如何巩固复习考研线代概率

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1、欢迎各位同学光临 今天的讲座应该不会令各位失望 如何复习考研线代概率 众所周知 线代和概率在考研数学中 各34分 1个填空 2个选择 2个解答或证 明 约占45 可见 线代概率在考研数 学中与高数几乎拥有同样的地位 然而 与高数相比 线代概率理论抽 象 计算复杂 且概念定理众多 许多考 生在考研复习过程中普遍感到这两门课内 容繁杂 重难点不清晰 缺乏明确的复习 思路 复习效率较低 其实 由于题目数量所限 加之重点 内容的集中度远高于高数 只要根据线代 概率的内容体系 结合历年考题 即可制 定出这两门课的科学 合理 高效的复习 策略与计划 完全可以用不太多的时间和 精力取得较好的成绩 事半功倍

2、下面首先展示历年考题的分析结果 然后给出线代概率的重点内容与复习策略 最后简要介绍暑期面授班的工作思路 一 历年考题统计分析 历年真题不仅是最好的模拟题 尤其是 前10年考题 而且是未来几年出题的风向 标 特别是近几年考题 分析 研究历年真 题既可以准确把握重点内容 还可以在一 定程度上进行预测 需要指出的是 这里所说的预测是指 对内容和题型的推断 而不是所谓的猜题 任何考研辅导班和名师对具体题目的猜测 都是不靠谱的 本人统计 分析了1987 2013共27年 考研数学中的线代概率考点 考虑到2003 年起 考研数学分值改为150分 线代概率 题型相对固定 下面给出2003 2013共11 年

3、考研数学中的线代概率考点和题型分布 图 相信各位不难从中发现其中蕴含的统 计规律 图1 线代考点分布 图2 线代题型分布 图3 概率考点分布 图4 概率题型分布 上述统计图很清楚地表明 1 考研线代最重要的内容是线性方程 组 其次是相似对角化与二次型 两个大题 几乎均来自上述两部分内容 2 考研概率最重要的内容是二维分布 和参数估计 参数估计几乎每年均有大题 而另一个大题通常来自二维分布或数字特 征 下面根据上述分析结果 结合近几年 的具体考点 分别给出考研线代和概率的 各章节重点内容及复习策略 并对2014年 考研线代和概率的考点及题型做出推断和 预测 二 线代重点内容与复习策略 1 行列式

4、 行列式绝对不是考研线代中的重点 近11年仅考过4个填空题 内容均为与矩阵 相关的行列式计算 另外 在计算和证明 题中 各出现过一次用展开法则计算4阶和 n阶行列式 考生只须熟悉行列式的性质 展开法 则 克莱姆法则 注意矩阵与行列式的混 合运算即可 2 矩阵 矩阵也不是考研线代中的重点 近11 年也仅考过1个填空题 7个选择题 内容 多为初等变换与初等矩阵的关系 但考虑 到矩阵的相关概念及运算是线代的基础 在后续内容中有着重要的应用 下面给出 本章的重点内容及复习策略 1 逆矩阵的概念 运算性质及逆矩阵 的两种计算方法 2 分块矩阵行列式及逆矩阵的计算 3 初等变换与初等矩阵 这是本章节中最重

5、要的内容 考生一 定要极为熟悉初等变换与初等矩阵的对应 关系 熟悉与初等矩阵相关的结论 如 A可逆的充要条件是A可表示为若干初等矩 阵的乘积 A与B等价的充要条件是存在可 逆阵P Q 使A PBQ 4 矩阵秩的概念与求法 这里 特别提醒注意下列知识点 1 伴随矩阵及其相关结论 4次 2 若a b为非零列向量 则A abT的充 要条件是R A 1 3次 3 秩的某些重要性质 如 若A可逆 则R AB R A R AB min R A R B R A B R A R B 若AB O 则R A R B n 4次 3 向量 向量在考研线代中较为重要 近11年 考过2个填空题 8个选择题 1个证明题 内

6、容多为向量组的线性相关性 本章的重 点内容及复习策略如下 1 向量组的线性相关与线性无关 这是本章节中最重要的内容 考生一 定要理解线性相关性的概念 熟悉线性相 关性的一些结论 如 向量组线性相关的充要条件是至少有 一个向量可由其余向量线性表示 部分相关 全体相关 全体无关 部 分无关 2 向量组等价的概念及判定 3 向量空间的基 维数 过渡矩阵 这是许多学生容易忽略的简单内容 近11年也考过3次 复习本部分内容需要注意下列问题 1 已知一向量组的线性相关性 讨论 另一向量组的线性相关性 2 向量组等价与矩阵等价的区别 3 秩在判定向量组的线性相关性及向 量组等价等问题中的作用 向量的内容时常

