的运算较复杂,超出教材规定,故不予讨论)1.7 设质点的运动方程为=(),=(),在计算质点的速度和加速度时,有人先求出r,然后根据 =及而求得结果;又有人先计算速度和加速度的分量,再合成求得结果,即 =,= 你认为两种方法哪一种正确?为什么?两者差别何在?解:后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量,在平面直角坐标系中,有,故它们的模即为而前一种方法的错误可能有两点,其一是概念上的错误,即误把速度、加速度定义作其二,可能是将误作速度与加速度的模。在1.6题中已说明不是速度的模,而只是速度在径向上的分量,同样,也不是加速度的模,它只是加速度在径向分量中的一部分。或者概括性地说,前一种方
6、法只考虑了位矢在径向(即量值)方面随时间的变化率,而没有考虑位矢及速度的方向随时间的变化率对速度、加速度的贡献。1.8 一质点在平面上运动,运动方程为=3+5, =2+3-4.式中以 s计,,以m计(1)以时间为变量,写出质点位置矢量的表示式;(2)求出=1 s 时刻和2s 时刻的位置矢量,计算这1秒内质点的位移;(3)计算0 s时刻到4s时刻内的平均速度;(4)求出质点速度矢量表示式,计算4 s 时质点的速度;(5)计算0s 到4s 内质点的平均加速度;(6)求出质点加速度矢量的表示式,计算4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系
7、中的矢量式)解:(1) (2)将,代入上式即有 (3) (4) 则 (5) (6) 这说明该点只有方向的加速度,且为恒量。1.9 质点沿轴运动,其加速度和位置的关系为 2+6,的单位为,的单位为 m. 质点在0处,速度为10,试求质点在任何坐标处的速度值解: 分离变量: 两边积分得由题知,时,, 1.10 已知一质点作直线运动,其加速度为 4+3 ,开始运动时,5 m, =0,求该质点在10s 时的速度和位置 解: 分离变量,得 积分,得 由题知,, ,故 又因为 分离变量, 积分得 由题知 , ,故 所以时1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动,运动方程为 =2+3,式中以弧度计,以秒计
8、,求:(1) 2 s时,质点的切向和法向加速度;(2)当加速度的方向和半径成45角时,其角位移是多少? 解: (1)时, (2)当加速度方向与半径成角时,有即 亦即 则解得 于是角位移为1.12 质点沿半径为的圆周按的规律运动,式中为质点离圆周上某点的弧长,,都是常量,求:(1)时刻质点的加速度;(2) 为何值时,加速度在数值上等于解:(1) 则 加速度与半径的夹角为(2)由题意应有即 当时,1.13 飞轮半径为0.4 m,自静止启动,其角加速度为=0.2 rad,求2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度解:当时, 则1.14 一船以速率30kmh-1沿直线向东行驶,另一小艇在其前方以速率40kmh-1沿直线向北行驶,问在船上看小艇的速度为多少?在艇上看船的速度又为多少?解:(1)大船看小艇,则有,依题意作速度矢量图如题1.14图(a)题1.14图由图可知 方向北偏西 (2)小艇看大船,则有,依题意作出速度矢量图如题1.14图(b),同上法,得方向南偏东.