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1、第五节第五节 导数在经济中的应用导数在经济中的应用 3 5 1 3 5 1 常用的经济函数常用的经济函数 1 需求函数 设P表示商品价格 Qd表示对该商品的需求量 那么有 Qd f P 称为该商品的需求函数 需 求函数是单调减少的 2 供给函数 设P表示商品价格 Qs表示该对商品的供给量 则称Qs f P 为该商品的供给函数 供给函 数是单调增加的 例1 设某商品的需求函数Qd f P a bP 供给函数Qs f P c dP 市场上供需平衡时的价格称为均衡价格 则均衡价格为 供需平衡时有 Qd a bP Qs c dP 蜘蛛网模型 均衡价格的动态解释 P1 P2 P3 P4 Qd f P Q
2、s f P 4 总收益 收入 函数 设Q表示商品的销售量 P表示商品价格 则 销售该商品的总收益为R QP R Q 称为总收 益 收入 函数 3 总成本函数 设Q表示产品的产量 C表示总成本 则称 C C Q 为总成本函数 Q 0时 称C 0 为固定 成本 称 为平均成本函数 总成本函 数是单调增加的 但平均成本函数一般不单调 若逆需求函数为P f Q 则总收益函数为 R QP Q f Q 5 利润函数 设Q表示产品的产量 L表示利润 则称L L Q 为利润函数 若总成本函数为C Q 总收益函数R Q 则利润函数L Q R Q C Q 解 1 固定成本C 0 500 平均成本函数 2 总收益函
3、数为 R QP Q f Q Q 10 0 01Q 10Q 0 01Q2 3 利润函数为 L Q R Q C Q 8Q 0 01Q2 500 例2 某商品需求量Q与价格P之间的函数的关系为 Q 1000 100P 总成本函数为C Q 2Q 500 求 1 固定成本和平均成本函数 2 总收 益函数 3 利润函数 3 5 2 3 5 2 边际与边际分析边际与边际分析 若y f x 是一个可导的经济函数 则称 f x 为经济量y对经济量x的边际 或称 f x 为 f x 为的边际函数 其经济意义是当经济量x增加一 个单位时 经济量y增加 f x 个单位 若总成本函数为C Q 则称C Q0 为产量Q0
4、时的边际成本 其经济意义是当产量为Q0时再增 加一个产量 总成本将增加C Q0 因为当 x 1 x 时 y f x x f x 若总收益函数R Q 则称R Q0 为销售量 Q0时的边际收益 其经济意义是当销售量为Q0时 再增加一个销售量 总收益将增加R Q0 若利润函数为L Q 则称L Q0 为产量Q0 时的边际利润 其经济意义是当产量为Q0时再 增加一个产量 利润将增加L Q0 例3 因为总成本函数为C Q 2Q 500 所以产量为Q0时边际成本为C Q0 2 因为总收益函数R Q 10Q 0 01Q2 所以 销售量为Q0时边际收益R Q0 10 0 02Q 因为利润函数L Q 8Q 0 0
5、1Q2 500 所 以产量为Q0时边际利润L Q0 8 0 02Q 3 5 3 5 3 3 弹性与弹性分析弹性与弹性分析 经济函数y f x 在x0处可导 函数的相对改 与点x0 x之间的弧弹性 变量 改变量 与自变量的相对 称为函数 f x 在x0 当 记作 称为函数y f x 在x0处的弹性 若 f x 是可导函数 则称 为 f x 的弹性函数 弹性的经济意义是当经济量x增加1 时 经济量y增加 设某商品需求函数Q f P 在 P P0 处可导 则称 弹性 简称为需求弹性 记为 P 为需求Q对价格P的 解 需求弹性的经济意义是当价格P上涨 或下 跌 1 时 需求量Q增加 或减少 P 例4 设某商品的需求函数为 求需求弹性 例5 某商品需求量与价格之间的函数的关 系为Q 100 5P 求当P 8 12 10时需求 量对价格的弹性 并解释其经济意义 解 当P 8 时 P 40 60 0 667 当P 12 时 P 60 40 1 5 当P 10 时 P 50 50 1 若需求函数为Q f P 则总收益函数为 R P PQ P f P 当 P 0 P 上涨 下跌 R增加 减少 当 P 1 称为高弹性 时 R P 0 P 上涨 下跌 R减少 增加 当 P 1 称为不变弹性 时 R P 0 P上涨 下跌 R不变
