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1、北京市东城区20202020学年度高三综合练习（二） 数 学 试 题2020.5本试卷分第I卷和第卷两部分，共150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，第小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知复数z=(a1)+i，若z是纯虚数，则实数a等于（ ）A2B1C0D12设集合，那么“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）Amn，
2、m n B，m，n mnCm，mn nDm，n，m，n4若曲线的一条切线l与直线x+4y8=0垂直，则切线l的方程为（ ）ABCD5已知函数两函数图象的交点个数为（ ）A4B3C2D16已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且AF2x轴，若，则双曲线的离心率等于（ ）A2B3CD7若函数是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是（ ）A（，2）B（，C（0，2）D8已知数列可能等于（ ）A14B15C16D17第II卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡相应位置的横线上.9命题“”的否定是 .10已知向量a=（1，1），ab=3，|
3、 a+b |=，则|a|= ，|b|= .11在直角坐标系xOy中，设集合，在区域内任取一点P（x，y），则满足的概率等于 .12已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，计算这个几何体的表面积是 .13执行如图所示的程序框图，输出的T= .14已知函数,有下列命题： 当的最小正周期是； 当的最大值为； 当的图象向左平移可以得到函数的图象 其中正确命题的序号是 （把你认为正确的命题的序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15（本小题满分13分） 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，
4、b，c，且0=2，cosB=. （1）若b=3，求sinA的值； （2）若ABC的面积=3，求b，c的值.16（本小题满分13分）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区问160，165，165，170，170，175，175，180，180，185分组，得到样本身高的频率分布直方图(如图). （1）求频率分布直方图中x的值及身高在170cm以上的学生人数； （2）将身高在170，175，175，180，180，185敬意内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层抽样的方法从这三个组中抽取6人，求从这三个组分别抽取的学生人数； （3）在（2）的条件下，要从6名学生中抽取2人，用
5、列举法计算B组中至少有1人被抽中的概率.17（本小题满分14分）如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点 （1）求证：ADPC； （2）求三棱锥APDE的体积； （3）AC边上是否存在一点M，使得PA平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由18（本小题满分13分） 已知等比数列an的公比q1，4是a1和a4的一个等比中项，a2和a3的等差中项为6，若数列bn满足bn=log2an(nN*). （1）求数列 an的通项公式； （2）求数列 an bn 的前n项和Sn19（本小题满分13分）已知椭圆的短轴长为2，且与抛物
6、线有共同的 焦点，椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线 AP，BP与直线y=3分别交于G，H两点 （1）求椭圆C的方程； （2）求线段GH的长度的最小值； （3）在线段GH的长度取得最小值时，椭圆C上是否存在一点T，使得TPA的面积为 1，若存在求出点T的坐标，若不存在，说明理由20（本小题满分14分）已知函数， （1）若函数，f(x)在其定义域上为增函数，求a的取值范围； （2）设，求证： 参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1B 2B 3A 4D 5C 6A 7B 8C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9 10 11
7、1211 1320 14 注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.三、解答题(本大题共6小题，共80分)15（本小题满分13分） 解：（1）因为，所以2分由正弦定理，得6分 （2）因为所以9分由余弦定理，得所以13分16（本小题满分13分）解：（1）由频率分布直方图可知所以3分（人）.5分 （2）A，B，C三组的人数分别为30人，20人，10人.因此应该从A，B，C组中每组各抽取（人），202（人），101（人）.8分 （3）在（2）的条件下，设A组的3位同学为A1，A2，A3，B组的2位同学为B1，B2，C组的1位同学为C1，则从6名学生中抽取2人有15种可能：其中B组的2
8、位学生至少有1人被抽中有9种可能；所以B组中至少有1人被抽中的概率为13分17（本小题满分14分） （1）证明：因为PD平面ABCD，所以PDAD.2分又因为ABCD是矩形，所以ADCD.3分因为PDCD=D，所以AD平面PCD.又因为PC平面PCD，所以ADPC.5分 （2）解：因为AD平面PCD，所以AD是三棱锥APDE的高.因为E为PC的中点，且PD=DC=4，所以7分又AD=2，所以9分 （2）解：取AC中点M，连结EM，DM，因为E为PC的中点，M是AC的中点，所以EMPA.又因为EM平面EDM，PA平面EDM.所以PA平面EDM.12分所以.即在AC边上存在一点M，使得PA平面ED
9、M，AM的长为.14分18（本小题满分13分）解：（1）因为是a1和a4的一个等比中项，所以由题意可得2分在为解得4分所以故数列的通项公式6分 （2）由于 得13分19（本小题满分13分）解：（1）由已知得，抛物线的焦点为由故椭圆C的方程为4分 （2）直线AP的斜率k显然存在，且k0，故可设直AP的方程为，从而由6分当且仅当时等号成立.所以时，线段GH的长度取最小值8.8分 （3）由（2）可知，当GH取最小值时，.则直线AP的方程为若椭圆C上存在点T，使得的面积等于1，则点T到直线AP的距离等于，所以T在平行于AP且与AP距离等于的直线l上.设直线则由10分可求得13分20（本小题满分14分）解：（1）函数3分因为上为单调增函数，所以上恒成立.即上恒成立.所以当且仅当时等号成立.所以.故关数a的取值范围是7分 （2）当所以上是增函数.所以所以所以即10分所以故所证不等式成立.14分
