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1、习题（五）练习5-11、选择题(1)设函数在上连续，在内可导，且，则在开区间内 ( )(A)至少存在一点，使得 (B)任一点，总有(C)至少存在一点，使得(D)任一点，总有(2)函数在区间上满足拉格朗日中值定理的为 ()(A) (B)0 (C) (D)1*(3)设函数在上可导，且，则方程在内 ()(A)没有实根 (B)有且仅有一个实根(C)有且仅有两个不同的实根 (D)至少有两个不同的实根2、填空题(1)函数在区间上满足罗尔定理的点(2)设函数，则应用罗尔定理就可以说明方程有且仅有 个实根，它们属于的区间为*(3)设函数、区间为，则在上满足拉格朗日中值定理即的；在上满足拉格朗日中值定理即的；、
2、在上满足柯西中值定理即的3、证明恒等式：当时，。4、设函数在上连续，在内可导，且，试证：在内存在，使得成立。5、设函数在上可导，且，在内，试证：在内方程有且仅有一个实根。*6、设函数在闭区间上二阶可导，且，试证：。练习5-21、选择题(1)极限的值为 ()(A)2 (B)1 (C)0 (D)不存在(2)当时，是的()(A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C)等价无穷小 (D)同阶但非等价无穷小(3)已知函数在点连续，则为 ()(A) (B) (C) (D)12、填空题(1)(2)当时，是的高阶无穷小，则、(3)已知函数在点可导，则、3、求下列极限(1)，(2)， (3)，(4)， (5)，(6
3、)， (7)，(8)， (9)，(10)， *(11)，*(12)。*4、求极限。*5、设函数具有二阶导数，在的某去心邻域内，且，试求极限。练习5-31、选择题 (1)函数的极值点 () (A)是函数的驻点 (B)是函数导数不存在的点(C)是函数的驻点或导数不存在的点(D)不是函数的驻点也不是导数不存在的点 *(2)已知函数满足：，且(其中)，则() (A)不是函数的驻点 (B)不是函数的极值点 (C)是函数的极大值点 (D)是函数的极小值点*(3)已知函数在的某一个邻域内可导，且，则 () (A)不是函数的驻点 (B)不是函数的极值点 (C)是函数的极大值点 (D)是函数的极小值点2、填空题
4、 (1)函数在区间是单调增加的。 (2)无论取任何实数，方程有且仅有个实根。 (3)已知函数在处取得极值，则3、证明下列不等式：(1)当时， (2)当时， (3)当时，*(4)当时，4、设在取得极值，且与相切于，求p、m、n的值。5、求函数的单调区间和极值。*6、已知函数在上具有二阶导数，且，试证：在内单调增加。练习5-41、填空题 (1)函数在区间上的最大值为，最小值为。 (2)函数在区间上的最大值为，最小值为。 (3)函数在区间上的最小值为。 (4)函数在区间上的最大值为。2、要设计一个容积为定值的圆柱形敞口容器，已知底面单位面积的造价是侧面单位面积的造价的一半，问容器的半径和高取何值时其
5、用料最省。3、在椭圆内嵌入边平行于坐标轴的矩形，求这些矩形中的面积最大值。*4、将长为的铁丝切成两段，其中一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形与圆形面积之和最小，问两段铁丝的长度各为多少？*5、讨论方程有几个实根。(a0)练习5-51、填空题 (1)求函数极值的牛顿法迭代公式为，其几何意义是为求函数的驻点，在曲线上过作切线与轴相交于点，因此牛顿法也称为牛顿切线法。 (2)黄金分割法也称为法，是求函数(即只有一个极值的函数)极值的一种缩短搜索区间的试探方法。2、用黄金分割法求函数在区间上的极值点，要求精度为。练习5-61、选择题 (1)曲线的拐点为 () (A) (B)(C) (D) (2
6、)若，则下列选项不正确的() (A) 是曲线的拐点 (B) 是函数的驻点 (C) 是函数的极值点 (D) 是函数的极值点 (3)曲线 () (A)仅有水平渐近线 (B)仅有铅直渐近线 (C)既有水平渐近线，又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线，又无铅直渐近线2、填空题 (1)函数在区间是凹的。 (2)已知点是曲线的拐点，则、 (3)设函数在处具有连续的二阶导数，且点是曲线上的拐点，则极限3、求曲线的凹凸区间及拐点。4、试确定曲线中的常数a、b、c、d，使点为极值点、点为拐点。*5、求曲线的凹凸区间及拐点。练习5-71、填空题 (1)弧微分公式的基本形式为，当曲线的方程表达为直角坐标方程时，弧微
