《数学（理）人教A新设计大一轮课件：第三章 第2节 第3课时 导数在不等式中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学（理）人教A新设计大一轮课件：第三章 第2节 第3课时 导数在不等式中的应用（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点聚集突破核心素养提升 第3课时课时 导导数在不等式中的应应用 考点聚集突破核心素养提升 考点一 构造函数证明不等式 考点聚集突破核心素养提升 所以当0 x 2时 f x 2时 f x 0 即f x 在 0 2 上是减函数 在 2 上是增函数 又由 1 知x ln x 1 当且仅当x 1时取等号 且 等号不同时取得 考点聚集突破核心素养提升 规律方法 1 证明不等式的基本方法 1 利用单调性 若f x 在 a b 上是增函数 则 x a b 有f a f x f b x1 x2 a b 且x1 x2 有f x1 f x2 对于减函数有类似结论 2 利用最值 若f x 在某个范围D内有最大值M
2、 或最小值m 则 x D 有f x M 或f x m 2 证明f x g x 可构造函数F x f x g x 证明F x g x max 则f x g x 证明不等式 例2 已知函数f x xln x ax 1 解 函数f x xln x ax的定义域为 0 当a 1时 f x xln x x f x ln x 2 考点聚集突破核心素养提升 当且仅当x 1时取到 从而可知对一切x 0 都有f x G x 考点聚集突破核心素养提升 规律方法 1 在证明不等式中 若无法转化为一个函数的最值问题 则可考虑转化 为两个函数的最值问题 2 在证明过程中 等价转化是关键 此处f x min g x ma
3、x恒成立 从而f x g x 但此 处f x 与g x 取到最值的条件不是同一个 x的值 考点聚集突破核心素养提升 1 求f x 的极值 2 求证 对任意x1 x2 0 都有f x1 g x2 1 解 依题意得f x x3 3x 1 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 知f x 在 1 和 1 上是减函数 在 1 1 上是增函数 所以f x 极小值 f 1 3 f x 极大值 f 1 1 2 证明 易得x 0时 f x 最大值 1 考点聚集突破核心素养提升 注意到h 1 0 当x 1时 h x 0 当0 x 1时 h x 0 即h x 在 0 1 上是减函数 在 1 上是增函数 h x 最
4、小值 h 1 1 即g x 最小值 1 综上知对任意x1 x2 0 都有f x1 g x2 考点聚集突破核心素养提升 考点三 不等式恒成立或有解问题 多维探究 角度1 不等式恒成立求参数 考点聚集突破核心素养提升 考点聚集突破核心素养提升 所以 x 0 0 故sin x ax0 故 x 在区间 0 x0 上单调递 增 且 0 0 从而 x 在区间 0 x0 上大于零 这与sin x ax0恒成立 这与sin x ax0 f x 是增函数 当x 1 时 f x 0 所以g x 是增函数 所以g x g 1 2 故k 2 即实数k的取值范围是 2 考点聚集突破核心素养提升 角度2 不等式能成立求参
5、数的取值范围 例3 2 已知函数f x x2 2a 1 x aln x a R 1 若f x 在区间 1 2 上是单调函数 求实数a的取值范围 2 函数g x 1 a x 若 x0 1 e 使得f x0 g x0 成立 求实数a的取值范围 2 由题意知 不等式f x g x 在区间 1 e 上有解 即x2 2x a ln x x 0在区间 1 e 上有解 因为当x 1 e 时 ln x 1 x 不同时取等号 x ln x 0 考点聚集突破核心素养提升 因为x 1 e 所以x 2 2 2ln x 所以h x 0 h x 在 1 e 上单调递 增 考点聚集突破核心素养提升 规律方法 1 含参数的能
6、成立 存在型 问题的解题方法 a f x 在x D上能成立 则a f x min a f x 在x D上能成立 则a f x max 2 含全称 存在量词不等式能成立问题 1 存在x1 A 任意x2 B使f x1 g x2 成立 则f x max g x max 2 任意x1 A 存 在x2 B 使f x1 g x2 成立 则f x min g x min 考点聚集突破核心素养提升 解 依题意 不等式f x 0 f x min 0 x D f x 0 f x max0 f x max 0 x D f x 0 f x min0 当且仅当x 1时 等号成立 2 指数形式 ex x 1 x R 当且
7、仅当x 0时 等号成立 进一步可得到一组不等式链 ex x 1 x 1 ln x x 0 且x 1 考点聚集突破核心素养提升 考点聚集突破核心素养提升 即 x x 1 且x 0 所以排除选项D 当x 0时 由经典不等式x 1 ln x x 0 以x 1代替x 得x ln x 1 x 1 且x 0 所以ln x 1 x 1 且x 0 即x 0或 1 x 0时均有f x 0 排除A C 易 知B正确 答案 B 考点聚集突破核心素养提升 则g x ex x 1 由经典不等式ex x 1恒成立可知 g x 0恒成立 所以g x 在R上为单调递 增函数 且g 0 0 所以函数g x 有唯一零点 即两曲线
8、有唯一公共点 考点聚集突破核心素养提升 例2 2017 全国 卷改编 已知函数f x x 1 aln x 1 若f x 0 求a的值 1 解 f x 的定义域为 0 当x 0 a 时 f x 0 所以f x 在 0 a 单调递 减 在 a 单调递 增 考点聚集突破核心素养提升 故x a是f x 在 0 的唯一最小值点 因为f 1 0 所以当且仅当a 1时 f x 0 故a 1 2 证明 由 1 知当x 1 时 x 1 ln x 0 考点聚集突破核心素养提升 例3 设函数f x ln x x 1 1 讨论f x 的单调性 1 解 由题设知 f x 的定义域为 0 当0 x0 f x 在 0 1 上单调递 增 当x 1时 f x 0 f x 在 1 上单调递 减 考点聚集突破核心素养提升 2 证明 由 1 知f x 在x 1处取得最大值 最大值为f 1 0 所以当x 1时 ln x x 1
