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1、函数的应用【2013年高考会这样考】1考查二次函数模型的建立及最值问题2考查分段函数模型的建立及最值问题3考查指数（型）、对数（型）、幂函数（型）函数模型的建立及最值问题【复习指导】函数模型的实际应用问题，主要抓好常见函数模型的训练，解答应用问题的重点在信息整理与建模上，建模后利用函数知识分析解决问题基础梳理1常见的函数模型及性质(1)几类函数模型一次函数模型：ykxb(k0)二次函数模型：yax2bxc(a0)指数函数型模型：yabxc(b0，b1)对数函数型模型：ymlogaxn(a0，a1)幂函数型模型：yaxnb.(2)三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn
2、(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax 一个防范特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域 四个步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论双基自测1若，则的取值范围是_。
3、2(2012新乡月考)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y3 00020x0.1x2(0x240，xN*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A100台 B120台 C150台 D180台 3有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为()A1 000米2 B2 000米2C2 500米2 D3 000米2 4(2011湖北)里氏震级M的计算公式为：Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是
4、相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍 5(2012东三校联考)为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密为yax2(x为明文，y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是_解析依题意yax2中，当x3时，y6，故6a32，解得a2.所以加密为y2x2，因此，当y14时，由142x2，解得x4.答案4考点一一次函数、二次函
5、数函数模型的应用【例1】(2011武汉调研)在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为：Mf(x)f(x1)f(x)某公司每月生产x台某种产品的收入为R(x)元，成本为C(x)元，且R(x)3 000x20x2，C(x)500x4 000(xN*)现已知该公司每月生产该产品不超过100台(1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x)；(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差审题视点 列出函数解析式，根据函数性质求最值解(1)由题意，得x1,100，且xN*.P(x)R(x)C(x)(3 000x20x2)(500x4 000)20x22 500x4 000，MP(x)
6、P(x1)P(x)20(x1)22 500(x1)4 000(20x22 500x4 000)2 48040x.(2)P(x)20274 125，当x62或x63时，P(x)取得最大值74 120元；因为MP(x)2 48040x是减函数，所以当x1时，MP(x)取得最大值2 440元故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71 680元. 二次函数是我们比较熟悉的基本函数，建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解【训练1】 经市场调查，某种商品在过去50天的销售
7、量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)2t200(1t50，tN)前30天价格为g(t)t30(1t30，tN)，后20天价格为g(t)45(31t50，tN)(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；(2)求日销售额S的最大值解(1)根据题意，得S(2)当1t30，tN时，S(t20)26 400，当t20时，S的最大值为6 400；当31t50，tN时，S90t9 000为减函数，当t31时，S的最大值为6 210.6 2106 400，当t20时，日销售额S有最大值6 400.考点二指数函数模型的应用【例2】某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂
8、量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式yf(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效求服药一次后治疗有效的时间是多长？审题视点 根据图象用待定系数法求出函数解析式，再分段求出时间长解(1)设y当t1时，由y4得k4，由1a4得a3.则y(2)由y0.25得或解得t5，因此服药一次后治疗有效的时间是5小时 可根据图象利用待定系数法确定函数解析式，然后把实际问题转化为解不等式问题进行求解【训练2】 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以
9、下问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？(参考数据：1.01291.113,1.012101.127，lg 1.20.079，lg 20.3010，lg 1.0120.005，lg 1.0090.003 9)解(1)1年后该城市人口总数为y1001001.2%100(11.2%)2年后该城市人口总数为y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2
10、%)2.3年后该城市人口总数为y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3.x年后该城市人口总数为y100(11.2%)x.(2)10年后，人口总数为100(11.2%)10112.7(万人)(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100(11.2%)x120，xlog1.012log1.0121.2016(年)(4)由100(1x%)20120，得(1x%)201.2，两边取对数得20lg(1x%)lg 1.20.079，所以lg(1x%)0.003 95，所以1x%1.009，得x0.9，即年自然增长率应该控制在0.9%.一、选择题1某企业去年销售收入1
11、 000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税已知该企业去年共纳税120万元则税率p%为()A10% B12%C25% D40% 2生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A36万件 B18万件C22万件 D9万件 3某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，
12、若要获得最大利润，销售价应定为每件()A100元 B110元C150元 D190元 4已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，汽车离开A地的距离x(千米)与时间t(小时)之间的函数表达式是()Ax60tBx60t50tCxDx 5某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()Ay100x By50x250x100Cy502x Dy100log2x100 二、填空题6某厂有许多
13、形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为_ 7(2011浙江高考)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是_ 三、解答题8某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x).其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润) 9当前环境问题已成为世界关注的焦点，2009年哥本哈根世界气候大会召开后，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说污染非常小现有以下数据：当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约跑12千米；当前液化
