《数学新学案同步必修四人教A全国通用课件：第二章 平行向量2.2.3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新学案同步必修四人教A全国通用课件：第二章 平行向量2.2.3（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 2 3 向量数乘运算及其几何意义 第二章 2 2 平面向量的线性运算 学习目标 1 了解向量数乘的概念 并理解这种运算的几何意义 2 理解并掌握向量数乘的运算律 会运用向量数乘运算律进行向 量运算 3 理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法 并能熟练地运用 这些知识处理有关共线向量问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 向量数乘的定义 思考1 实数与向量相乘结果是实数还是向量 答案 向量 思考2 向量3a 3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系 答案 3a的长度是a的长度的3倍 它的方向与向量a的方向相同 3a的长度是a的长度的3倍 它的方向与向量a的方向相反
2、思考3 a的几何意义是什么 答案 a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩 当 1时 表示a的有向线段在原方向 0 或反方向 0 上伸长为 原来的 倍 梳理 向量数乘运算 实数 与向量a的积是一个 这种运算叫做向量的 记作 其长度与方向规定如下 1 a 特别地 当 0或a 0时 0a 或 0 向量数乘 a 00 a 2 a a 0 的方向 当 时 与a方向相同 当 时 与a方向相反 0 0 知识点二 向量数乘的运算律 思考 类比实数的运算律 向量数乘有怎样的运算律 答案 结合律 分配律 梳理 向量数乘运算律 1 a a 2 a a a 3 a b a b 知识点三 向量共线定理 思考1
3、 若b 2a b与a共线吗 答案 根据共线向量及向量数乘的意义可知 b与a共线 如果有一个实数 使b a a 0 那么b与a是共线向量 反之 如果 b与a a 0 是共线向量 那么有且只有一个实数 使得b a 思考2 若b与非零向量a共线 是否存在 满足b a 若b与向量a共线呢 答案 若b与非零向量a共线 存在 满足b a 若b与向量a共线 当a 0 b 0时 不存在 满足b a 梳理 1 向量共线定理 向量a a 0 与b共线 当且仅当有唯一一个实数 使 2 向量的线性运算 向量的 运算统称为向量的线性运算 对于任意向量a b 以及任意实数 1 2 恒有 1a 2b b a 加减数乘 1a
4、 2b 思考辨析 判断正误 1 若向量b与a共线 则存在唯一的实数 使b a 答案提示 提示 当b 0 a 0时 实数 不唯一 2 若b a 则a与b共线 提示 由向量共线定理可知其正确 3 若 a 0 则a 0 提示 若 a 0 则a 0或 0 题型探究 类型一 向量的线性运算 9a 答案解析 2 若3 x a 2 x 2a 4 x a b 0 则x 4b 3a 解析 由已知得3x 3a 2x 4a 4x 4a 4b 0 所以x 3a 4b 0 所以x 4b 3a 反思与感悟 向量线性运算的基本方法 1 类比法 向量的数乘运算类似于代数多项式的运算 例如 实数运 算中的去括号 移项 合并同类
5、项 提取公因式等变形手段在数与向 量的乘积中同样适用 但是这里的 同类项 公因式 是指向量 实数看作是向量的系数 2 方程法 向量也可以通过列方程来解 把所求向量当作未知数 利 用解方程的方法求解 同时在运算过程中多注意观察 恰当的运用运 算律 简化运算 跟踪训练1 计算 a b 3 a b 8a 解答 解 a b 3 a b 8a a 3a b 3b 8a 2a 4b 8a 10a 4b 类型二 向量共线的判定及应用 命题角度1 判定向量共线或三点共线 例2 已知非零向量e1 e2不共线 解答 解 b 6a a与b共线 证明 A B D三点共线 反思与感悟 1 向量共线的判断 证明 是把两向
6、量用共同的已知向量来 表示 进而互相表示 从而判断共线 2 利用向量共线定理证明三点共线 一般先任取两点构造向量 从而将 问题转化为证明两向量共线 需注意的是 在证明三点共线时 不但要 利用b a a 0 还要说明向量a b有公共点 答案解析 A B D A B D三点共线 命题角度2 利用向量共线求参数值 例3 已知非零向量e1 e2不共线 欲使ke1 e2和e1 ke2共线 试确定k 的值 解答 解 ke1 e2与e1 ke2共线 存在实数 使ke1 e2 e1 ke2 则 k e1 k 1 e2 k 1 反思与感悟 利用向量共线定理 即b与a a 0 共线 b a 既可以证 明点共线或线
7、共线问题 也可以根据共线求参数的值 跟踪训练3 设两个不共线的向量e1 e2 若a 2e1 3e2 b 2e1 3e2 c 2e1 9e2 问是否存在实数 使d a b与c共线 解答 解 d 2e1 3e2 2e1 3e2 2 2 e1 3 3 e2 要使d与c共线 则存在实数k 使得d kc 即 2 2 e1 3 3 e2 2ke1 9ke2 因为e1与e2不共线 故存在实数 和 使得d与c共线 此时 2 类型三 用已知向量表示其他向量 答案 解析 解析 示意图如图所示 解答 达标检测 1 下列各式计算正确的有 1 7 6a 42a 2 7 a b 8b 7a 15b 3 a 2b a 2b
8、 2a 4 4 2a b 8a 4b A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案 1234 解析 5 解析 1 3 4 正确 2 错 7 a b 8b 7a 7b 8b 7a b 1234 答案解析 5 3 设e1 e2是两个不共线的向量 若向量m e1 ke2 k R 与向量n e2 2e1共线 则 A k 0 B k 1 C k 2 D k 答案 1234 解析 5 n 2m 此时 m n共线 答案解析 1234 5 解答 12345 规律与方法 1 实数与向量可以进行数乘运算 但不能进行加减运算 例如 a a是没有意义的 3 向量共线定理是证明三点共线的重要工具 即三点共线问题通常转化 为向量共线问题
