《数学新学案同步苏教必修二课件：第2章 平面解析几何初步习题课 直线与方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新学案同步苏教必修二课件：第2章 平面解析几何初步习题课 直线与方程（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题课 直线与方程 第2章 平面解析几何初步 学习目标 1 掌握与直线有关的对称问题 2 通过解决最值问题体会数形结合思想与转化化归思想的应用 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 对称问题 1 点关于直线对称 设点P x0 y0 l Ax By C 0 AB 0 若点P关于l的对称点为点 Q x y 则l是线段PQ的垂直平分线 故PQ l且PQ的中点在l上 解方程组 即可得点Q的坐标 常用的结论 1 A a b 关于x轴的对称点为A a b 2 B a b 关于y轴的对称点为B a b 3 C a b 关于原点的对称点为C a b 4 D a b 关于直线y x的对称点
2、为D b a 5 E a b 关于直线y x的对称点为E b a 6 P a b 关于直线x m的对称点为P 2m a b 7 Q a b 关于直线y n的对称点为Q a 2n b 2 直线关于点对称 已知直线l的方程为Ax By C 0 A2 B2 0 和点P x0 y0 求l关于点 P的对称直线l 的方程 设P x y 是对称直线l 上的任意一点 它关于点P x0 y0 的对称点 2x0 x 2y0 y 在直线l上 则A 2x0 x B 2y0 y C 0 即Ax By C 0为所求的对称直线 l 的方程 3 直线关于直线对称 一般转化为点关于直线对称的问题 在已知直线上任取一点 求此点关
3、 于对称轴的对称点 对称点必在对称直线上 常用的结论 设直线l Ax By C 0 则 1 l关于x轴对称的直线是Ax B y C 0 2 l关于y轴对称的直线是A x By C 0 3 l关于原点对称的直线是A x B y C 0 4 l关于直线y x对称的直线是Bx Ay C 0 5 l关于直线y x对称的直线是A y B x C 0 知识点二 最值问题 1 利用对称转化为两点之间的距离问题 2 利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离 3 利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题 通过配方求最值 思考辨析 判断正误 1 点P x1 y1 关于点M x0 y0 的对称点是P 2x0 x
4、1 2y0 y1 2 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离 3 若点A B关于直线l y kx b k 0 对称 则直线AB的斜率等于 且线段AB的中点在直线l上 题型探究 命题角度1 关于点对称问题 例1 1 求点P x0 y0 关于点A a b 的对称点P 的坐标 类型一 对称问题 解 根据题意可知点A a b 为PP 的中点 设点P 的坐标为 x y 解答 所以点P 的坐标为 2a x0 2b y0 2 求直线3x y 4 0关于点 2 1 的对称直线l的方程 解 方法一 设直线l上任意一点M的坐标为 x y 则此点关于点 2 1 的对称点为M1 4 x 2 y 且M1
5、在直线3x y 4 0上 所以3 4 x 2 y 4 0 即3x y 10 0 所以所求直线l的方程为3x y 10 0 方法二 在直线3x y 4 0上取两点A 0 4 B 1 1 则点A 0 4 关于点 2 1 的对称点为A1 4 2 点B 1 1 关于点 2 1 的对称点为B1 3 1 可得直线A1B1的方程为3x y 10 0 即所求直线l的方程为3x y 10 0 解答 反思与感悟 1 点关于点的对称问题 若两点A x1 y1 B x2 y2 关于点P x0 y0 对称 则点P是线段AB的中点 2 直线关于点的对称问题 若两条直线l1 l2关于点P对称 则 l1上任意一点关于点P的对
