【精编】金融市场中的维纳过程及小事件概率培训课件

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1、第七章金融市场中的维纳过程和小概率事件第一节随机环境中的微分第二节两个一般模型第三节罕见和正常事件的描述第四节小概率事件的模型设一资产价格为时间上随机变量第一节随机环境中的微分则在给定的时间段上资产价格的变化是随机的其随机微分形式为首页先构建离散时间的随机微分等式分成长度为 h 的 n 等份则在这些有限间隔内价格的观察值和增量为一随机微分的构建首页其中表示在间隔结束时的可得信息的情况下完全不可知反映在第k 个间隔内资产价格的真实变化表示在间隔结束时的可得信息的期望条件反映在给出信息集情况下市场参与者的预期则是中的一部分

2、称为革新项革新项具有特征 1 在间隔结束时未知而在间隔 k 结束时可观察到即知道信息就能说出其确切值且首页表示在鞅过程中的变化称作鞅微分 2 在给出时刻的信息集的情况下其值是不可测的 3 即对于所有的k 记累加的误差过程原因是首页对于一个金融市场参与者来说其在资产价格中的重要信息是这些不可测的信息连续发生并且能被在线观察到因此资产价格的在线运动就由控制说明二递增误差的大小革新项表示一个不可测的变化其平方项是不可忽略的这与传统微分不同设的方差为即累积误差的方差且之间不相关以及干扰项的期望是0 首页假设1 默顿

3、方法注此假设对证券价格的可变性附加了一个下限即当间隔被分成越来越小的子间隔累积误差的方差是正的也就是越来越频繁的观察证券价格不会消除所有的风险即资产价格具有不确定性假设2 注这个假设对累积误差的方差附加了一个上限当时间段被分成越来越小的间隔更频繁的交易是允许的这样的交易对系统不会带来非限制的不稳定性首页在假设1 2 3的前提下的方差与h有关假设3 注假设表明金融市场的不确定性在一些特殊的阶段是不集中的无论市场什么时候开始至少会存在一些可变性即说明在金融市场上可预测不确定性定理1 其中是一个有限的定数它并不取决于h而取决于时刻的信息

4、首页证明由假设3 在所有的间隔上对两边同时求和由假设2 即又因则故得出有取决于h的上限首页由假设1 得即再假设3 得故得出有取决于h的下限因此这意味着能找到一个取决于k的定数使与h成比例即可表为首页其中在间隔开始给出信息的情况下是不可测的设是任意一个的随机过程定理可以引申为其相应的期望存在则在有限的间隔 t 内有三随机微分等式为构建时间连续的随机微分等式对上式右边第一项进行估计是一个资产价格变化的预期其变化的大小取决于最近的信息集和所考虑的时间间隔的长度首页它可写成如果时间就会跳过并且在资产价格的预测变化就是0 即

5、同普通微分一样处理随机微分等式时余项可忽略不计即故首页其中是漂移项扩散项从而有令得即为随机微分等式返回首页第二节两个一般模型一维纳过程在连续时间下正常事件可用维纳过程或布朗运动来建模一讨论维纳过程的方法 1设一个随机变量且则当有弱收敛于一个维纳过程首页设为一具有有限方差的连续过程说明维纳过程是在概率意义下对独立同分布的随机变量的总和求极限得到的而这些增量的可能出现的结果当时会变得越来越小可知维纳过程服从高斯正态分布把维纳过程视为一个连续的平方可积鞅来进行分析2 且在给定信息集下具有不可预测的增量即是一维

6、纳过程首页二利用鞅来定义维纳过程 1 定义1 2 则称是一维纳过程首页对于具有不可预测的增量和随时间连续运动的资产价格维纳过程是一个很好的描述模型定义2 若满足即则称为布朗运动首页注维纳过程假定是一个平方可积鞅没有提到的分布问题而布朗运动假定服从正态分布但这两个过程没有差异这可由著名的Levy定理来说明定理1 在信息集下的任何维纳过程都是布朗运动过程三维纳过程特征补充内容特征1在很小的时间间隔内维纳过程的变化增量为其中表示从标准正态分布中的一种随机抽取或首页特征2 特征3维纳过程是连续的任意两个不同时间区间内的值都是相

