最优化方法及控制运用

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1、最优化方法及控制应用 主讲人 董密 信息科学与工程学院 参考书 1 实用最优化方法 R Fleter著 游兆永等译 天津科技翻译出版公司 2 非线性规划数值方法 袁亚湘 上海科学技术出版社 1995 3 非线性最优方法 席少霖 高等教育出版社 4 工程优化的算法分析 张可村 西安交大出版社 1989 5 最优化方法 解文新 韩立兴等 天津大学出版社 2001 6 最优化方法 施光燕 董加礼 高等教育出版社 2001 最优化方法及控制应用 最优化 在多种 有限种或无限种 决策中挑选 最好决策的问题 最优化方法 也称做运筹学方法 是近几十年 形成的 主要运用数学方法研究各种系统 的优化途径及方案

2、为决策者提供科学决 策的依据 最优方案 是达到最优目标的方案 最优化理论 就是最优化方法的理论 数学意义 为了达到最优化目的所提出的各种求解方法 从 数学意义上说 最优化方法是一种求极值的方法 即在一组约束为等式或不等式的条件下 使系统的 目标函数达到极值 即最大值或最小值 从经济意 义上说 是在一定的人力 物力和财力资源条件下 使经济效果达到最大 如产值 利润 或者在 完成规定的生产或经济任务下 使投入的人力 物 力和财力等资源为最少 发展简史 公元前 500年古希腊在讨论建筑美学中就已发现了 长方形长与宽的最佳比例为1 618 称为黄金分割 比 其倒数至今在优选法中仍得到广泛应用 在微积分

3、出现以前 已有许多学者开始研究用数学 方法解决最优化问题 最优化方法真正形成为科学方法则在17世纪以后 工作步骤 提出最优化问题 收集有关数据和资料 建立最优化问题的数学模型 确定变量 列出目标函 数和约束条件 分析模型 选择合适的最优化方法 求解 一般通过编制程序 用计算机求最优解 最优解的检验和实施 模型的基本要素 最优化模型包括 变量 约束条件和目标函数 变量 指最优化问题中待确定的某些量 变量可用 x x1 x2 xn T表示 约束条件 指在求最优解时对变量的某些限制 包括 技术上的约束 资源上的约束和时间上的约束等 约 束条件可用 gi x 0表示i 1 2 m m 表示约 束条件数

4、 目标函数 最优化有一定的评价标准 目标函数就 是这种标准的数学描述 一般可用f x 来表示 即 f x f x1 x2 xn 最优化方法 最优化问题的求解方法可分成解析法 直接法 数 值计算法和其他方法 解析法 只适用于目标函数和约束条件有明显的 解析表达式的情况 求解方法是 先求出最优的必要条件 得到一组方 程或不等式 再求解这组方程或不等式 一般是用 求导数的方法或变分法求出必要条件 通过必要条 件将问题简化 因此也称间接法 直接法 当目标函数较为复杂或者不能用变量显 函数描述时 无法用解析法求必要条件 可采用直 接搜索的方法经过若干次迭代搜索到最优点 这种方法常常根据经验或通过试验得到

5、所需结果 对于一维搜索 单变量极值问题 主要用消去法或 多项式插值法 对于多维搜索问题 多变量极值问题 主要应用爬山法 数值计算法 也是一种直接法 它以梯度法为基 础 所以是一种解析与数值计算相结合的方法 其他方法 如网络最优化方法等 最优解的概念 最优化问题的解一般称为最优解 如果只考察约束集 合中某一局部范围内的优劣情况 则解称为局部最优 解 如果是考察整个约束集合中的情况 则解称为总 体最优解 对于不同优化问题 最优解有不同的含意 因而还有专用的名称 例如 在对策论和数理经济模型中称为平衡解 在控 制问题中称为最优控制或极值控制 在多目标决策问 题中称为非劣解 又称帕雷托最优解或有效解

