《数学新学案同步实用课件选修1-1人教A全国通用：第二章 圆锥曲线与方程2.1.2 第1课时》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新学案同步实用课件选修1-1人教A全国通用：第二章 圆锥曲线与方程2.1.2 第1课时（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1课时 椭圆的简单几何性质 第二章 2 1 2 椭圆的简单几何性质 学习目标 1 掌握椭圆的简单几何性质 并正确地画出它的图形 2 能根据几何条件求出曲线方程 并利用曲线的方程研究它的 性质 图形 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 椭圆的范围 对称性和顶点 答案 在画椭圆时 可先画一个矩形 矩形的顶点为 a b a b a b a b 思考 在画椭圆图形时 怎样才能画的更准确些 梳理 椭圆的简单几何性质 焦点在x轴上焦点在y轴上 标准方程 a b 0 a b 0 图形 焦点坐标 对称性关于x轴 y轴轴对称 关于坐标原点中心对称 c 0 0 c 顶点坐标 A1 a 0
2、 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b A1 0 a A2 0 a B1 b 0 B2 b 0 范围 x y x y 长轴 短轴长轴A1A2长为 短轴B1B2长为 2a2b a bb a 知识点二 椭圆的离心率 椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率 记作e 因为a c 故椭圆离心率e的取值范围为 当e趋近于1时 椭圆越 当e趋近 于0时 椭圆越 0 1 扁 圆 思考辨析 判断正误 1 椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点 2 椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a c 3 椭圆的离心率e越接近于1 椭圆越圆 4 椭圆 1 a b 0 的长轴长等于a 题型探究 例1 设椭圆方程mx2 4y2
3、4m m 0 的离心率为 试求椭圆的长轴长和 短轴长 焦点坐标及顶点坐标 类型一 椭圆的简单几何性质 解答 焦点坐标为F1 1 0 F2 1 0 顶点坐标为A1 2 0 A2 2 0 反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式 然后 根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上 再利用a b c之间的关系 和定义 求椭圆的基本量 跟踪训练1 1 椭圆x2 1的焦点在x轴上 长轴长是短轴长的两倍 则m的值为 答案解析 A 范围相同 B 顶点坐标相同 C 焦点坐标相同 D 离心率相同 答案解析 类型二 求椭圆的离心率 命题角度1 利用焦点三角形性质求椭圆的离心率 例2 椭圆 1 a b 0
4、 的两焦点为F1 F2 以F1F2为边作正三角形 若椭圆恰好平分正三角形的另两条边 则椭圆的离心率为 答案解析 解析 方法一 如图 DF1F2为正三角形 N为DF2的中点 F1N F2N NF2 c 由椭圆的定义可知 NF1 NF2 2a 方法二 在焦点 NF1F2中 NF1F2 30 NF2F1 60 F1NF2 90 由离心率公式和正弦定理 得 答案解析 因为 F2PF1是底角为30 的等腰三角形 则有 F1F2 F2P 因为 PF1F2 30 所以 PF2D 60 DPF2 30 命题角度2 利用a c的齐次式 求椭圆的离心率 或其取值范围 例3 1 设椭圆C 1 a b 0 的左 右焦
5、点分别为F1 F2 过F2作 x轴的垂线与C相交于A B两点 F1B与y轴相交于点D 若AD F1B 则 椭圆C的离心率为 答案解析 3b4 4a2c2 2 若椭圆 1 a b 0 上存在一点M 使得 F1MF2 90 F1 F2为 椭圆的两个焦点 则椭圆的离心率e的取值范围是 答案解析 由题意知 以F1F2为直径的圆与椭圆至少有一个公共点 则c b 即c2 b2 所以c2 a2 c2 又0 e 1 反思与感悟 若a c的值不可求 则可根据条件建立a b c的关系 式 借助于a2 b2 c2 转化为关于a c的齐次方程或不等式 再将 方程或不等式两边同除以a的最高次幂 得到关于e的方程或不等式
6、 即可求得e的值或取值范围 答案解析 跟踪训练3 设A B是椭圆C 1长轴的两个端点 若C上存在点M 满足 AMB 120 则椭圆C的离心率的取值范围是 类型三 利用几何性质求椭圆的标准方程 解答 解 所求椭圆的方程为标准方程 又椭圆过点 3 0 点 3 0 为椭圆的一个顶点 当椭圆的焦点在x轴上时 3 0 为右顶点 则a 3 a2 3b2 27 当椭圆的焦点在y轴上时 3 0 为右顶点 则b 3 解答 由椭圆的对称性 知 B1F B2F 又B1F B2F B1FB2为等腰直角三角形 OB2 OF 即b c 反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出a b c应满足的关 系式 进而求出a
7、b 在求解时 需注意当焦点所在位置不确定时 应分 类讨论 跟踪训练4 如图 OFB ABF的面积为2 则以OA为长半 轴 OB为短半轴 F为一个焦点的椭圆方程为 答案解析 由题意知 OF c OB b BF a 达标检测 答案解析 12345 1 椭圆25x2 9y2 1的范围为 答案解析 A C1与C2顶点相同B C1与C2长轴长相同 C C1与C2短轴长相同D C1与C2焦距相等 12345 答案解析 3 若椭圆的对称轴为坐标轴 长轴长与短轴长的和为18 焦距为6 则椭 圆的方程为 12345 解析 由2a 2b 18 a b 9 2c 6 c 3 c2 a2 b2 9 a b 1 得a
8、5 b 4 答案 4 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴 一个顶点是 0 13 另一个顶点是 10 0 则焦点坐标为 12345 解析 12345 解析 根据题意得2b 6 a c 9或a c 9 舍去 又因为a2 b2 c2 5 已知椭圆E的短轴长为6 焦点F到长轴的一个端点的距离等于9 则椭 圆E的离心率为 答案解析 1 已知椭圆的方程讨论性质时 若不是标准形式 应先化成标准形式 2 根据椭圆的几何性质 可以求椭圆的标准方程 其基本思路是 先定 型 再定量 常用的方法是待定系数法 在椭圆的基本量中 能确定 类型的量有焦点 顶点 而不能确定类型的量有长轴长 短轴长 离 心率e 焦距 3 求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想 数形结合思想的应用 规律与方法
