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1、 新人教版八年级下册数学第十七章勾股定理单元自测试题一、填空题(每小题5分,共25分);1、(2012广州市,7, 3分)在RtABC中,C=90,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是( ) A. B. C. D. 【解析】首先根据勾股定理求出直角三角形的斜边,利用直角三角形面积的两种求法,求出点C到AB的距离。【答案】由勾股定理得AB=15,根据面积有等积式,于是有CD=。【点评】本题用了考查常用的勾股定理,直角三角形根据面积得到的一个等积式,列方程求线段CD的长。2. (2011贵阳6,3分)如图,矩形OABC的边OA长为2,边AB长为1,OA在数轴上,以原点O为圆心,对角线OB的长
2、为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是()A、2.5B、2 C、D、【分析】:勾股定理;实数与数轴。本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系(勾股定理)解答即可【解答】:解:由勾股定理可知,OB=,这个点表示的实数是。故选D【点评】:本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法3. (2011山东菏泽,5,4分)如图所示,已知在三角形纸片ABC中,BC=3,AB=6,BCA=90在AC上取一点E,以BE为折痕,使AB的一部分与BC重合,A与BC延长线上的点D重合,则DE的长度为()A6 B3 C D【分析】:翻折变换(折叠问题);含30度角的直角三角形;勾股定理易
3、得ABC=60,A=30根据折叠的性质CBE=D=30在BCE和DCE中运用三角函数求解【解答】:解:ACB=90,BC=3,AB=6,sinA=BC:AB=1:2,A=30,CBA=60根据折叠的性质知,CBE=EBA=CBA=30,CE=BCtan30=,DE=2CE=2故选C【点评】:本题考查了:1折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等;2直角三角形的性质,锐角三角函数的概念求解4. (2011泰安,19,3分)如图,点O是矩形ABCD的中心,E是AB上的点,沿CE折叠后,点B恰好与点O重合,若BC3,则
4、折痕CE的长为()AB CD6【分析】:翻折变换(折叠问题);勾股定理。先根据图形翻折变换的性质求出AC的长,再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论【解答】:解:CED是CEB翻折而成,BCCD,BEDE,O是矩形ABCD的中心,OE是AC的垂直平分线,AC2BC236,AECE,在RtABC中,AC2AB2BC2,即62AB232,解得AB3,在RtAOE中,设OEx,则AE3x,AE2AO2OE2,即(3x)2(3)232,解得x,AEEC32故选A【点评】:本题考查的是翻折变换,熟知折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等的知识
5、是解答此题的关键5. (2011四川广安,6,3分)如图所示,圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径,高BC 6cm,点是母线上一点且一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是( ) A()cm B5cm Ccm D7cm【分析】:圆柱的表面展开图、勾股定理画出该圆柱的侧面展开图如图所示,则蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离为线段AP的长在RtACP中,AC,4cm,所以【解答】:B【点评】:解决这类问题要善于将空间图形转化为平面图形,采用“化曲为直”的方法,利用圆柱体的表面展开图,把求最短距离问题转化为求两点之间的线段的长度问题二、选择题(每小题5分,共25
6、分)6. (2011四川凉山,15,4分)把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a2b2c2”的逆命题改写成“如果,那么”的形式: . 【分析】:命题与定理;勾股定理命题都能写成“如果,那么”的形式,如果后面是题设,那么后面是结论,题设和结论互换后就是原命题的逆命题 【解答】:解:逆命题为:三角形三边长a,b,c,满足a2b2c2,这个三角形是直角三角形,逆命题改写成“如果,那么”的形式:如果三角形三边长a,b,c,满足a2b2c2,那么这个三角形是直角三角形,故答案为:如果三角形三边长a,b,c,满足a2b2c2,那么这个三角形是直角三角形【点评】:本题考查把命题写
7、成“如果,那么”的形式以及逆命题的概念,难度适中7. (2011黑龙江省黑河, 10,3分)已知三角形相邻两边长分别为20cm 和30cm第三边上的高为10cm,则此三角形的面积为_cm2【考点】勾股定理。【分析】本题考虑两种情况,一种为锐角三角形,一种是钝角三角形,然后根据勾股定理求得第三边,从而求得三角形面积【解答】解:图一图二由题意作图则设AB=20cm,AC=30cm,AD=10cm有两种情况:一种:在直角三角形ABD中利用勾股定理BD=cm同理解CD=20cm则三角形面积=(100+50)cm2二种:在直角三角形ABD中,BD= cm在直角三角形ACD中,CD= cm则BC=cm所以