6、最优化方法的应用 最优化可分为最优设计 最优计划 最优管理和最 优控制等四个方面 最优设计 世界各国工程技术界 尤其是飞机 造船 机械 建筑等部门都已广泛应用最优化方法 于设计中 从各种设计参数的优选到最佳结构形状 的选取等 结合有限元方法已使许多设计优化问题 得到解决 最优计划 现代国民经济或部门经济的计划 直 至企业的发展规划和年度生产计划 尤其是农业规 划 种植计划 能源规划和其他资源 环境和生态 规划的制订 都已开始应用最优化方法 一个重要 的发展趋势是帮助领导部门进行各种优化决策 最优管理 一般在日常生产计划的制订 调度和 运行中都可应用最优化方法 随着管理信息系统和 决策支持系统的

7、建立和使用 使最优管理得到迅速 的发展 最优控制 主要用于对各种控制系统的优化 例 如 导弹系统的最优控制 能保证用最少燃料完成 飞行任务 用最短时间达到目标 再如飞机 船舶 电力系统等的最优控制 化工 冶金等工厂的最 佳工况的控制 一 组合最优化 TSP 即旅行商问题 假设有n 个城市 一个推销员要在这 n个城市推销产品 要求经过每个城市且仅有一次 如 何选择这条路径 使路径最短 二 动态规划 管道铺设 有n个城市铺设管道 要求管道到达每个城市 并 且使总的费用最低 经典极值问题 包括 无约束极值问题 约束条件下的极值问题 1 无约束极值问题的数学模型 2 约束条件下极值问题的数学模型 其中

8、 极大值问题可以转化为极小值问题来 进行求解 如求 可以转化为 1 无约束极值问题的求解 例1 求函数y 2x3 3x2 12x 14在区间 3 4 上的最 大值与最小值 解 令f x y 2x3 3x2 12x 14 f x 6x2 6x 12 6 x 2 x 1 解方程f x 0 得到x1 2 x2 1 又 由于f 3 23 f 2 34 f 1 7 f 4 142 综上得 函数f x 在x 4取得在 3 4 上得最大值f 4 142 在 x 1处取得在 3 4 上取得最小值f 1 7 有约束最优化 最优化方法分类 一 线性最优化 目标函数和约束条件都是线 性的则称为线性最优化 非线性最优

9、化 目标函数和约束条件如果含 有非线性的 则称为非线性最优化 二 静态最优化 如果可能的方案与时间无关 则是静态最优化问题 动态最优化 如果可能的方案与时间有关 则是动态最优化问题 有约束最优化问题的数学建模 有约束最优化模型一般具有以下形式 或 其中f x 为目标函数 省略号表示约束式子 可以是 等式约束 也可以是不等式约束 根据目标函数 约束条件的特点将最优化方 法包含的主要内容大致如下划分 线性规划 整数规划 非线性规划 动态规划 多目标规划 对策论 最优化方法主要内容 两个引例两个引例 问题一 某工厂在计划期内要安排生产I II两种产品 已知生产单位产品所需的设备台时及A B两种原材料

10、的 消耗 如下表所示 12kg40原材料B 16kg04原材料A 8台时21设备 III 该工厂每生产一件产品I可获利2元 每生产一件产品II 可获利3元 问应如何安排计划使该工厂获利最多 解 该工厂生产产品I x1件 生产产品II x2件 我们可建立如下数学模型 s t 问题二 某厂每日8小时的产量不低于1800件 为了进行质 量控制 计划聘请两种不同水平的检验员 一级检验员的标准为 速度25件 小时 正确率98 计时工资4元 小时 二级检验 员的标准为 速度15件 小时 正确率95 计时工资3元 小时 检验员每错检一次 工厂要损失2元 为使总检验费用最省 该 工厂应聘一级 二级检验员各几名

11、 解 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1 x2人 则应付检验员的工资为 因检验员错检而造成的损失为 故目标函数为 约束条件为 运用最优化方法解决最优化问题的一般方法步 骤如下 前期分析 分析问题 找出要解决的目标 约束条 件 并确立最优化的目标 定义变量 建立最优化问题的数学模型 列出目标 函数和约束条件 针对建立的模型 选择合适的求解方法或数学软件 编写程序 利用计算机求解 对结果进行分析 讨论诸如 结果的合理性 正确 性 算法的收敛性 模型的适用性和通用性 算法效率 与误差等 线线 性性 规规 划划 某豆腐店用黄豆制作两种不同口感的豆腐出 售 制作口感较鲜嫩的豆腐每千克需要0 3千克