6、称点必在l2 上 反过来 l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上 若l1 l2 则点P 到直线l1 l2的距离相等 过点P作一直线与l1 l2分别交于A B两点 则 点P是线段AB的中点 跟踪训练1 已知点A x 5 关于点 1 y 的对称点为 2 3 则点P x y 到原点的距离是 答案解析 所以点P的坐标为 4 1 命题角度2 关于直线对称问题 例2 点P 3 4 关于直线x y 2 0的对称点Q的坐标是 答案解析 解析 设对称点坐标为 a b 由题意 2 5 反思与感悟 1 点关于直线的对称问题 求点P x0 y0 关于Ax By C 0 A B不全为0 的对称点P x y 时 利用可
7、以求出点P 的坐标 2 直线关于直线的对称问题 若两条直线l1 l2关于直线l对称 则 l1上任意一点关于直线l的对称点必 在l2上 反过来 l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上 过直线l上的 一点P且垂直于直线l作一直线与l1 l2分别交于点A B 则点P是线段AB 的中点 跟踪训练2 求直线x 2y 1 0关于直线x y 1 0对称的直线l的方程 解答 两直线的交点为A 1 0 设点B关于直线x y 1 0的对称点为C x0 y0 由所求直线经过A C两点 所求直线l的方程为2x y 2 0 类型二 最值问题 例3 在直线y x 2上求一点P 使得点P到直线l1 3x 4y 8 0和
8、直 线l2 3x y 1 0的距离的平方和最小 解答 解 设直线y x 2上一点 x0 x0 2 到两直线的距离分别为d1和d2 反思与感悟 解决此类问题通常有两种途径 一是利用所求式子的几何 意义转化为点到直线的距离 二是利用距离公式转化为二次函数求最值 问题 上式可看成是一个动点M x y 到定点N 0 1 的距离 即为点N到直线l 6x 8y 1 0上任意一点M x y 的距离 MN的最小值应为点N到直线l的距离 答案解析 例4 在直线l 3x y 1 0上求一点P 使得 1 点P到点A 4 1 和点B 0 4 的距离之差最大 类型三 对称与最值的综合应用 解答 解 如图 点B关于l的对
9、称点为B 3 3 直线AB 的方程为2x y 9 0 即P 2 5 2 点P到点A 4 1 和点C 3 4 的距离之和最小 解答 由图象可知PA PC AC 反思与感悟 利用对称转化为两点间的距离是求解最值的一种常用 方法 跟踪训练4 已知直线l x 2y 8 0和两点A 2 0 B 2 4 1 在直线l上求一点P 使PA PB最小 解答 解 设A关于直线l的对称点为A m n 因为P为直线l上的一点 则PA PB PA PB A B 当且仅当B P A 三点共线时 PA PB取得最小值A B 点P即为 直线A B与直线l的交点 故所求的点P的坐标为 2 3 2 在直线l上求一点P 使 PB
10、PA 最大 解答 解 A B两点在直线l的同侧 点P是直线l上的一点 则 PB PA AB 当且仅当A B P三点共线时 PB PA 取得最大值AB 点P即为直线AB与直线l的交点 又直线AB的方程为y x 2 故所求的点P的坐标为 12 10 达标检测 答案解析 1 过点A 1 2 且与原点距离最大的直线方程为 12345 x 2y 5 0 答案解析 2 设两条直线的方程分别为x y a 0 x y b 0 已知a b是方程x2 x c 0 的两实根 则这两直线间距离的最大值为 12345 解析 a b是方程x2 x c 0的两个实根 a b 1 ab c a b 2 a b 2 4ab 1
11、 4c 答案解析 解析 设对称点坐标为 x0 y0 12345 3 点P 2 5 关于直线x y 1的对称点的坐标是 4 1 答案解析 4 已知点A 3 1 B 5 2 点P在直线x y 0上 若使PA PB取 最小值 则点P坐标是 12345 解析 点A 3 1 关于直线x y 0的对称点为A 1 3 解答 12345 5 x y满足x y 1 0 求x2 y2 2x 2y 2的最小值 解 原式可化为 x 1 2 y 1 2 其几何意义为点P x y 到点Q 1 1 的距离的平方 而点 x y 在直线x y 1 0上 设d为点Q到直线x y 1 0的距离 1 对称问题 在解析几何中 对称问题主要分为两类 一是中心对称 二是轴对称 在 本章中 对称主要有以下四种 点点对称 点线对称 线点对称 线线 对称 其中后两种可以化归为前两种类型 所以 点关于直线对称 是 最重要的类型 转化思想是解决对称问题的主要思想方法 其他问题如角的平分线 光 线反射等也可转化成对称问题 2 最值问题 数形结合思想和转化化归思想常体现在求最值问题中 规律与方法
