《概率论与数理统计：第一章 随机事件与概率3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计：第一章 随机事件与概率3（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、直观定义直观定义 事件事件A 出现的可能性大小出现的可能性大小. .统计定义统计定义 事件事件A 在大量重复试验下在大量重复试验下 出现的频率的出现的频率的稳定值稳定值称为该事件的概称为该事件的概率率. .古典古典定义定义；几何定义几何定义. .1.2 概率的定义及其确定方法概率的定义及其确定方法Axiomatize Definition1.2.1 概率概率的的公理化定义公理化定义从从 n 个元素中任取个元素中任取 r 个，求取法数个，求取法数. .排列讲次序，组合不讲次序排列讲次序，组合不讲次序. .全排列全排列：Pn= n!0! = 1.重复排列重复排列：nr选排列选排列：1.2.2 排列
2、与组合公式排列与组合公式组组 合合组合组合：重复组合重复组合：加法原理加法原理 完成某件事情有完成某件事情有 n 类途径，类途径， 在第一类途径中有在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在种方法，依次类推，在第第 n 类途径中有类途径中有mn种方法，则完成这件事共有种方法，则完成这件事共有 m1+m2+mn种不同的方法种不同的方法.乘法原理乘法原理 完成某件事情需先后分成完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有种方法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第种方法，依次类推，第 n 步有步有mn种方法，
3、则完成这件事共有种方法，则完成这件事共有 m1m2mn种不同种不同的方法的方法.进行进行n次重复试验次重复试验，记记 n(A) 为事件为事件A的频数，的频数， 称称 为事件为事件A的的频率频率.随机试验可大量重复进行随机试验可大量重复进行. .1.2.3 确定概率的频率方法确定概率的频率方法频率频率fn(A)会稳定于某一常数会稳定于某一常数(稳定值稳定值).).用频率的稳定值作为该事件的概率用频率的稳定值作为该事件的概率. .Property 古典方法古典方法 设设 为样本空间，若为样本空间，若 只含有限个样本点只含有限个样本点; 每个样本点出现的可能性相等，每个样本点出现的可能性相等， 则事
4、件则事件A的概率为的概率为:P(A) = A中样本点的个数中样本点的个数 / 样本点总数样本点总数1.2.4 确定概率的古典方法确定概率的古典方法抛一枚硬币三次抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次抛三枚硬币一次 1=(正正正正正正), (反正正反正正), (正反正正反正), (正正正正反反), (正反反正反反), (反正反反正反), (反反正反反正), (反反反反反反) 此样本空间中的样本点此样本空间中的样本点等可能等可能.2=(三正三正), (二正一反二正一反), (二反一正二反一正), (三反三反) 此样本空间中的样本点此样本空间中的样本点不等可能不等可能. 注注 意意n 个人围一圆桌坐，个人围
5、一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率求甲、乙两人相邻而坐的概率. 解：解：考虑甲先坐好，则乙有考虑甲先坐好，则乙有n-1-1个位置可坐，个位置可坐， 而而“甲乙相邻甲乙相邻”只有两种情况，所以只有两种情况，所以P(A) = 2/(n-1-1)。例例1.2.1n个人坐成个人坐成一排一排，求甲、乙两人相邻而坐的概率求甲、乙两人相邻而坐的概率. .( (注意注意：请与上一题作比较请与上一题作比较) )解：解：1) 先考虑样本空间的样本点数：先考虑样本空间的样本点数： 甲先坐、乙后坐，则共有甲先坐、乙后坐，则共有n(n 1) 种可能种可能. 2) 甲在两端，则乙与甲相邻共有甲在两端，则乙与甲相邻共有2
