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1、第六章 一元微积分的应用 本章学习要求 熟练掌握求函数的极值 最大最小值 判断函数的单调性 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法 能运用函数的单调性 凸凹性证明不等式 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法 能熟练求解 相关变化率和最大 最小值的应用问题 知道平面曲线的弧微分 曲率和曲率半径的概念 并能计算 平面曲线的弧微分 曲率 曲率半径和曲率中心 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法 熟练掌握 微分元素法 能熟练运用定积分表达和计算一些几 何量与物理量 平面图形的面积 旋转曲面的侧面积 平行 截面面积为已知的几何体的体积 平面曲线的弧长 变力作 功 液体的压力等 能利用定积分定义式计算一
2、些极限 一 曲线的凹凸性 拐点 二 曲线的渐近线 三 函数图形的描绘 第六章 一元微积分的应用 第三节 曲线的凹凸性 函数图形的描绘 请点击 一 曲线的凹凸性 拐点 1 曲线凹凸性的定义及其判别法 2 曲线拐点的定义及判别法 请点击 我们说一个函数单调增加 你能画出函数 所对应的曲线的图形吗 1 曲线凹凸性的定义及其判别法 它的图形的形式不尽相同 一般说来 对于一个区间上单调的函数的 图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线 的 上方 或 下方 的问题 在数学分析中将这种问题称为曲线 函数 的凹凸性问题 简单地说 在区间 I 上 曲线弧段位于相应的弦线上方时 称之为凸的 曲线弧段位于相应的弦线
3、下方时 称之为凹的 凸凹 成立 则称曲线 在区间 I 上是凸的 成立 则称曲线在区间 I 上是凹的 定义定义 凹凸性的一般性 定义是 凸 凹 成立 则称曲线在区间 I 上是凸的 成立 则称曲线在区间 I 上是凹的 曲线凹凸性的定义及其判别法 例1 分析 有何体会 能不能根据函数的 二阶导数的符号来 判别函数所对应的 曲线的凸凹性呢 判别可微函数的凸凹性主要是对 进行比较 有什么公式能把以上的函数值与函数的 二阶导数联系在一起呢 泰勒 公式 以上的讨论是对开区间进行的 但结论却出现了闭区间这正确吗 结论是正确的 我们是利用函数的连续 性将开区间内的结论延伸到了闭区间上 以上过程实际上证明了下面的
4、判别曲线 凹凸性的一个方法 定理 在运用该定理时要注意 但仅在个别孤立点处等于零 则定理仍然成立 该函数的图形 请自己绘出 例2 解 例3 解 只是使 的孤立点 不是曲线凹凸性 的分界点 例3 解 比较例3 和例4 发现使得曲线所对 的分界点 我们的兴趣 因为它可能是曲线凹凸性 应的函数的二阶导数等于零的点引起了 拐 点 连续曲线上凸弧与凹弧度分界点 称为曲线的拐点 2 曲线拐点的定义及判别法 定理 判别拐点的必要条件 证证 称为曲线的拐点可疑点 定理 判别拐点的充分条件 根据拐点的定义立即可证明该定理 定理 判别拐点的充分条件 证证 你能由以上的几个定理归纳出 求曲线拐点的步骤吗 求拐点一般
5、步骤 拐点拐点 例4 解 例5 解 例6 解 例7 函数的凹凸性的判别 以及函数的极值的判别都 与函数的二阶导数有关 你清楚它们之间的联系吗 画画图就能搞清楚 现在我们还不能很好地作出 函数的图形 因为还不知道如何 求曲线的渐近线 中学就会求了 若动点 P 沿着曲线 y f x 的某一方向无 限远离坐标原点时 动点 P 到一直线 L 的距离 趋于零 则称此直线 L 为曲线 y f x 的一条 渐近线 二 曲线的渐近线 定义定义 曲线的渐近线 水平渐近线 垂直渐近线 斜渐近线 水平渐近线 这里的极限可以是 垂直渐近线 想想 怎么求 a b 这里的极限过程可以是 以上的极限实际是 斜渐近线 曲线可
6、以穿过其 渐近线 例8 解 例9 解 曲线无水平渐近线 函数间断 曲线有斜渐近线吗 例10 解 请同学课后自己绘出此函数的图形 所以 该曲线无水平渐近线和垂直渐近线 例11 解 现在给定一个函数 我们可以讨论它的 定义域 值 域 奇偶性 有界性 周期性 连续性 间断点 可微性 单调性 极 值 最 值 凹凸性 拐 点 渐近线 零点位置 用极限讨论函数的变化趋势 用泰勒公式将函数离散化 作函数图形的一般步骤如下 1 确定函数的定义域 观察奇偶性 周期性 2 求函数的一 二阶导数 3 列表 确定函数的单调性 凹凸性 极值 拐点 4 求曲线的渐近线 5 作出函数的图形 三 函数图形的描绘 确定极值可疑点和拐点可疑点 例12 解 极大 拐点 曲线无水平渐近线
