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1、几何（1）：设D是的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N。如果DE=DF，求证：DM=DN几何（2）设点D为等腰的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E。求证：几何（3）：如图所示，在ABC中，是边CA上的两点，连接BD，BG . 过点A，G分别作BD的垂线，垂足分别为E，F，连接CF. 若BEEF，求证：.几何（4）：如图，在中, 的内切圆分别切边于点,直线分别与直线相交于点, 证明：几何（5）：在ABC中，BCAB，BD平分交AC于D，如图，CP垂直BD，
2、垂足为P，AQ垂直BP，Q为垂足。M是AC中点，E是BC中点。若PQM的外接圆O与AC的另一个交点为H，求证: O、H、E、M四点共圆。几何（6）：如图，的内切圆I分别切BC、AC于点M、N，点E、F分别为边AB、AC的中点，D是直线EF与BI的交点。证明：M、N、D三点共线。几何（7）已知、分别是的外接圆和内切圆；证明：过上的任意一点，都可以作一个三角形，使得、分别是的外接圆和内切圆几何（8）如图，过的外心任作一直线，分别交边于，分别是的中点.证明：.几何（9）：设是的三条角平分线，自作，分别在上，直线；类似得到点证明：三点共线几何（10）:一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A，且
3、OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A刚好与点A重合这样的每一种折法，都留下一条折痕当A取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合几何（1）：设D是的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N。如果DE=DF，求证：DM=DN证明：对和直线BEP用梅涅劳斯定理得：，对和直线NCP用梅涅劳斯定理得：，对和直线BDC用梅涅劳斯定理得：（1）（2）（3）式相乘得：，又DE=DF，所以有，所以DM=DN。几何（2）设点D为等腰的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E。求
4、证：设AF的延长线交于K，因此。于是要证（1），只需证明：又注意到。我们有进一步有因此要证（2），只需证明而（3）事实上由知（4）成立，得证。几何（3）：如图所示，在ABC中，是边CA上的两点，连接BD，BG . 过点A，G分别作BD的垂线，垂足分别为E，F，连接CF. 若BEEF，求证：.证：作的外接圆w，延长BD、AE分别交w于K、J. 连接BJ、CJ、KJ、FJ. 易知，故BJKC.于是四边形BJCK是等腰梯形，又AJ垂直平分BF，故BJFJ，故四边形FJCK是平行四边形.设AE与BG的交点为M，FC与JK的交点为N，则M、N分别是BG和FC的中点，于是又 ，于是 ，所以 .几何（4）：
5、如图，在中, 的内切圆分别切边于点,直线分别与直线相交于点, 证明：证法一：分别连接,则四点共圆.所以,从而,又,所以.又 ,得.所以.又由 ,得 ,所以 , 从而.同理，所以四点共圆，由此 ，所以.证法二：因为，又因为，所以四点共圆，因此.同理，所以四点共圆. 又 ，所以.几何（5）：在ABC中，BCAB，BD平分交AC于D，如图，CP垂直BD，垂足为P，AQ垂直BP，Q为垂足。M是AC中点，E是BC中点。若PQM的外接圆O与AC的另一个交点为H，求证: O、H、E、M四点共圆。作AQ延长线交BC于N，则Q为AN中点，又M为AC中点，故QM/BC。所以。同理，。所以QM= PM。又因为Q、H
6、、P、M共圆，所以，故。所以P、H、B、C四点共圆，故。结合OH=OM，知OE为HP中垂线，易知，所以O、H、E、M四点共圆。几何（6）：如图，的内切圆I分别切BC、AC于点M、N，点E、F分别为边AB、AC的中点，D是直线EF与BI的交点。证明：M、N、D三点共线。连接AD，则易知。连接AI、DM，DM与AC交于点G。因为，所以，故，从而连接IG、IC、IM，则所以I、M、C、G四点共圆，从而，因此G与N重合，即M、N、D三点共线。几何（7）已知、分别是的外接圆和内切圆；证明：过上的任意一点，都可以作一个三角形，使得、分别是的外接圆和内切圆证：如图，设，分别是的外接圆和内切圆半径，延长交于，
7、则，延长交于；则，即；过分别作的切线，在上，连，则平分，只要证，也与相切；设，则是的中点，连，则，所以，由于在角的平分线上，因此点是的内心，（这是由于，而，所以，点是的内心）即弦与相切几何（8）如图，过的外心任作一直线，分别交边于，分别是的中点.证明：.先证引理：如图，过的直径上的两点分别作弦，连，分别交于，若，则. 引理证明：设，直线分别截，据梅涅劳斯定理，；则 而由相交弦，得 若的半径为，则 ，据得，即.因此.引理得证.回到本题，如下图（两图都适用），延长得直径，在直径上取点，使，设，连交于，由引理，（右图中则是）因此，是的中点，故分别是及的中位线，于是得. 几何（9）：设是的三条角平分线
8、，自作，分别在上，直线；类似得到点证明：三点共线证明：据梅尼劳斯逆定理，只要证， 由于直线截，得，所以 ；同理有 ， 由，得 又由，得 据、得；同理可得， 由于的三条角平分线共点，由塞瓦定理， ，于是由、得，即成立，因此结论得证几何（10）:一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A刚好与点A重合这样的每一种折法，都留下一条折痕当A取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合解：对于O上任意一点A，连AA，作AA的垂直平分线MN，连OA交MN于点P显然OP+PA=OA=R由于点A在O内，故OA=aa)为长轴的椭圆C而MN上任一异于P的点Q，都有OQ+QA=OQ+QAOA故点Q在椭圆C外即折痕上所有的点都在椭圆C上及C外反之，对于椭圆C上或外的一点S，以S为圆心，SA为半径作圆，交O于A，则S在AA的垂直平分线上，从而S在某条折痕上最后证明所作S与O必相交1 当S在O外时，由于A在O内，故S与O必相交；2 当S在O内时(例如在O内，但在椭圆C外或其上的点S)，取过S的半径OD，则由点S在椭圆C外，故OS+SAR(椭圆的长轴)即SASD于是D在S内或上，即S与O必有交点于是上述证明成立综上可知，折痕上的点的集合为椭圆C上及C外的所有点的集合