8、三角形面积为cm2故填或。【点评】本题考查了勾股定理,两次运用勾股定理求出第三边,从两种情况来求第三边长,则再求三角形面积三、解答题(此大题满分50分)8、(2012贵州黔西南州,18,3分)如图6,在ABC中,ACB=90,D是BC的中点,DEBC,CEAD,若AC=2,CE=4,求四边形ACEB的周长。【解析】由于ACB=90,DEBC,所以ACDE又CEAD,所以四边形ACED是平行四边形,所以DE=AC=2在RtCDE中,由勾股定理CD=2又因为D是BC的中点,所以 BC=2CD=4在RtABC中,由勾股定理AB=2因为D是BC的中点,DEBC,所以EB=EC=4,所以四边形ACEB的
9、周长=AC+CE+BE+BA=10+2【答案】102【点评】本题是一个几何的综合计算题,尽管难度不大,但综合考查了平行四边形、垂直平分线的性质和判定,理清思路,找准图形中的相等线段,并不难解决9. (2011黑龙江牡丹江,23,6分)在ABC中,AB=2,AC=4,BC=2,以AB为边向ABC外作ABD,使ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长【分析】:勾股定理的逆定理;全等三角形的判定与性质。根据题意中的ABD为等腰直角三角形,显然应分为三种情况:ABD=90,BAD=90,ADB=90然后巧妙构造辅助线,出现全等三角形和直角三角形,利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解【解答】:AC=4,
10、BC=2,AB=2, AC2+BC2=AB2,ACB为直角三角形,ACB=90分三种情况:如图(1),过点D作DECB,垂足为点E易证ACBBED,易求CD=2; 如图(2),过点D作DECA,垂足为点E易证ACBDEA,易求CD=2; 如图(3),过点D作DECB,垂足为点E,过点A作AFDE,垂足为点F易证AFDDEB,易求CD=3【点评】:此题综合考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理10. (2011湖北随州,18,?)如图,在等腰直角三角形ABC中,ABC90,D为AC边上中点,过D点DE丄DF,交AB于E,交BC于F,若AE4,FC3,求EF长【分析】:勾股定理;全等三角形的判定与
11、性质。首先连接BD,由已知等腰直角三角形ABC,可推出BDAC且BDCDAD,ABD45再由DE丄DF,可推出FDCEDB,又等腰直角三角形ABC可得C45,所以EDBFDC,从而得出BEFC3,那么AB7,则BC7,BF4,再根据勾股定理求出EF的长【解答】:解:连接BD,等腰直角三角形ABC中,D为AC边上中点,BDAC,BDCDAD,ABD45,C45,又DE丄DF,FDCEDB,EDBFDC,BEFC3,AB7,则BC7,BF4,在直角三角形EBF中,EF2BE2+BF232+42,EF5答:EF的长为5点评:此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定,关键是由已知先证三角形全等,求
12、得BE和BF,再由勾股定理求出EF的长11、(2012贵州六盘水,23,12分)如图12,小丽想知道自家门前小河的宽度,于是她按以下办法测出了如下数据:小丽在河岸边选取点A,在点A的对岸选取一个参照点C,测得CAD=30;小丽沿河岸向前走30m选取点B,并测得CBD=60.请根据以上数据,用你所学的数学知识,帮小丽计算小河的宽度.【分析】:先根据题意画出示意图,过点C作CEAD于点E,设BE=x,则在RTACE中,可得出CE,利用等腰三角形的性质可得出BC,继而在RTBCE中利用勾股定理可求出x的值,也可得出CE的长度【解答】:解:过点C作CEAD于点E,由题意得,AB=30m,CAD=30,
13、CBD=60,故可得ACB=CAB=30,即可得AB=BC=30m,设BE=x,在RtBCE中,可得CE= ,又BC2=BE2+CE2,即900=x2+3x2,解得:x=15,即可得CE= m答:小丽自家门前的小河的宽度为m【点评】:此题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是画出示意图,将实际问题转化为解直角三角形的问题,注意直角三角形的构造,难度一般12(2013湖南郴州,22,6分)我国为了维护队钓鱼岛P的主权,决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航在一次巡航中,轮船和飞机的航向相同(APBD),当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时,飞机在B处测得轮船的俯角是45;当轮船航行到C处时,飞机在
14、轮船正上方的E处,此时EC=5km轮船到达钓鱼岛P时,测得D处的飞机的仰角为30试求飞机的飞行距离BD(结果保留根号)【点拨】解直角三角形的应用仰角俯角问题作AFBD,PGBD,在RtABF和PDG中分别求出BF、GD的值,继而可求得BD=BF+FG+DC的值【解答】:作AFBD,PGBD,垂足分别为F、G,由题意得:AF=PG=CE=5km,FG=AP=20km,在RtAFB中,B=45,则BAF=45,BF=AF=5,APBD,D=DPH=30,在RtPGD中,tanD=,即tan30=,GD=5,则BD=BF+FG+DC=5+20+5=25+5(km)答:飞机的飞行距离BD为25+5km【点评】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形,然