6、种可能种可能. 3) 甲在中间甲在中间(n 2)个位置上，则乙左右都可坐，个位置上，则乙左右都可坐， 所以共有所以共有2(n 2)种可能。由此得所求概率为：种可能。由此得所求概率为：例例1.2.2解解方法方法 1样本空间样本点数为样本空间样本点数为 , 设设 A= 取的取的 4 只鞋子中至少有只鞋子中至少有 2 只配成一双只配成一双 , 先从先从5双中任取双中任取 1双双从余下的从余下的 4 双中任取双中任取 2双双从这从这 2双中各任取双中各任取 1只只 A= 4 只鞋中恰有只鞋中恰有 2 只配成一双只配成一双 4 只只鞋恰好配成两双鞋恰好配成两双 所求为所求为“至少至少”或或“至多至多”的
7、问题，用余概公式简单的问题，用余概公式简单例例 1.2.5 从从5双不同的鞋中任取双不同的鞋中任取4只，求这只，求这 4 只鞋中只鞋中至少有至少有 2 只配成一双鞋的概率？只配成一双鞋的概率？方法方法 2 取的取的 4 只鞋子中没有成双的只鞋子中没有成双的 ,先从先从5双中任取双中任取 4 双双 在从这在从这4双中各取双中各取 1只只还有其它解法吗？还有其它解法吗？ 从从5双不同的鞋中任取双不同的鞋中任取4只，求这只，求这 4 只鞋中只鞋中至少有至少有 2 只配成一双鞋的概率？只配成一双鞋的概率？错在何处？错在何处？在用排列组合公式计算古典概型时在用排列组合公式计算古典概型时必须注意不要重复计
8、数，也不要遗漏必须注意不要重复计数，也不要遗漏 从从5双不同的鞋中任取双不同的鞋中任取4只，求这只，求这 4 只鞋中至少只鞋中至少有有 2 只配成一双鞋的概率？只配成一双鞋的概率？先从先从5双中任取双中任取 1双双从余下的从余下的 8只中任取只中任取 2只只这这 2只鞋有只鞋有“不不成双成双”和和“成成双双”两种情形两种情形与与5双中任取一双双中任取一双时已出现时已出现“4只恰只恰有两双有两双”的情形重的情形重复复正确做法正确做法 多算了多算了 种种解法解法 3 同样的同样的“4只配成两双只配成两双”算了两次算了两次 P( (A) )= 1、在应用古典概型时必须注意、在应用古典概型时必须注意“
9、等可能性等可能性”的条件的条件再次提醒注意：再次提醒注意：2、用排列组合公式计算样本点数时必须注意不要重复计、用排列组合公式计算样本点数时必须注意不要重复计数，也不要遗漏数，也不要遗漏例例1.2.6 掷两枚骰子出现的点数之和等于掷两枚骰子出现的点数之和等于3 的概率的概率.解解 掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为 2, 3, 4, , 12 , , =(1,1) ), ( (1,2) ), ( (2,1) ), ( (1,3) ), ( (6,6) ) 26 63、所求为所求为“至少至少”或或“至多至多”的问题，用余概公式的问题，用余概公式简单简单4、许多
10、表面上提法不同的问题实质上属于同一类型、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型 有有n个人个人, 每个人都以相同的概率每个人都以相同的概率1/N( (Nn) )被分在被分在 N 间房的每一间中间房的每一间中, 求指定的求指定的n间房中各有一人的概率间房中各有一人的概率.人人房房4、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型 有有n个人，设每个人的生日是任个人，设每个人的生日是任一天的概率为一天的概率为1/365. 求这求这n ( (n 365) )个人的生日互不相同的概率个人的生日互不相同的概率.人人任一天任一天 有有n 个旅客个旅客, 乘火车途
11、经乘火车途经N个车个车站，站，设每个人在每站下车的概率为设每个人在每站下车的概率为1/ N( (N n),), 求指定的求指定的 n 个站各有一人下车的概个站各有一人下车的概率率.旅客旅客车站车站 某城市每周发生某城市每周发生7次车祸次车祸, 假设每天假设每天发生车祸的概率相同发生车祸的概率相同. 求每天恰好发生求每天恰好发生一次车祸的概率一次车祸的概率.车祸车祸天天分分球球入入箱箱N 个产品个产品，其中其中M个不合格品个不合格品、N M个合格品个合格品. (口袋中有口袋中有M 个白球个白球， N M 个黑球个黑球)常见模型常见模型(1) 不放回抽不放回抽样样从中不放回任从中不放回任取取n 个