7、互独立的因是鞅而鞅具有不可预测的增量在无穷小的间隔内的变化也是无穷小的意味着维纳过程是遵循马尔可夫过程注期望是正态分布且方差标准差首页注2 期望在一段较长时间T内维纳过程服从的正态分布且有方差标准差例1假设某资产的价值变化遵循维纳过程其初始值为25 估算的时间为一年在一年结束时若资产价值按正态分布其期望值为25 标准差为1 那么在两年期结束时资产价值依然是期望值为25 但标准差是即在未来某一时间时间间隔T 资产价值的期望值等于现值不确定性由标准差估算首页表示附加到S轨迹上的噪声或波动率且这些噪声或波动率的值为维纳过

8、程的b倍表示S变量在单位时间的漂移率期望值为a 四一般化的维纳过程补充内容基本维纳过程讨论的变量是漂移率为零方差率为1的过程下面将维纳过程推广到任意的变量S 则它的定义可以由表示为 a和b是常数其中若在小的时间间隔则S的变化可表示为其中表示从标准正态分布中的一种随机抽取首页具有正态分布且同样若在任意时间间隔T后则S的变化具有正态分布且期望方差标准差期望方差标准差首页因此一般化的维纳过程描述的是的漂移率单位时间的平均漂移为a 方差率单位时间的方差为的正态分布这就是说若零时刻变量的值是S 则在T时刻它变为均值为标准差为

9、的正态分布例2 假定某公司的现金头寸以千美元计算遵循一般性维纳过程每年的漂移率为20 每年的方差为900 若最初的现金头寸为50 则在六个月月末的现金头寸将具有均值为60 方差为450 的正态分布在第一年末将具有均值为70 方差为900 的正态分布首页五伊托过程补充内容若一般化的维纳过程中的参数a和b 分别是基础变量S和时间 t 的函数即有则称它为伊托过程伊托过程也是一种推广的维纳过程它的漂移率和方差率是随着时间的变化而变化在研究基础资产价格的变化时我们通常用伊托过程来描述如在研究不支付股息的股票时其价格的变化特征可用下式表示首页即瞬态漂移

10、率和瞬态方差率都按股票价格的比例变化这就是最为广泛的描述股价变化的模型有时称为几何布朗运动模型此模型的离散时间形式为其中表示股票价格S在很小的时间区间中的变化表示从标准正态分布中的一种随机抽取参数为单位时间内股票的预期收益率参数为股票价格的波动率且这两个参数都为常数首页例3 考虑一种无红利支付的股票每年的漂移率为30 预期收益率为15 以连续复利计即或设时间间隔长度为1周或0 0192年股票价格的初始值为100美元即则即表示股票价格的增加是均值为0 288美元标准差为4 16美元的正态分布的随机抽样值则股票价格的过程为首页二

11、泊松过程考虑一种与正常事件明显不同的随机环境即在一段时间内一个金融市场所发生的极端事件的总次数且这些事件都是不可预测的设表示所发生的极端事件的总次数若只可能出现两种值或是等于0 意味着没有新的重大事件发生或是等于1 表示有重大事件发生即可表为首页则是泊松过程若令且泊松过程与维纳过程间的比较 1 轨迹不同 2 一次和二次量运动具有相同特征两个过程的增量方差都比例于小的时间间隔 h 注首页 3 泊松过程的轨线比维纳过程轨线更规则泊松过程在大部分时间内保持恒定尽管有离散的跳跃但在小的时间间隔出现跳跃的概率会趋于0 即它的方差有界因为维纳

