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1、第一章n阶行列式教案讲稿【哈工大版】 教学单元教案格式线性代数课程教案授课题目第一章n阶行列式教学时数8学时教学目的及要求1.理解行列式的概念，理解行列式的子式、余子式及代数余子式的概念。 2.熟练掌握阶行列式的性质及按行、列展开定理并计算行列式。 3.掌握解线性方程组的克莱姆法则，会用克拉默法则求解非齐次线性方程组。 授课类型理论课实践课教学重点行列式的性质及行列式按行(列)展开定理。 教学难点行列式的定义，行列式的性质及行列式按行(列)展开定理，一些特殊n阶行列式的计算。 教学方法和手段课程综合课堂的讲授、习题、讨论及课外资料的查询、分析等方法来传授知识。 教学手段主要利用多媒体开展，课外
2、资料查询、分析利用网络、图书馆进行。 选用教材和参考书目教材郑宝东主编.线性代数与空间解析几何.高等教育出版社，北京，xx。 参考书目1同济大学数学教研室编.线性代数(第六版).高等教育出版社.xx年2赵连偶，刘晓东.线性代数与几何(面向21世纪课程教材).高等教育出版社3居余马等.线性代数.清华大学出版社4赵树原主编，线性代数（第三版），中国人民大学出版社1998年6月；5徐仲主编，线性代数典型题分析解集（第二版），西北工业大学出版社2000年8月；6陈文灯，黄先开编，线性代数复习指导思路、方法、技巧，世界图书出版公司1998年10月。 线性代数课程教案教学内容及过程教学引入线性代数与空间解
3、析几何是讨论代数学中线性关系经典理论的课程，它具有较强的抽象性与逻辑性，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。 由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科。 旁批正式学习行列式知识前需要大家复习高中排列的知识引入逆序数概念教学内容与教学设计第一章行列式（8学时）1.1阶行列式的定义1.2行列式的性质1.3行列式按行(列)展开1.4克拉默法则排列及其逆序数1排列n个依次排列的元素例如,自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种1234,1342,1423,1432,1324,12432134,
4、2341,2413,2431,2314,21433124,3241,3412,3421,3214,31424123,4231,4312,4321,4213,4132例1互异元素p1,p2,?,p n构成的不同排列有n!种解在n个元素中选取1个n种取法在剩余n?1个元素中选取1个n?1种取法在剩余n?2个元素中选取1个n?2种取法?在剩余2个元素中选取1个2种取法在剩余1个元素中选取1个1种取法-总共n!种取法2标准排列n个不同的自然数从小到大构成的排列n个不同的元素按照某种约定次序构成的排列3逆序数 (1)某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时,称这两个数（元素）之间有1个逆序 (2)排列
5、p1p2?p n中逆序的总和称为排列的逆序数,记作?(p1p2?p n)算法固定i(?2,?,n),当j?i时,满足那么p j?p i的“p j”的个数记作?i（称为p i的逆序数）,?(p1p2?p n)?2?n例2排列6372451中,?2?7?1?0?3?2?2?6?14例3排列13?(2n?1)(2n)(2n?2)?42,求逆序数解记作p1p2?p np n?1p n?2?p2n?1p2n?2?0,?,?n?1?0?n?2?2?2?1,?n?3?4?2?2,?,?2n?2?(n?1)?21?2?(n?1)?n(n?1)4奇偶性排列p1p2?p n?(p1p2?p n)?奇数时,称为奇排
6、列；?(p1p2?p n)?偶数时,称为偶排列p1?p ip i?1?p n?p1?p i?1p i?p n5对换相邻对换一般对换p1?p i?p j?p n?p1?p j?p i?p n(i?j)定理1排列经过1次对换,其奇偶性改变证先证相邻对换 (1) (2)a1?a labb1?b ma1?a lbab1?b m?a?b对换后a增加1,b不变,故t2?t1?1；?a?b对换后a不变,?b减少1,故t2?t1?1所以t2与t1的奇偶性相反再证一般对换 (1) (2) (3)a1?a lab1?b m bc1?c n a1?a lb1?b mabc1?c n a1?a lbb1?b mac1
7、?c n (1)? (2)经过m次相邻对换 (2)? (3)经过m?1次相邻对换 (1)? (3)经过2m?1次相邻对换,所以t3与t1的奇偶性相反推论奇排列?标准排列,对换次数为奇数偶排列?标准排列,对换次数为偶数1.1行列式定义1二阶行列式的定义用消元法解二元线性方程组?a11x1?a12x2?b1?a21x1?a22x2?b2 (1)为消去数x2,以a22与a12分别乘上列两方程的两端,然后两个方程相减得,类似地消去x1,得?a11a22?a12a21?x1?b1a22?a12b2?a11a22?a12a21?x2?a11b2?b1a21当a11a22?a12a21?0时,求得方程组 （
8、1）的解为b a?a12b2a b?b ax1?122,x2?112121a11a22?a12a21a11a22?a12a21 (2) (2)式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得,其中分母a11a22?a12a21是由方程组 （1）的四个系数确定的,把这四个数按它们在方程组 （1）中的位置,排成二行二列（横排称行，竖排称列）的数表a11a12 (3)a21a22表达式a11a22?a12a21称为数表 (3)所确定的二阶行列式,并记作a11a12 (4)a21a22数a ij称为行列式 (4)的元素,它的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标,表明该元素位于
