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1、机器人技术数学基础 Mathematic Preparation for Robotics 2 1 位置和姿态的表示 2 2 坐标变换 2 3 齐次坐标变换 2 4 物体的变换及逆变换 2 5 通用旋转变换 Robotics 数学基础 2 1 位置和姿态的表示 1 位置描述 在直角坐标系A中 空间任意一点p的位置 Position 可用3x1列向量 位置矢量 表示 2 方位描述 空间物体B的方位 Orientation 可由某个固接于此物体的坐标系 B 的三个单位主矢量 xB yB zB 相对于 参考坐标系A的方向余弦组成的3x3 矩阵描述 Robotics 数学基础 2 1 位置和姿态的表示
2、 上述矩阵称为旋转矩阵 它是正交的 即 若坐标系B可由坐标系A 通过绕A的某一坐标轴获 得 则绕x y z三轴的旋转矩阵分别为 Robotics 数学基础 2 1 位置和姿态的表示 这些旋转变换可以通过右图推导 这是绕Z轴的旋转 其它两轴只要把坐标次序调换可得 上页结果 Robotics 数学基础 2 1 位置和姿态的表示 旋转矩阵的几何意义 1 可以表示固定于刚体上的坐标系 B 对参考坐标 系的姿态矩阵 2 可作为坐标变换矩阵 它使得坐标系 B 中的点的 坐标 变换成 A 中点的坐标 3 可作为算子 将 B 中的矢量或物体变换到 A 中 Robotics 数学基础 2 1 位置和姿态的表示
3、3 位姿描述 刚体位姿 即位置和姿态 用刚体的方位矩阵和 方位参考坐标的原点位置矢量表示 即 Robotics 数学基础 2 2 坐标变换 1 平移坐标变换 2 坐标系 A 和 B 具有相同的方位 但原点不重合 则点P 在两个坐标系中的位 置矢量满足下式 Robotics 数学基础 2 2 坐标变换 2 旋转变换 坐标系 A 和 B 有 相同的原点但方位不同 则点P的在两个坐标系 中的位置矢量有如下关 系 Robotics 数学基础 2 2 坐标变换 3 复合变换 一般情况原点既 不重和 方位也不同 这时有 2 13 Robotics 数学基础 2 2 坐标变换 例2 1 已知坐标系 B 的初
4、始位姿与 A 重合 首先 B 相对于 A 的ZA轴转30 再沿 A 的XA轴移动12单位 并沿 A 的YA轴移动6单位 求位置矢量APB0和旋转矩阵 BAR 设点p在 B 坐标系中的位置为BP 3 7 0 求它在 坐标系 A 中的位置 Robotics 数学基础 2 3 齐次坐标变换 1 齐次变换 2 13 式可以写为 2 14 P点在 A 和 B 中的位置矢量分别增广为 而齐次变换公式和变换矩阵变为 2 15 16 Robotics 数学基础 2 3 齐次坐标变换 2 平移齐次坐标变换 A 分别沿 B 的X Y Z坐标轴平移a b c距离 的平移齐次变换矩阵写为 用非零常数乘以变换矩阵的每个
5、元素 不改变特性 例2 3 求矢量2i 3j 2k被矢量4i 3j 7k平移得到的新 矢量 Robotics 数学基础 2 3 齐次坐标变换 3 旋转齐次坐标变换 将上式增广为齐次式 Robotics 数学基础 2 3 齐次坐标变换 引入齐次变换后 连续的变换可以变成 矩阵的连乘形式 计 算简化 例2 4 U 7i 3j 2k 绕 Z轴转90度后 再绕Y 轴转90度 例2 5 在上述基础上再 平移 4 3 7 Robotics 数学基础 2 3 齐次坐标变换 由矩阵乘法没有交 换性 可知变换次序对 结果影响很大 Robotics 数学基础 2 4 物体的变换及 逆变换 1 物体位置描述 物体可
6、以由固定于 其自身坐标系上的若干 特征点描述 物体的变 换也可通过这些特征点 的变换获得 Robotics 数学基础 2 4 物体的变换及逆变换 1 物体位置描述 Robotics 数学基础 2 4 物体的变换及逆变换 2 齐次坐标的复合变换 B 相对于 A ABT C 相对于 B BCT 则 C 相对于 A Robotics 数学基础 2 4 物体的变换及逆变换 3 齐次坐标的逆变换 B 相对于 A ABT A 相对于 B BAT 两者互为逆矩阵 求逆的办法 1 直接求ABT 1 2 简化方法 Robotics 数学基础 2 4 物体的变换及逆变换 3 齐次坐标的逆变换 一般 若 则 Rob
