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1、高中数学内容网络化之四: 三角函数一、考试内容和要求：.考试内容：角的概念的推广；弧度制；任意角的三角函数；单位圆中的三角函数线；同角三角函数的基本关系式；正弦、余弦的诱导公式；两角和与差的正弦、余弦、正切；二倍角的正弦、余弦、正切；正弦函数、余弦函数的图像和性质；周期函数、函数的奇偶性；函数y=Asin(x+)的图像；正切函数的图像和性质；已知三角函数值求角；正弦定理、余弦定理、斜三角形解法举例。考试要求：(1)理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式：sin2+cos2=1
2、,sin/cos=tan,tancot=1；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义；了解奇函数、偶函数的意义.(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.(4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式的证明.(5)了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用五点法画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解A、的物理意义.(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示.(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问
3、题.二、基础知识1 任意角的三角函数（） 弧度与角度互换：1（rad）57.30=5718；10.01745（rad）弧长公式：. 扇形面积公式：（）任意角的三角函数的定义：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y），点P与原点的距离为r，则； ； ； ； ；. .（）三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）（）单位圆中的三角函数线 正弦线：sinMP; 余弦线：cosOM; 正切线：tanAT.同角三角函数关系式. 诱导公式：公式组二f()=f()或f()（纵变横不变，符号看象限）.两角和与差的三角函数.二倍角公式：公式组三 公式组四 （半角公式，了解） 5.重要
4、结论：； .asinbcossin（）cos（1），sincos4tancotcsctancot2ctg2 (sincos)21sin2. . ,7.三角函数的图象和性质：（1）.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：（A、0）定义域RRR值域R周期性 奇偶性奇函数偶函数奇函数当非奇非偶当奇函数单调性上为增函数；上为减函数（）；上为增函数上为减函数（）上为增函数（）上为增函数；上为减函数（）（2）注意：与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）.与的周期是.或（）的周期.的周期为2（，如图，翻折无效）. 的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程
5、是（），对称中心（）；的对称中心（）.当；.与是同一函数,而是偶函数，则.8、形如的函数：（1）几个物理量：A振幅；频率（周期的倒数）；相位；初相；（2）函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，（3）函数图象的画法：“五点法”设，令0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。（4）函数的图象与图象间的关系：若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位，如（1）函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象？（答：向上平移1个单位得的图象，再向左平移个单位得的图象，横坐标扩大到原来的2倍得的图象，最后将纵坐标缩小到原来的即得的图象）
6、；(2) 要得到函数的图象，只需把函数的图象向_平移_个单位（答：左；）；（3）将函数图像，按向量平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量）；（4）若函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点，则的取值范围是（答：）（5）研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的，但在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。9、正切函数的图象和性质：（1）定义域：。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？（2）周期性：是周期函数且周期是，它与直线的两个相邻交点之间的距离是一个周期。
7、绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变；（3）正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。10. 三角形中的有关公式： (1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的
8、平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理：正弦定理的一些变式：；例：已知球的体积为36，球面上三个点满足，则球心到平面ABC距离是(3)余弦定理：等，常选用余弦定理判定三角形的形状. (4)面积公式：（其中为三角形内切圆半径）. 注意：在中，AB是成立的_条件（答：充要）；在中，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是_（答：）；已知点O为ABC所在平面内一定点，点P 满足，当在0，+变化时，动点P的轨迹一定通过ABC的（ ）A.外心 B垂心 C内心 D重心在锐角ABC中，若C=2B，则的范围是（ ） A、（0，2） B、 C、 D、11.反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：表示
9、一个角，这个角的正弦值为,且这个角在内。(2)反正弦、反余弦、反正切的取值范围分别是.12求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。（三）三角变换公式的使用特点1. 三角变换：三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决使用这组公式进行变形时，经常把“
10、切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法2.几个常用关系式sin+cos，sin-cos，sincos；(三式之间可以互相表示)同理可以由sin-cos或sincos推出其余两式 当时，有熟记关系式；3两角和与差的三角函数(1)公式不但要会正用，还要会逆用 (2)公式的变形应用要熟悉如tan+tan=tan(+)(1-tantan)，它体现了两个角正切的和与积的关系(3)角的变换要能灵活应用，如=(+)-，=-(-)，2=(+)+(-)等4倍角公式，半角公式(2)使用二倍角的正弦、余弦公式时，公式的选择要准确如已知sin，cos，tan求cos2时，应分别选择cos2=1
11、(3)余弦的二倍角公式的变形升幂公式、降幂公式必须熟练掌握要明确，降幂法是三角变换中非常重要的变形方法5和差化积、积化和差公式，不要求记忆(1)要明确，这两组公式是解决正、余弦的加、减、乘的运算关系式(3)对下列关系式要熟记：6三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点(1)角的变换因为在ABC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理r为三角形内切圆半径，p为周长之半(3)在ABC中，熟记并会证明：A，B，C成等差数列
12、的充分必要条件是B=60ABC是正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列8直角三角形中各元素间的关系：如图，在ABC中，C90，ABc，ACb，BCa（1）三边之间的关系：a2b2c2（勾股定理）（2）锐角之间的关系：AB90；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinAcosB，cosAsinB，tgActgB，ctgAtgB9斜三角形中各元素间的关系:如图6-29，在ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边（1）三角形内角和：ABC（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.（R为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一
13、边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2b2c22bccosA，b2c2a22cacosB，c2a2b22abcosC（四）思想方法1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），=等。（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。（5）引入辅助角。asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。2.证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名、化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4.解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联
