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1、第六章 一元微积分的应用 本章学习要求 熟练掌握求函数的极值 最大最小值 判断函数的单调性 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法 能运用函数的单调性 凸凹性证明不等式 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法 能熟练求解 相关变化率和最大 最小值的应用问题 知道平面曲线的弧微分 曲率和曲率半径的概念 并能计算 平面曲线的弧微分 曲率 曲率半径和曲率中心 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法 熟练掌握 微分元素法 能熟练运用定积分表达和计算一些几 何量与物理量 平面图形的面积 旋转曲面的侧面积 平行 截面面积为已知的几何体的体积 平面曲线的弧长 变力作 功 液体的压力等 能利用定积分定义式计算一
2、些极限 第六章 一元微积分的应用 第一 二节 运用导数研究函数 一 导数的简单应用 二 函数的单调性 三 函数极值 四 函数的最大值 最小值 五 函数的凹凸性 请点击 一 导数的简单应用一 导数的简单应用 1 导数在几何中的简单应用 在某点处的切线方程和法线方程 2 求两条相交的曲线在交点处的交角 1 求物体运动的速度 加速度或变量的变化率 2 求变量间的相关变化率 2 导数在物理学中的简单应用 请点击 例4 解 在实际问题中 往往是同时出现几个变量 变量 之间有确定的关系 并且它们都是另外某一个变量的 函数 例如 都是时间 t 的函数 从它们对这另一个 变量的变化率之间的关系出发 由已知的一
3、个或几个 变量的变化率求出一个变量的未知的变化率 就是所 谓的相关变化率问题 例5 解 例6 解 例7 解 下面我们运用函数的导数 微分 来研究函数的有关 性质 单调性 凹凸性 极值等 并研究如何作出函数 的图形 由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道 二 函数的单调性二 函数的单调性 观察下面的图形 你能得出什么结论 综上所述 可知 在讨论函数的单调性时 一般先求出函 数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点 然后按这些点将所讨论的区间分成小区间 在每个小区间内函数只有一种单调性 利用 导数符号判断函数是单调增加还是单调减少 提供了判断函数单调性的方法 例1 解 列表可使问题明朗化 例2 证 例3
4、 证 利用函数 处理数列 例4 证 三 函数的极值三 函数的极值 函数的极值是个局部性的概念 我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式 费马定理 可微函数取极值的必要条件 函数的单调性判别定理和方法 泰勒公式 可利用高阶导数 定理 费 马 Pierre de Fermat 1601 1665 费马 法国数学家 出身于一个商人 家庭 他的祖父 父亲 叔父都从商 他 的父亲是当地的第二执政官 经办着一个 生意兴隆的皮革商店 费马毕业于法国奥尔良大学 以律师 为职 曾任图卢兹议会会员 享有长袍贵 族特权 精通 6 种语言 业余爱好数学并 在数论 几何 概率论 微积分等领域内 作出了创造性的工作 费马
5、大定理被称为 会下金蛋的母鸡 极值可疑点 首先考察下列函数的图形首先考察下列函数的图形 通过观察以上的图形你得到什么结论 判别函数的极值点 主要是判别极值可疑点左 右 对于可微函数将归结于判别函数的导数的符号 两侧函数的单调性 单调增加 单调减少 单调减少 单调增加 定理 证 由定理中 1 的条件 得 由定理中 2 的条件 得 泰勒公式 看这一部分 此时应另找其他方法 什么方法 高阶的泰勒展开式 定理 列表讨论单调性 判别极值 例5 解 极小 极小 极大 自己总结求 极值的步骤 例6 解 怎么办 例7 解 首先看看函数的图形 由图形可知 不是函数的极值点 问题在于如何进行解析描述 我们再看一下
6、泰勒公式 就是说 综上所述 定理 在工程技术和生产实践中 常常需要考虑 在一定条件下 怎样才能使用料最少 费用最 省 而效率和效益最高等问题 这些问题反映 到数学上就是最优化问题 优化技术应用价值很大 四 函数的最大 最小值四 函数的最大 最小值 怎样求函数在一个区间上 的最大 最小值呢 回忆以前学过的知识 取到它的最大值和最小值 取得其最大值和最小 值 则这些最值一定是函数的极值 的最大值和最小值可能在区间的端点 也可能在区间内部取得 温故而知新温故而知新 求一个连续函数在上的最大值和 最小值 只要先求出函数 一切极值可疑点 驻点和一阶导数不存在的 点 然后比较极值可疑点的函数值及区间端 点
7、函数值 其中最大者就是函数 最小者就是函数 求最值的几个特殊情况求最值的几个特殊情况 极大 小 值点 则该点就是函数的最大 小 值点 实际判断原则实际判断原则 计算函数值 端点值 例8 解 没有什么新的东西 用薄铁片冲制圆柱形无盖容器 要求 它的容积一定 问应如何选择它的半径和 高度才能使用料最省 设容积 体积 为 V 半径为 r 高为 h 用料最省即指容器的表面积 A 最小 应用题 例8 解 又 A 的最小值一定存在 故当要求的容器的容积为 A 时 选择半径 如果不放心 可用 二阶导数进行判断 某出版社出版一种书 印刷 x 册所需 成本为 每册售价 p 与 假设书可全部售出 问应将价格 p
8、定为多 少才能使出版社获利最大 例9 由经验公式 得 于是 得唯一极值可疑点 解 即为 Q 的最大点 从而应将价格 p 定为 此时最大获利为 将一根直径为 d 的圆木锯成截面为矩形的梁 问应如何选择矩形截面的高 h 和宽 b才能使梁的抗 弯截面模量 W 最大 由力学知识 梁的抗弯截面模量为 由右图可以看出 例10 解 问题归结为求函数 W 的最大值 由于梁的最大抗弯截面模量一定存在 故当 梁的抗弯截面模量最大 唯一的一个 极小 例11 证证 例10 利用导数的性质证明不等式是一种常用的 技巧 它包含以下几个部分 利用微分中值定理 利用泰勒公式 二阶以上的 利用函数的单调性 利用函数的极值和最值