12、一级黄豆及0 5千克二级黄豆 售价10元 制作 口感较厚实的豆腐每千克需要0 4千克一级黄豆 及0 2千克二级黄豆 售价5元 现小店购入9千 克一级黄豆和8千克二级黄豆 问 应如何安排制作计划才能获得最大收益 一 问题前期分析 该问题是在不超出制作两种不同口感豆腐所需黄 豆总量条件下合理安排制作计划 使得售出 各种豆腐能获得最大收益 二 模型假设 1 假设制作的豆腐能全部售出 2 假设豆腐售价无波动 变量假设 设计划制作口感鲜嫩和厚实的豆腐各x1千 克和 x2千克 可获得收益R元 目标函数 获得的总收益最大 总收益可表示为 受一级黄豆数量限制 受二级黄豆数量限制 综上分析 得到该问题的线性规划

13、模型 s t 用Matlab编程求解程序如下 X FVAL EXITFLAG OUTPUT LINPROG f A b f 10 5 A 0 3 0 4 0 5 0 2 B 9 8 X FVAL EXITFLAG OUTPUT LINPROG f A b X 10 0000 15 0000 FVAL 175 0000 用YALMIP编程求解程序如下 x sdpvar 1 2 C 10 5 a 0 3 0 4 0 5 0 2 b 9 8 f C x F set 0 x inf F F set a x b solvesdp F f double f double x ans 175 ans 10

14、15 线线 性性 规规 划划 设某工厂有甲 乙 丙 丁四个车间 生产A B C D E F六种产品 根据机床性 能和以前的生产情况 得知每单位产品所需车间 的工作小时数 每个车间在一个季度工作小时的 上限以及单位产品的利润 如下表所示 例如 生产一个单位的A产品 需要甲 乙 丙三个车 间分别工作1小时 2小时和4小时 问 每种产品各应该每季度生产多少 才能 使这个工厂每季度生产利润达到最大 生产单位 产品所需 车间的工 作小时数 ABCDEF 每个车间 一个季度 工作小时 的上限 甲111323500 乙255500 丙425500 丁138500 利润 百元 4 02 45 55 04 58

15、 5 这是一个典型的最优化问题 属线性规划 假设 产品合格且能及时销售出去 工作无等待情况等 变量说明 xj 第j种产品的生产量 j 1 2 6 aij 第i车间生产单位第j种产品所需工作小时数 i 1 2 3 4 j 1 2 6 bi 第i车间的最大工作上限 cj 第j种产品的单位利润 则 cjxj为第j种产品的利润总额 aijxj表示第i车间生产第j种产品所花时间总数 于是 我们可建立如下数学模型 s t 计算结果 Z 百元 x1x2x3x4x5x6 132000604010040 运运 输输 问问 题题 要从甲城调出蔬菜2000吨 从乙城调出蔬菜2500吨 从丙地调出3000吨 分别供应

16、A地2000吨 B地2300 吨 C地1800吨 D地1400吨 已知每吨运费如下表 供应单位 调出单位 ABCD 甲21271340 乙45513720 丙32352030 问 如何调拨才能使运费最省 可以建立如下模型 s t 整整 数数 规规 划划 最优化问题中的所有变量均为整数时 这类问 题称为整数规划问题 如果线性规划中的所有变量均为整数时 称这 类问题为线性整数规划问题 整数规划可分为线性整数规划和非线性整数规 划 以及混合整数规划等 如果决策变量的取值要么为0 要么为1 则这 样的规划问题称为0 1规划 例1 某钢厂两个炼钢炉同时各用一种方法炼钢 第一种炼法每炉用a小时 第二种用b小时 包 括清炉时间 假定这两种炼法 每炉出钢都是 k公斤 而炼1公斤钢的平均燃料费第一法为m元 第二法为n元 若要求在c小时内炼钢公斤数不 少于d 试列出燃料费最省的两种方法的分配方 案的数学模型 设用第一种炼法炼钢x1炉 第二种炼钢x2炉 s t 引例2 资源分配问题 某个中型的百货商场要求售货人员每周工作 5天 连续休息2天 工资200元 周 已知对售货 人员的需求经过统计分析如下表 问如何