《北师大数学选修1-2同步课件：第三章 2 数学证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大数学选修1-2同步课件：第三章 2 数学证明（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2 数学证明 第三章 推理与证明 1 理解演绎推理的意义 2 掌握演绎推理的基本模式 并能运用它们进行一些简单推理 3 了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系 学习目标 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 思考 分析下面几个推理 找出它们的共同点 1 所有的金属都能导电 铀是金属 所以铀能够导电 2 一切奇数都不能被2整除 2100 1 是奇数 所以 2100 1 不能被2整 除 答案 问题中的推理都是从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的 结论 我们把这种推理叫演绎推理 知识点一 演绎推理的含义 梳理 定义从一般性的原理出发 推出 的结论的推理 特点由 的推理 某个特殊情况
2、下 一般到特殊 思考 所有的金属都能导电 铜是金属 所以铜能导电 这个推理可以 分为几段 每一段分别是什么 答案 分为三段 大前提 所有的金属都能导电 小前提 铜是金属 结论 铜能导电 知识点二 三段论 梳理 一般模式常用格式 大前提 M是P 小前提 S是M 结论根据一般原理 对特殊情况做出的判断S是P 已知的一般原理 所研究的特殊情况 题型探究 类型一 演绎推理与三段论 解答 例1 将下列演绎推理写成三段论的形式 1 平行四边形的对角线互相平分 菱形是平行四边形 所以菱形的对角 线互相平分 解 平行四边形的对角线互相平分 大前提 菱形是平行四边形 小前提 菱形的对角线互相平分 结论 解答 2
3、 等腰三角形的两底角相等 A B是等腰三角形的两底角 则 A B 解 等腰三角形的两底角相等 大前提 A B是等腰三角形的两底角 小前提 A B 结论 解答 3 通项公式为an 2n 3的数列 an 为等差数列 解 在数列 an 中 如果当n 2时 an an 1为常数 则 an 为等差数 列 大前提 当通项公式为an 2n 3时 若n 2 则an an 1 2n 3 2 n 1 3 2 常数 小前提 通项公式为an 2n 3的数列 an 为等差数列 结论 反思与感悟 用三段论写推理过程时 关键是明确大 小前提 三段论 中的大前提提供了一个一般性的原理 小前提指出了一种特殊情况 两 个命题结合
4、起来 揭示了一般原理与特殊情况的内在联系 有时可省略小 前提 有时甚至也可把大前提与小前提都省略 在寻找大前提时 可找 一个使结论成立的充分条件作为大前提 跟踪训练1 1 推理 矩形是平行四边形 正方形是矩形 所以 正方形是平行四边形 中的小前提是 填序号 2 函数y 2x 5的图像是一条直线 用三段论表示为 大前提 小前提 结论 答案 一次函数y kx b k 0 的图像是一条直线 函数y 2x 5是一次函数 函数y 2x 5的图像是一条直线 类型二 三段论的应用 例2 如图 D E F分别是BC CA AB上的点 BFD A DE BA 求证 ED AF 写出三段论形式的演绎推理 证明 命
5、题角度1 用三段论证明几何问题 证明 因为同位角相等 两直线平行 大前提 BFD与 A是同位角 且 BFD A 小前提 所以FD AE 结论 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形 大前提 DE BA 且FD AE 小前提 所以四边形AFDE为平行四边形 结论 因为平行四边形的对边相等 大前提 ED和AF为平行四边形AFDE的对边 小前提 所以ED AF 结论 反思与感悟 1 用 三段论 证明命题的格式 2 用 三段论 证明命题的步骤 理清证明命题的一般思路 找出每一个结论得出的原因 把每个结论的推出过程用 三段论 表示出来 跟踪训练2 已知 在空间四边形ABCD中 点E F分别是AB AD
6、的中 点 如图所示 求证 EF 平面BCD 证明 证明 因为三角形的中位线平行于底边 大前提 点E F分别是AB AD的中点 小前提 所以EF BD 结论 若平面外一条直线平行于平面内一条直线 则直线与此平面平行 大前提 EF 平面BCD BD 平面BCD EF BD 小前提 所以EF 平面BCD 结论 例3 设函数f x 其中a为实数 若f x 的定义域为R 求实数 a的取值范围 解答 命题角度2 用三段论证明代数问题 解 若函数对任意实数恒有意义 则函数定义域为R 大前提 因为f x 的定义域为R 小前提 所以x2 ax a 0恒成立 结论 所以 a2 4a 0 所以0 a 4 即当0 a
7、 4时 f x 的定义域为R 引申探究 若例3的条件不变 求f x 的单调增区间 解答 令f x 0 得x 0或x 2 a 0 a 4 当0 a0 在 0 和 2 a 上 f x 0 f x 的单调增区间为 0 2 a 当a 2时 f x 0恒成立 f x 的单调增区间为 当2 a 4时 2 a0 f x 的单调增区间为 2 a 0 综上所述 当0 a 2时 f x 的单调增区间为 0 2 a 当a 2时 f x 的单调增区间为 当2 a1 证明 函数f x 在 1 上是增加的 证明 证明 方法一 定义法 任取x1 x2 1 且x10 且a 1 所以 而 1 x10 x2 1 0 所以f x2
8、 f x1 0 所以f x 在 1 上是增加的 方法二 导数法 又因为a 1 所以ln a 0 ax 0 所以axln a 0 所以f x 0 达标检测 1 下面几种推理过程是演绎推理的是 A 两条直线平行 同旁内角互补 如果 A与 B是两条平行直线的同 旁内角 则 A B 180 B 某校高三1班有55人 2班有54人 3班有52人 由此得高三所有班人 数超过50人 C 由平面三角形的性质 推测空间四边形的性质 12345 答案 解析 解析 A是演绎推理 B D是归纳推理 C是类比推理 12345 答案 2 因为对数函数y logax是增函数 大前提 又 是对数函数 小 前提 所以 是增函数
9、 结论 下列说法正确的是 A 大前提错误导致结论错误 B 小前提错误导致结论错误 C 推理形式错误导致结论错误 D 大前提和小前提都错误导致结论错误 解析 解析 y logax是增函数错误 故大前提错误 12345 答案 3 三段论 只有船准时起航 才能准时到达目的港 这艘船是准 时到达目的港的 这艘船是准时起航的 其中的 小前提 是 A B C D 12345 答案 4 把 函数y x2 x 1的图像是一条抛物线 恢复成三段论 则大前提 小前提 结论 二次函数的图像是一条抛物线 函数y x2 x 1是二次函 数 函数y x2 x 1的图像是一条抛物 线 12345 5 设m为实数 利用三段论
10、证明方程x2 2mx m 1 0有两个相异实根 证明 因为如果一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的判别式 b2 4ac 0 那么方程有两个相异实根 大前提 方程x2 2mx m 1 0的判别式 2m 2 4 m 1 4m2 4m 4 2m 1 2 3 0 小前提 所以方程x2 2mx m 1 0有两个相异实根 结论 证明 规律与方法 1 应用三段论解决问题时 应当首先明确什么是大前提和小前提 但为 了叙述的简洁 如果前提是显然的 则可以省略 2 合情推理是由部分到整体 由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的 推理 演绎推理是由一般到特殊的推理 3 合情推理与演绎推理是相辅相成的 数学结论 证明思路等的发现主 要靠合情推理 数学结论 猜想的正确性必须通过演绎推理来证明 本课结束