12、个, 则此则此 n 个中有个中有 m 个不合格个不合格品的概率为：品的概率为：此模型又称此模型又称 超几何模型超几何模型. n N, m M, n m N M.口袋中有口袋中有5 个白球、个白球、7个黑球、个黑球、4个红球个红球.从中不放回任从中不放回任取取3 个个.求取出的求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率个球为不同颜色的球的概率.思思 考考 题题购买购买：从从01，35 中选中选7个号码个号码.开奖开奖：7个基本号码，个基本号码，1个特殊号码个特殊号码. 彩票问题彩票问题幸运幸运35选选7中奖规则 1) 7个基本号码个基本号码 2) 6个基本号码个基本号码 + + 1个特殊号码个特殊号
13、码 3) 6个基本号码个基本号码 4) 5个基本号码个基本号码 + + 1个特殊号码个特殊号码 5) 5个基本号码个基本号码 6) 4个基本号码个基本号码 + + 1个特殊号码个特殊号码 7) 4个基本号码，或个基本号码，或 3个基本号码个基本号码 + + 1个特个特殊号码殊号码 中奖概率中奖概率 中所含样本点个数：中所含样本点个数：将将35个号分成三类：个号分成三类： 7个基本号码个基本号码、 1个特殊号码个特殊号码、 27个无用号码个无用号码记记 pi 为中为中i 等奖的概率。利用抽样模型得：等奖的概率。利用抽样模型得： 中奖概率如下中奖概率如下：不中奖的概率为不中奖的概率为： p0=1
14、p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 N 个产品，其中个产品，其中M个不合格品个不合格品、N M个个合格品合格品. 从中有放回地任从中有放回地任取取n 个个.则此则此 n 个中有个中有 m 个不合格品的概率为：个不合格品的概率为：常见模型常见模型(2) 返回抽样返回抽样条件：条件： m n , 即即 m = 0, 1, 2, , n.n 个不同球放入个不同球放入 N 个不同的盒子中个不同的盒子中. .每个盒子中所放球数不限每个盒子中所放球数不限. .求恰有求恰有n 个盒子中各有一球的概率个盒子中各有一球的概率( (n N) 常见模型常见模型(3) 盒子模型盒子模型求求n 个人中至少有两人生
15、日相同的概率个人中至少有两人生日相同的概率. .看成看成 n 个球放入个球放入 N=365个盒子中个盒子中.P(至少两人生日相同至少两人生日相同)=1 P(生日全不相同生日全不相同)用盒子模型得用盒子模型得：pn= P(至少两人生日相同至少两人生日相同)=生日问题生日问题p20=0.4114, p30=0.7063, p50=0.9704, p60=0.9941 下图是卧室和书房地板的示意图，图中下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在卧室和书房中自由地走来走去，并随意停留卧室和书房中自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上。
16、在哪个房间里，小猫停留在在某块方砖上。在哪个房间里，小猫停留在黑砖上的概率大？黑砖上的概率大？卧卧 室室书书 房房创设情境3：问题情境问题情境1.2.5 确定确定概率的几何方法概率的几何方法 若若 样本空间样本空间 充满某个区域，充满某个区域， 其度量其度量(长度、面积、体积长度、面积、体积)为为S ； 落在落在 中的任一子区域中的任一子区域A的概率，的概率， 只与子区域的度量只与子区域的度量SA有关，有关， 而与子区域的位置无关而与子区域的位置无关 (等可能的等可能的). 则事件则事件A的概率为的概率为: P(A)= SA /S Uniform DistributionA1BuffonNee
17、dle Simulation2Monte Carlo Method 法国自然哲学家蒲丰法国自然哲学家蒲丰先生经常搞点有趣的先生经常搞点有趣的 试验给朋友们解闷。试验给朋友们解闷。1777年的一天年的一天, ,蒲丰先生蒲丰先生 又在家里为宾客们做一次有趣的试验，他先在又在家里为宾客们做一次有趣的试验，他先在 一张白纸上画满了一条条距离相等的平行线。一张白纸上画满了一条条距离相等的平行线。 然后，他抓出一大把小针，每根小针的长度都然后，他抓出一大把小针，每根小针的长度都是平行线之间距离的一半。蒲丰说：是平行线之间距离的一半。蒲丰说：“请诸位把这些小针请诸位把这些小针一根一根地往纸上随便扔吧。一根一