7、与其它内容相结合综 合考查 2013年考研线代中 行列式部分出了1 个填空 矩阵和向量部分出了1个选择 填空题改编自92年数5或94年数1 2中 一计算题 用到了行列式展开法则及伴随 矩阵相关知识 有一定难度 难以预测 例1 设A aij 是3阶非零矩阵 Aij是aij 的代数余子式 若aij Aij 0 则 A 分析 看到了代数余子式Aij应该立刻联 想到什么内容 提到伴随矩阵一定要熟悉那些结果 由 得 从而 又 故 因A非零 即存在 将 A 按第i 行展开 故 选择题较为常规 只要根据初等变换 与初等矩阵的相关知识即可得出结论 例2 设矩阵A B均为n阶矩阵 若AB C 且B可逆 则 A

8、矩阵C的行向量组与A的行向量组等价 B 矩阵C的列向量组与A的列向量组等价 C 矩阵C的行向量组与B的行向量组等价 D 矩阵C的列向量组与B的列向量组等价 分析 考研线代矩阵中最常见的考点是 什么 要熟记什么结论 由B可逆知 B可表示为若干初等矩阵 的乘积 即B P1P2 Pk 从而AP1P2 Pk C 又用初等矩阵右乘矩阵等价于对此矩 阵做相应的初等列变换 即矩阵A的列向 量组经初等变换后变为C的列向量组 故A 的列向量组与C的列向量组等价 注 矩阵A与C显然等价 4 线性方程组 线性方程组在考研线代中极为重要 近11年考过2个选择题 10个解答或证明题 内容多为含参数方程组的讨论 本章的

9、重点内容及复习策略如下 1 线性方程组解的判定与求解 这是本章节中最重要的内容 考生一 定要熟悉齐次和非齐次线性方程组解的判 定法则 掌握线性方程组两种求解方法 2 基础解系的概念与性质 3 齐次和非齐次线性方程组解的通解 结构 复习本部分内容特别要注意 1 含参数方程组的讨论题型是重中之 重 几乎年年必考 2 从向量空间角度理解基础解系 3 许多问题特别是向量组的线性相关 性问题均可转化为线性方程组问题 2013年考研线代中的第1个大题是线性 方程组 这毫无悬念 但此题题目新颖 不太容易与线性方程组相联系 例3 设 当a b为何值 时 存在C 使得AC CA B 并求所有矩 阵C 有兴趣的同

10、学可以一试 5 特征值 特征向量与相似对角化 本部分内容在考研线代中非常重要 近11年考过3个填空题 3个选择题 5个解 答题 内容多为特征值特征向量的概念与 性质 相似矩阵的性质及对角化的判定与 计算 本章的重点内容及复习策略如下 1 特征值 向量 的概念 性质与计算 这是本章及下章中最基础的内容 考 生一定要熟练掌握 2 相似矩阵的概念与性质 3 可对角化的条件 复习本部分内容需要注意下列问题 1 特征向量的线性相关性 2 相似矩阵有相同的行列式 特征值 关系式的灵活运用 3 有重特征值时可对角化的条件 4 已知特征值和 部分 特征向量时求 原矩阵 2013年考研线代中的第2个选择题是关

11、于相似矩阵的性质 较简单 也易预测 例4 矩阵 相似的充要 条件是 A a 0 b 2 B a 0 b任意 C a 2 b 0 D a 2 b任意 相信在座的大部分同学都可以完成此 题 6 二次型 本部分在考研线代中同样非常重要 近11年考过1个填空题 2个选择题 5个解 答或证明题 内容几乎均为化二次型为标 准形 个别题涉及矩阵正定或合同 本章 的重点内容及复习策略如下 1 用正交变换化二次型为标准形 这是本章中最核心的内容 考生一定 要熟练掌握 2 正定矩阵的概念 性质与判定 这里 提出一个 高档 问题 如何判 定矩阵间的等价 相似 合同 如何理解 这三个概念间的关系 上述问题27年来仅考

