《数学新设计同步人教A选修2-1课件：第一章 常用逻辑用语 1.2.2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新设计同步人教A选修2-1课件：第一章 常用逻辑用语 1.2.2（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2 2 充要条件 学习目标 1 理解充要条件的意义 2 会判断 证明充要条件 3 通过学习 明白对充要条件的判定应该归结为 判断命题的 真假 知识点1 充要条件 一般地 如果既有p q 又有q p 就记作 此时 我们说 p是q的 简称 显 然 如果p是q的充要条件 那么q也是p的充要条件 概括地说 如果p q 那么p与q p q 充分必要条件充要条件 互为充要条件 预习评价 思考 1 若p是q的充要条件 则命题p和q是两个相互等价的命 题 这种说法对吗 2 p是q的充要条件 与 p的充要条件是q 的区别在哪里 提示 1 正确 若p是q的充要条件 则p q 即p等价于q 故此说法正确 2 p
2、是q的充要条件说明p是条件 q是结论 p的充要条件是q说明q是条件 p是结论 知识点2 常见的四种条件与命题真假的关系 如果原命题为 若p 则q 逆命题为 若q 则p 那么p 与q的关系有以下四种情形 原命题逆命题p与q的关系 真真 p是q的充要条件 q是p的充要条件 真假 p是q的充分不必要条件 q是p的必要不充分条件 假真 p是q的必要不充分条件 q是p的充分不必要条件 假假 p是q的既不充分也不必要条件 q是p的既不充分也不必要条件 预习评价 若x y R 则 x y 是 x y 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 解析 当x y时 x y
3、 显然成立 若 x y 则x y 或x y 所以 x y 是 x y 的充分不必要条件 答案 A 知识点3 从集合的角度判断充分条件 必要条件和充要条件 若A B 则p是q的充分条件 若A B 则p是q的充分不必要条件 若B A 则p是q的必要条件 若B A 则p是q的必要不充分条件 若A B 则p q互为充要条件 若A B且B A 则p既不是q的充分条件 也 不是q的必要条件 其中p A x p x 成立 q B x q x 成 立 预习评价 若 x a 是 x 2 的充分不必要条件 则实数a的取值范围 是 解析 由题意知 x x a x x 2 所以a 2 答案 2 题型一 充要条件的判断
4、 例1 1 x 1 是 x2 2x 1 0 的 A 充要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 解析 解x2 2x 1 0得x 1 所以 x 1 是 x2 2x 1 0 的充要条件 答案 A 2 判断下列各题中 p是否为q的充要条件 在 ABC中 p A B q sin A sin B 若a b R p a2 b2 0 q a b 0 p x 3 q x2 9 解 在 ABC中 显然有 A B sin A sin B 所以p是q的充要条件 若a2 b2 0 则a b 0 即p q 若a b 0 则a2 b2 0 即q p 故p q 所以p是q的充要条件 由于
5、p x 3 q x2 9 所以p是q的充要条件 规律方法 判断p是q的充分必要条件的两种思路 1 命题角度 判断p是q的充分必要条件 主要是判断p q 及q p这两个命题是否成立 若p q成立 则p是q的充分条 件 同时q是p的必要条件 若q p成立 则p是q的必要条 件 同时q是p的充分条件 若二者都成立 则p与q互为充 要条件 2 集合角度 关于充分条件 必要条件 充要条件 当不 容易判断p q及q p的真假时 也可以从集合角度去判断 结合集合中 小集合 大集合 的关系来理解 这对解 决与逻辑有关的问题是大有益处的 训练1 1 a b中至少有一个不为零的充要条件是 A ab 0 B ab
6、0 C a2 b2 0 D a2 b2 0 2 函数y x2 2x a没有零点 的充要条件是 解析 1 a2 b2 0 则a b不同时为零 a b中至少有一 个不为零 则a2 b2 0 2 函数没有零点 即方程x2 2x a 0无实根 所以有 4 4a 0 解得a 1 反之 若a 1 则 0 方程x2 2x a 0无实根 即函数没有零点 故 函数y x2 2x a没 有零点 的充要条件是a 1 答案 1 D 2 a 1 题型二 充要条件的证明 例2 求证 方程x2 2k 1 x k2 0的两个根均大于1的充 要条件是k 2 充分性 当k0 设方程x2 2k 1 x k2 0的两个根为x1 x2
7、 则 x1 1 x2 1 x1x2 x1 x2 1 k2 2k 1 1 k k 2 0 又 x1 1 x2 1 x1 x2 2 2k 1 2 2k 1 0 x1 1 0 x2 1 0 x1 1 x2 1 综上可知 方程x2 2k 1 x k2 0有两个大于1的根的充 要条件为k 2 规律方法 一般地 证明 p成立的充要条件为q 时 在 证充分性时应以q为 已知条件 p是该步中要证明的 结论 即q p 证明必要性时则是以p为 已知条件 q为该步中要证明的 结论 即p q 训练2 求证 一次函数f x kx b k 0 是奇函数的充要 条件是b 0 证明 充分性 如果b 0 那么f x kx 因为
8、f x k x kx 所以f x f x 所以f x 为奇函数 必要性 因为f x kx b k 0 是奇函数 所以f x f x 对任意x均成立 即k x b kx b 所以b 0 综上 一次函数f x kx b k 0 是奇函数的充要条件是b 0 探究1 设集合A x x 1 B x x a 若A B 求实 数a的取值范围 解 因为A B 所以a 1 即实数a的取值范围是 1 互动探究 题型三 利用充分条件 必要条件求参数 的取值范围 探究2 设A B是两个集合 若 x A 是 x B 的充分不 必要条件 则集合A与B是什么关系 解 由充分不必要条件的定义可知 若x A 则x B一定成立
9、但x B 则x A不成立 所以A B 探究3 已知p x2 8x 20 0 q x2 2x 1 a2 0 若p是 q的充分不必要条件 求正实数a的取值范围 解 设p对应的集合为A q对应的集合为B 解不等式x2 8x 20 0 得A x x 10或x 2 解不等式x2 2x 1 a2 0 得B x x 1 a或x 1 a a 0 依题意知p q q p 说明A B 于是有 规律方法 充分条件 必要条件的应用 一般表现在参数 问题的求解上 解题时需注意 1 把充分条件 必要条件或充要条件转化为集合之间的关 系 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 或不 等式组 求解 2 要注意区间端点值的
10、检验 课堂达标 1 对于非零向量a b a b 0 是 a b 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 当a b 0时 得a b 所以a b 但若a b 不一 定有a b 0 答案 A 2 已知集合A 1 a B 1 2 3 则 a 3 是 A B 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 a 3时 A 1 3 A B 当A B时 a 2或3 答案 A 3 已知 a 2 直线x y 0与圆x2 y a 2 2 相切 则 是 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不
11、必要条件 答案 C 4 已知直线l1 x ay 6 0和直线l2 a 2 x 3y 2a 0 则 l1 l2的充要条件是a 解析 由1 3 a a 2 0得a 3或 1 而a 3时 两条直线重合 所以a 1 答案 1 答案 充要 课堂小结 1 充要条件的判断有三种方法 定义法 等价命题法 集合法 2 充要条件的证明与探求 1 充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明 在证明时 要注意两种叙述方式的区别 p是q的充要条件 则由p q证的是充分性 由q p证的是必 要性 p的充要条件是q 则由p q证的是必要性 由q p证的是充 分性 2 探求充要条件 可先求出必要条件 再证充分性 如果能保 证每一步的变形转化过程都可逆 也可以直接求出充要条件