18、根地往纸上随便扔吧。”客人们好奇地把小针一根客人们好奇地把小针一根根地往纸上乱扔。最后蒲丰宣布结果：根地往纸上乱扔。最后蒲丰宣布结果：大家共投针大家共投针2212次，次，其中与直线相交的就有其中与直线相交的就有704次。用次。用704去除去除2212，得数为，得数为3.142。他笑了笑说：他笑了笑说：“这就是圆周率这就是圆周率的近似值。的近似值。” 这这时众宾客哗然：时众宾客哗然：“圆周率圆周率?这根本和圆沾不上边呀这根本和圆沾不上边呀?” 蒲蒲丰先生却好像看透了众人的心思，斩钉截铁地说：丰先生却好像看透了众人的心思，斩钉截铁地说：“诸位诸位不用怀疑，这的确就是圆周率不用怀疑，这的确就是圆周率
19、的近似值。你们看，连圆的近似值。你们看，连圆规也不要，就可以求出规也不要，就可以求出的值来。的值来。只要你有耐心，投掷的只要你有耐心，投掷的次数越多，求出的圆周率就越精确。次数越多，求出的圆周率就越精确。”这就是数学史上有这就是数学史上有名的名的“投针试验投针试验”。（更详细的情况参见）（更详细的情况参见） http:/www.cut-the-knot.org/ctk/August2001.shtml投针试验法(1707-1788) a a/2 G g O CH1由蒲丰投针问题知：长为由蒲丰投针问题知：长为l 的针与平行线的针与平行线相交的概率为相交的概率为: : 2l/ /d .而实际去做而
20、实际去做 N 次试验次试验，得得 n 次针与次针与平平行线相交行线相交，则频率为则频率为: : n/ /N.用频率代替概率得用频率代替概率得： 2lN/(/(dn).历史上有一些实验数据历史上有一些实验数据. . 的的随机模拟随机模拟历史上一些学者的计算结果历史上一些学者的计算结果(直线距离直线距离a=1) 3.179585925200.54191925Reina 3.1415929180834080.831901Lazzerini 3.159548910300.751884Fox 3.1373826001.01860De Morgan 3.1554121832040.61855Smith 3
21、.1596253250000.81850Wolf相交次数相交次数投掷次数投掷次数针长针长时间时间试验者试验者蒲丰投针问题的推广蒲丰投针问题的推广平面上画有间隔为平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为任意投掷一个边长为a, ,b, ,c( (均小于均小于d) )的的三角形三角形，求三角形与平行线相交的概率求三角形与平行线相交的概率 分析：分析：三角形与平行线相交有以下三种情况：三角形与平行线相交有以下三种情况： 1) 一个顶点在平行线一个顶点在平行线上上; ; 2) 一条边与平行线重合一条边与平行线重合; ; 3) 两条边与平行线相交两条边与平行线相交. .
22、前两种情况出现的概率为零前两种情况出现的概率为零. .所以只要去确定两条边与平行线相交的概率所以只要去确定两条边与平行线相交的概率. . 解：解：记记Pab, ,Pac, ,Pbc , ,Pa, ,Pb, ,Pc分别为边分别为边ab, ,ac, ,bc, , a, ,b, ,c与平行线相交的概率，则所求概率为与平行线相交的概率，则所求概率为 p= =P( (三角形与平行线相交三角形与平行线相交) )=Pab+ +Pac+ +Pbc. . 由蒲丰投针问题知由蒲丰投针问题知Pa=2a/(/(d ), ), Pb=2b/(/(d ), ), Pc=2c/ /(d ). . 因为因为Pa= Pab+ +Pac, , Pb= Pab+ +Pbc, , Pc= Pac+ +Pbc 所以所以 Pa + + Pb + + Pc = 2(Pab+ +Pac+ +Pbc), , 由此得由此得 p = =Pab+ +Pac+ +Pbc=(=(Pa + + Pb + + Pc) )/2 =(=(a+ +b+ +c)/()/(d ).).