7、分公式为；当曲线的方程表达为参数方程、时，弧微分公式为；当曲线的方程表达为极坐标方程时，弧微分公式为 (2)曲率刻画曲线的，曲率半径等于2、求悬链线()的曲率和曲率半径。练习5-81、填空题 (1)求方程根的牛顿法迭代公式为，其几何意义是在曲线上过作切线与轴相交于点，因此牛顿法也称为牛顿切线法。 (2)应用零点定理，可构造出缩短方程的根所处区间的试探方法，可描述为。2、取初始点为，用牛顿切线法求方程经4步迭代后的根的近似值。练习5-91、选择题 (1)曲线在点处的切线一定平行于 () (A)平面 (B)平面(C)平面 (D)平面 (2)在曲线的所有切线中与平面平行的切线 () (A)只有1条(
8、B)只有2条(C)至少有3条 (D)不存在 *(3)设曲面上处的切平面平行于平面，则点的坐标为（ ） (A) (B) (C) (D) 2、填空题 (1)曲线在处的切线为，法平面方程为 (2)曲面在点处的切平面为，法线方程为 (3)曲面在点处的切平面为 ，法线方程为。3、求曲线、上对应于点处的切线方程。*4、求曲面在点处的切平面和法线方程。*5、求曲面上平行于平面的切平面方程。练习5-101、填空题 (1)设函数在点处取得极值，则， (2)函数在点处取得极值 (3)函数在区域上的点处取得最大值(4)用拉格朗日乘数法求函数在条件、下的条件极值问题时，构造拉格朗日函数为2、试将前面练习5-4的第2、
9、3、4题分别表述为条件极值问题，并用拉格朗日乘数法对第3题加以解决。3、把已知正数a分成三个正数之和，使它们的乘积为最大。*4、在第卦限内作椭球面的切平面，使得切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，并求出切点的坐标。*5、设曲面被平面截得一椭圆，求原点到该椭圆的最短与最长距离。练习5-111、填空题 (1)插值法的目的是将实际问题中的图表，以便用于计算和分析。对于多项式插值，由于高次插值方法往往产生较大误差，因此在实际应用过程中常常采用插值方法。 (2)已知数据和，且，则应用线性插值(一次多项式插值)方法，在点的函数值为。 (3)函数在处的一阶差商为，在处的二阶差商为。2、已知数据表，试分别
10、用线性插值和二次插值求在点的函数值。参考答案练习5-11、（1） (C) （2） (D) （3） (B)2、（1） （2） 4 ，、（3）， ， 3、令，先求导得，再根据拉格朗日中值定理的推论得，最后取确定出常数，代回即证。4、结论变形为，即，因此令辅助函数，对辅助函数在区间上应用罗尔定理即证。5、令，利用零点定理证明根的存在性，采用反证法利用罗尔定理证明根的唯一性，综合即证。6、在区间上应用罗尔定理，则在开区间内至少存在一点，使得。在区间和上分别应用拉格朗日中值定理即证。练习5-21、（1） (A) （2） (D) （3） (C)2、（1） 1 （2） ，（3），3、(1) (2) (3)
11、(4) (5)令， (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)4、极限类型依赖于的取值，需讨论：。5、，又函数具有二阶导数，则在连续，应用罗必塔法则，得到：。因此，原式。练习5-31、(1) (C)(2) (C)(3) (D)2、(1) (2)1(3)3、(1)令()，由单调性即证。 (2)令()，求二阶导数，由一阶导函数和函数的单调性即证。 (3)令()，由单调性即证；令()，求导，分和两个区间分别讨论，或用最值证明。 (4)先取对数简化为，把常数换为变量，即令()，由单调性即证。4、根据已知条件可列出：、，解得、。5、求导得，为驻点，为导数不存在的点。考虑各区间内导数的符号，得和为单调减少区间，和为单调增加区间，函数在处取得极小值0，在处取得极大值。6、关键是判定为正。练习5-41、(1) 3，1(2) 0， (3) 2 (4) 2、设底面单位面积的造价为，表示容器的半径，表示容器的高，表示总造价，则建立函数关系为：，采用只判断不比较的方法得：当、时总造价最省。3、设矩形在第卦限内顶点的坐标为，则矩形的面积为：，采用只判断不比较的方法得：当、即矩形的长为2、宽为时，矩形面积最大值为。4、设两段铁丝的长度各为和，不妨设长度为的铁丝围成正方形，长度为的铁丝围成圆形，则正方形与圆形面积之和为：，采