7、otics 数学基础 2 4 物体的变换 及逆变换 3 变换方程初步 B 基坐标系 T 工具坐标系 S 工作台坐标系 G 目标坐标系 或工件坐标系 满足方程 Robotics 数学基础 习题 P43 题2 3 P44 题2 9 Robotics 数学基础 2 5 通用旋转变换 1 通用旋转变换公式 求 绕从原点出发的f旋转 角 时的旋转矩阵 S 物体上固接的坐标系 T 参考坐标系 C Z轴与f重合的辅助坐标系 xT YT ZT T C S zS f Zc O Robotics 数学基础 2 5 通用旋转变换 在 S 上取一点p 其坐标为向量 P 它绕 T 中直线f旋 转 角 1 将 S 上p点
8、坐标变换到 T 中 其坐标为 2 直接计算绕f旋转的坐标为 目前上式在 T 无法直接求 采取如下步骤 3 建立辅助坐标系 C 使其Z轴与f重合 这样问题 变为绕ZC旋转 将 S 中的点p变换到 C 中 变换 为 4 在 C 中绕Z轴旋转有 5 将 C 中坐标变换回 T 中有 Robotics 数学基础 2 5 通用旋转变换 步骤2 和5 中的结果应该相同 即 由于 C 的Z轴与f重合 所以 Robotics 数学基础 2 5 通用旋转变换 根据坐标轴的正交性 有 令 则 Robotics 数学基础 2 5 通用旋转变换 2 等效转角与转轴 给出任一旋转变换 能够由上式求得进行等效旋转 角 的转
9、轴 已知旋转变换R 令R Rot f 即有 将上式对角线元素相加 并简化得 Robotics 数学基础 2 5 通用旋转变换 非对角元素成对相减 有 平方后有 设 Robotics 数学基础 2 5 通用旋转变换 例2 7 一坐标系 B 与参考系重合 现将其绕通过原点 的轴 转30 求转动后的 B 以 代入算式 有 Robotics 数学基础 2 5 通用旋转变换 一般情况 若f不通过原点 而过q点 qx qy qz 则齐次 变换矩阵为 其中 Robotics 数学基础 2 5 通用旋转变换 例2 8 一坐标系 B 与参考系重合 现将其绕通过 q 1 2 3 T的轴 转30 求转动 后的 B
10、以 代入算式 有 Robotics 数学基础 Matlab使用与矩阵计算 Matlab是美国Mathworks公司推出的数值 计算软件 在数值计算及科学研究中 是其 它语言无法相比的 其主要特点有 1 语言简洁紧凑 使用方便灵活 库含数极其丰富 2 具有非常多的矩阵函数 矩阵计算异常方便 3 具有多种功能的工具包 4 具有与FORTRAN C等同样多的运算符和结构控制指令的同 时 语法限制却不严格 使程序设计很自由 5 图形功能强大 数据可视化好 6 原程序和库函数代码公开 但 程序执行效率较低 本节主要介绍其矩阵计算在机器人分析中的应用 Robotics 数学基础 Matlab使用与矩阵计算
11、 矩阵的输入 1 矩阵的直接输入 操作 以 作为首尾 行分隔用 元素分隔用 或空格 2 矩阵编辑器 操作 先在工作区定义矩阵 用编辑器修改矩阵 3 用函数创建矩阵 如 操作 zeros m n 零矩阵 ones m n 全部元素都为1的矩阵 eye m n 单位阵 randn m n 正态分布的随机矩阵 vander A 由矩阵A产生的Vandermonde矩阵 Robotics 数学基础 Matlab使用与矩阵计算 矩阵的计算 操作 1 加减 2 转置 3 乘法 4 除法与线性方程组 5 逆 6 幂和指数 Robotics 数学基础 Matlab使用与矩阵计算 例 计算 Robotics 数
12、学基础 习题 2 3 坐标系 B 初始与 A 重合 让 B 绕ZB旋转 角 然后再 绕XB转 角 求把BP变为AP的旋转矩阵 Robotics 数学基础 习题 2 3变化 坐标系 B 初始与 A 重合 让 B 绕ZB旋转 角 然后再 绕XA转 角 求把BP变为AP的旋转矩阵 Robotics 数学基础 习题 2 3变化 坐标系 B 初始与 A 重合 让 B 绕ZB旋转 角 然后再 绕XA转 角 求把BP变为AP的旋转矩阵 Robotics 数学基础 习题 2 9将图 a 变换到 b Robotics 数学基础 习题 2 9 解一 Robotics 数学基础 习题 2 9 解一 Robotics 数学基础 习题 2 9 解一 Robotics 数学基础 习题 2 9 解一 Robotics 数学基础 习题 2 9 解一 Robotics 数学基础 习题 2 9 解一 Robotics 数学基础 习题 2 9 解二 Robotics 数学基础 习题 2 9 解二 Robotics 数学基础 习题 2 9 解二 Robotics 数学基础 习题 2 9 解三 Robotics 数学基础 习题 2 9 解三 Robotics 数学基础 习题 2 9 解三 此课件下载可自行编辑修改 此课件供参考 部分内容来源于网络 如有侵权请与我联系删除