12、过2个选择题 但 若你通过努力搞清三个概念的本质含义 判定方法 联系与区别 相信你的线代水 平提高的不是一点点 2013年考研线代中的第2个大题是二次 型 这在意料之中 但此题是证明二次型 的矩阵和标准形 而不是计算二次型的标 准形 并且要用到许多考生不太熟悉的秩 的相关结论 R A B R A R B R abT 1 题目新颖 有一定难度 无法预测 例5 设二次型 1 证明二次型f 对应的矩阵为 2 若 正交且均为单位向量 证明二次 型f 在正交变换下的标准形为 三 概率重点内容与复习策略 1 随机事件与概率 本部分在考研概率中不太重要 近11 年考过3个填空题 2个选择题 1个解答题 内容

13、涉及全概率公式以及用加法 乘法公 式求简单概率 考生只须熟悉加法公式 乘法公式 全概率公式及古典概型 几何概型即可 2 一维随机变量及其分布 本部分在考研概率中不太重要 近11 年考过3个填空 4个选择 1个解答题 涉 及密度函数的性质 正态分布 指数分布 概率的计算 随机变量函数的分布 考生要熟悉7种常用分布 分布函数和 密度函数的性质 特别是正态分布的性质 与计算 还应熟悉随机变量函数的分布的 计算方法 3 二维随机变量及其分布 本部分是考研概率中最重要的两个内 容之一 近11年考过2个填空题 5个选择题 7 5个解答题 内容包括二维随机变量函 数的分布 二维随机变量概率的计算 本 章的重

14、点内容及复习策略如下 1 二维均匀分布和二维正态分布 2 联合分布和边缘分布 3 二维随机变量概率的计算 这是本章考生必须熟练掌握的技能 4 二维随机变量函数的分布 这是本章中最重要的内容 考生一定 要熟练掌握 要特别注意非独立连续随机 变量线性组合的分布 离散随机变量和的 分布 离散和连续随机变量和的分布 此 外 还要熟记最大 小 值的分布 4 数字特征 本部分是考研概率中较重要的内容 近11年考过3个填空题 5个选择题 2 5个 解答题 内容包括二维分布协方差和相关 系数的计算 常用分布的期望和方差 本 章的重点内容及复习策略如下 1 7种常用一维分布的期望和方差 2 期望和方差的性质与计

15、算公式 3 协方差和相关系数的计算 4 随机变量独立与不相关的关系 本部分要特别注意二维离散分布的协 方差和相关系数的计算 此外 还要注意 二维正态随机变量独立与不相关的特殊关 系 5 大数定律 中心极限定理 统计分布 本部分是概率中不太重要的内容 近 11年单独考过4个选择题 1个解答题 包括 三大统计分布及正态分布的抽样分布 考生应熟悉切比雪夫不等式 三大分 布的结构与性质 正态分布的某些常用抽 样分布 需要提醒各位的是 上述内容往往与 参数估计和无偏性综合考查 6 参数估计 本部分是考研概率中最重要的内容 近11年考过2个填空题 9个解答题 主要 包括矩估计和最大似然估计 无偏性 本章的

16、重点内容及复习策略如下 1 矩估计和最大似然估计 这是本章中最重要的内容 考生一定 要熟练掌握离散和连续两种类型的估计方 法以及最大似然估计的非常规题型 2 估计量的无偏性 考虑到试题的覆盖面和综合性 参数 估计和无偏性有时会与三大分布和正态分 布的抽样分布综合考查 此类综合题往往 计算量较大 有一定难度 属压轴题 下面给出2013年考研概率的5个题目 例6 设X1 X2 X3是随机变量 且 则 A P1 P2 P3 B P2 P1 P3 C P3 P1 P2 D P1 P3 P2 此题仅涉及正态分布 较简单 例7 设随机变量 给 定 常数c满足 则 A B 1 C 2 D 1 2 本题涉及到t分布和F分布 且要熟悉 结论 若X t n 则X2 F 1 n 有难度 例8 设随机变量Y服从参数为1的指数 分布 a 0为常数 则 此题可用常规条件概率计算 也可用 指数分布的无记忆性计算 难度不大 例9 设随机变量的概率密度为 令随机变量 1 求Y的分布函数 2 求概率 本题表面为二维分布 其实可转化为 一维随机变量函数的分布 有一定难度 例10 设总体X的概率密度为 其中 为未知参数且大于