9、第j列.位于第i行第j列的元素称为行列式 (4)的(i,j)元.利用二阶行列式的概念， (2)式中x1,x2的分子也可写成二阶行列式，即b1a22?a12b2?b1b2a12a22，a11b2?b1a21?a11b1a21b22.三阶行列式a11a12a11b1D2?若记，D?,a21a22a21b2D1D2x?,x?那末 (2)式可写成.12D D?3x1?2x2?12?例1求解二元线性方程组?2x1?x2?1a11a12a13a a22a23定义设有9个数排成3行3列的数表 （5）21a31a32a33记a11a12a13a21a22a23a31a32a33a11a22a33?a12a23
10、a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31= (6)称 (6)式为数表 (5)所确定的三阶行列式。 12?4D?221例2计算三阶行列式?34?211123x?0例3求解方程49x23.n阶行列式的定义a11a12?a11a22?a12a211二阶a21a22a11a12a13a21a22a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a322三阶a31a32a33?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a313.n阶由二阶行列式和三阶行列式的形式，我们可以得到n阶行列式的形式由n行n列（共n2个元素）组成，形如a11a12
11、?a1n a a22?a2n D?21?a n1a n2?a nn称 （1）式为n阶行列式。 问题n阶行列式的值又等于多少呢？余子式和代数余子式在n阶行列式中，把元素a ij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n?1阶行列式叫做元素a ij的余子式，记作M ij.a11?M ij?a1j?1?a1j?1?a1n?a i?1,1?a i?1,j?1a i?1,j?1?a i?1,na i?1,1?a i?1,j?1a i?1,j?1?a i?1,n?a n1?a n,j?1a n,j?1?a nn记A ij=(-1)i+j M ij称A ij为元a ij的代数余子式(i,j=1,2,n).a11
12、a12a13a14例如a21a22a23a24A?a31a32a33a34a41a42a43a442?1A21?（?1）M21?M21?我们可以归纳的定义n阶行列式的值定义D?a11?当n?1时a A?a A?a A?a A2121i1i1n1n1?1111当n?1时我们称上式为D依第一列的展开式。 n阶行列式是一个数。 由定义我们知道化高阶行列式的计算为低阶行列式的计算，反复使用降阶表示法，将n阶行列式用三阶或二阶行列式表示最后算得行列式的值。 ?计算行列式的中心思想是降阶例4计算,.a11a12?a1nD1?a nn?a11a22?a nn我们称上述主对角线下方的元素全为零形式的行列式为上
13、三角形行列式.问题n阶行列式的定义中是按第一列展开的，是否可以依其他列展开呢？定理1.1行列式的值等于它的任一列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,也即D=a1j A1j+a2j A2j+a nj A njn ni?1i?1a22?a2n(j=1,2,n).其中?a ij A ij?(?1)i?ja ij M ij余子式M ij?a ij A ij?a ij代数余子式历年期末考题(0607期末）已知四阶行列式D中第三列元素分别是1，2，0，1，它们的余子式分别是5，3，7，4，求D.(D=-15)例5计算n阶行列式a11a21D?a31?a n10a22a32?a n200a33?a n3?
14、000?a ii?0,i?1,2,?n?a nn?a11a22?a nn我们称上述主对角线上方的元素全为零形式的行列式为下三角形行列式.例6计算n阶行列式a1100a2200?00a ii?0,i?1,2,?n D?00a33?0?000?a nn?a11a22?a nn我们称上述主对角线外的元素全为零形式的行列式为对角形行列式.例7 (1) (2)?1?2?(?1)?a1,n?1?a2,n?1n(n?1)2?1?2?n?na11a12a22a1n0n(n?1)2a21a1n a2,n?1?a n1)D?(D?(?1)a n?1,1a n?1,2?00a n10?00这类行列式称作反上三角行列
15、式.结论以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素的乘积,并冠以符号(?1)思考题00?0100?20D n?n?10?0000?00(n?1)(n?2)D n（答案(?1)2!）n?n(n?1)200?0n作业习题一1，2，4，5题1.2行列式的性质a1n a11?a n1?D?a nn,a1n?a nn性质1行列式和其转置行列式的值相等,即D?D141?2?11例如?11?2343说明由性质1知行列式的行与列地位相等，也即行列式的行具有的性质，它的列也定义将行列式D即D T或D?a11?D?a n1?的行列互换后得到的行列式,称为D的转置行列式,记为具有同样的性质。 推论行列式D亦可以按行展开，即D=a i1A i1+a i2A i2+a inA in(i=1,2,n),n?a i