12、过程虽显示出无穷小的变化且这些变化多的不可计量因此方差是无界的由此可知定义维纳过程的积分比定义泊松过程积分困难的多一般说泊松过程积分可用Riemann Stieltjes来定义维纳过程积分可用Ito积分来表示返回首页第三节罕见和正常事件的描述设只会出现一些固定的可能值假设4 其中注分为两种类型正常事件和小概率事件首页正常事件小概率事件假设对于标的资产是谷物期货的衍生品很明显由这些罕见事件引起的价格变化程度要比一个点大的多否则价格变化就是由正常事件所引起的首页在假设4下扩展这个结论据假设4 在假设1 3下证明了一个很重

13、要的结论这意味着首页由于总和与 h 成比例且每一数为非负数则总和中的每一项都与h成比例或等于0 即有从而因此可得但与观测间隔长度 h 无关首页事件大小和概率都与间隔长度 h有关当h 越来越大时所观测的价格变化尺度绝对值和概率也会越来越大除非等于0 说明1 当观测间隔越来越小时决定事件趋于0的速率说明2 两者可能消失但不可能同时消失从而有即意味着决定事件的概率趋于0的速率首页故这样只可能出现两种情况 1 2 第一种情况所引起的就是正常事件第二种情况对应的就是小概率事件注1 注2 所引起的也是正常事件首页 1 正常事件当则决定发

14、生结果的大小和概率函数分别为随着时间间隔h越来越小事件的大小也会越来越小而事件发生的概率与 h 无关因此即当观测间隔越来越小时发生结果的大小会很小且具有一个固定的概率这就是正常事件首页样本路径的特征 1 连续性当即一方面故所以另一方面当以上可看出正常事件可产生连续时间路径首页 2 不光滑性故在任何时间 t 是不可导即轨迹是不光滑的意味着从而得知资产价格变化是连续的却不规则首页 2 小概率事件当则决定发生结果的大小和概率函数分别为随着时间间隔h越来越小事件发生的概率也会越来越小且因此而事件的大小与 h 无关故是小概率事件

15、样本路径特征不连续性与 h无关因所以即轨迹是不连续的首页又因则出现跳跃的概率取决于 h 当h越来越小时跳跃出现的概率也会下降即这些跳跃不是会经常出现跳跃性 3 正常事件续则样本路径是连续的却不光滑同正常事件的维纳过程因故不是小概率事件注意但只要它们的大小会越来越小就不能称为小概率事件返回首页第四节小概率事件的模型维纳过程描述的随机微分方程在小时间间隔内不可预期的价格变化分布是正态分布而正态分布具有一个无穷扩展的尾巴当时间间隔越来越小尾巴并没有完全消失说明维纳过程所描述的价格变化也就越来越小几乎不变而小概率事件表示在

16、极短的间隔内价格运动能出现巨烈变动时显然再用维纳过程所描述就不合适因此需要加上一个可在极其短的时间间隔产生巨大变化的事件的干扰项即需要一个可产生跳跃的过程且这个过程所产生的结果要与 h无关这样该过程的路径才与小概率事件相符合首页一资产价格的小概率事件模型离散间隔随机微分等式价格变化分两部分第一部分为在给定信息下可预测的第二部分则是不可预测的连续时间随机微分形式正常事件维纳过程首页描述小概率事件也可采用此微分形式与维纳过程唯一不同点样本路径的连续性小概率事件的发生也是不可预测的且它的方差也比例于时间间隔 h 即第一部分相同因此只要对第二部分作一小的修改即可建立新模型的随机不可预测误差项由于小概率事件当时间间隔趋于0时概率可忽略但事件发生的大小并不是无穷小的因此新增项应该能代表资产价格变化中极少出现的跳跃更进一步说该模型应该能足够捕捉跳跃发生概率的任何潜在变化首页首先把误差项分为两部分其中表示由发生的正常事件引起的变化表示由发生的跳跃事件引起的变化其次精确说明则在时刻有令设资产价

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