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1、2015年余杭区教育学会论文初中数学学科一叶知秋 从一道中考题谈九年级数学教学策略【内容摘要】数学中考试题是对学生初中数学知识的权威检测，每年的中考试题都集合了出卷小组的集体智慧，因此对其特色试题的细究和剖析，不仅可以更好地了解和领悟中考试题的评价功能，还可以为九年级解题教学输送优质素材。本文以2015年杭州数学中考试卷第10题为源头出发，多向求解-剖析试题中蕴含的教学要求；从课本知识点、计算能力及数学解题策略三方面着手，再结合九年级教学实践过程中遇到的困惑及解决方法进行教学研究，寻求九年级数学教学策略谈谈个人想法。【关键词】中考题 数学教学 教学策略引言通过对历年的中考数学试题的分析可以发现
2、中考试题具有以下特点：强调基础知识、符合课标的要求，考查学生的四基能力，也考查学生分析与解决问题的能力。试题的设计体现出课标中基础知识，基本动手能力，鼓励学生分析领悟数学的基本数学方法，积累数学的活动经验。以中考试题分析反思我们的数学教学，如何在九年级提高学生对知识的理解，巩固运用能力，提升解题能力。现以2015年杭州中考卷第10题的分析为基础谈谈九年级数学教学策略。一、原题呈现（2015浙江杭州第10题）设二次函数的图象与一次函数的图象交于点，若函数的图象与x轴仅有一个交点，则（ ）A. B. C. D. 二、多向求解，剖析试题中蕴含的教学要求（一）纵观全题，取舍有道此题属于一次函数与二次函
3、数综合问题，纵观全题唯有“e”这个字母显得有些“格格不入”，凭借数学思维能力直觉性觉得应该用其它字母去表示它。再细读题目得到有用题干“一次函数的图象交于点”，稍加计算得：一次函数的图象经过点 当我们达成第一目标后，再读题目，得到解题突破口“函数的图象”，这是一个新的函数，是不同于二次函数与一次函数的另一个函数。这样我们就成功“舍去”字母“e”，得出新函数。（二）多向求解，剖析试题1、共同思路在替换掉未知字母，得出新函数后，我们的目标是利用题目仅存条件及已得新函数，得出选项中的字母关系式。细读条件“函数的图象与x轴仅有一个交点”，结合已得新函数整理得到此函数为y关于x的二次函数，转化已知条件，可
4、变为“二次函数与x轴仅有一个交点”。那么这个交点又是哪个点呢？似乎没有办法得到，那我们重读已用条件“二次函数的图象与一次函数的图象交于点”，既然的图象都过点，那么也过点，故此二次函数与x轴仅有的一个交点为。 2、解法一：从对称轴入手二次函数与x轴仅有一个交点，那么这个交点即为二次函数的顶点，其对称轴即为其顶点横坐标所在的与y轴平行的直线。即。这种解法的优点是计算比较简便，但要求曲线上点的坐标与方程的关系、抛物线的对称轴与函数系数之间的关系（函数的图象与x轴仅有一个交点，而这个交点就是顶点，顶点所在的与y轴平行的直线就是对称轴）有较深刻的理解。此法决胜关键还是在知识点的理解程度，故在初三教学中要
5、重视课本知识点理解培养。3、解法二：从根的判别式入手二次函数与x轴仅有一个交点，即有两个相等的解。根的判别式 得这种解法的优点是思路直接，特别是二次函数与x轴仅有一个交点即，大部分学生都能想到，而且整式化简大部分学生也比较熟悉，但是要求学生有比较好的计算功夫，心态平和才能完满地解答出来。故在初三教学中要重视学生计算能力的培养。4、解法三：从顶点坐标入手二次函数与x轴仅有一个交点，也就是这个方程有两个相等的实数根且都为，即。故令，得即这种解法的基础是清楚曲线上点的坐标与方程的关系，特别是与x轴仅有一个交点意味着顶点在x轴，而此时的交点式与顶点式合二为一。难点就是这个转化理解过程，很多学生能够将二
6、次函数的表达式转化为的形式，但无法将此交点式与这一顶点式画上等号，导致后面呼之欲出的答案成为泡影。故在初三教学中要重视数学解题策略的培养。三、教师教学实践：教学策略研究（一）重视课本知识点理解的培养在本中考题解法一中，学生若能很好地运用课本知识点，将二次函数顶点、与x轴交点、对称轴很好的进行知识串连，不难发现函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，而这个交点(x1,0)就是顶点，顶点所在的与y轴平行的直线x=x1就是对称轴。故笔者认为在初三教学过程中要重视对课本知识点理解的培养。（1）我的困惑：现在不如以前在教学实践中，老师们交流时往往会回忆自己读书的情境，那时候我们的数学老师只给我们布置
7、数学书上的题目，午休后上交，老师批改后就个别问题个别指导，回家作业就是作业本上的题目(即书本作业题的变式)。我们的数学基础掌握的较好，成绩也不错，老师偶尔会给我们来一两个难题，绝不夸张的说，全班都有兴趣去做，有的甚至连做梦的时候都想着把题目解出来。反观现在的学生，愿意主动做难题的同学不多，有的甚至对数学学习失去了信心，成为无法挽回的“痛”。（2）我的思考：想法与实践分离虽然大部分数学老师都已经意识到这一问题，但实际操作上却难以控制，如下教师交谈时的无奈：师1：“我今天的教学任务又没有完成，我把大本作业布置了，书上的题目只能浪费了。”师2：“我现在上课都不用课本例题了，直接拿大本作业上的题目做例
8、题，这样回家作业就可以布置另一套了，学生作业量就不会太大。”师3：“现在练习这么多，根本做不完，我书上的题目直接不做了。书上收不上来改，其他作业可以收上来看看学生的情况。”师4：“我新课上完了，这书也没用了，这套资料归纳的可好了，书上的都有，还把书上没有提到的知识都补充进去了。”教师苦于这么多的作业批改，学生困苦于的“辅导资料”要解决，疲惫不堪。学生缺乏了自我总结、归纳的过程，遇题无法进行适当分析，思源，找方法。（3）我的实践：以题归纳复习课阶段，我们是否可以给学生一个编辑过的综合性题目（较基础，且包含课本的所有内容），然后在学生完成后，最后让他们自主完成这一综合题的知识点的归纳、总结。以二次
9、函数复习题为例：例题呈现：已知二次函数yx22x3（1）把函数化为ya(xm)2k的形式，并指出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）该图象可以由怎样y=ax2的图象经过怎样的平移得到；（3）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象；（4）根据图象：x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小；（5）根据图象：x取何值时，函数y有最大值还是最小值？最大(小)值是多少；（6）根据图象：分别回答x取何值时，y0，y0，y0；（7）设函数图象与x轴的交点为A、B（xAxB），顶点为C，与y轴的交点为D，分别求ABC、ABD及四边形ABCD的面积；（8）在同一坐标系中画出一次函数yx
10、3的图象，根据图象：x取何值时，一次函数的值大于二次函数的值？学生做完讲评完以后，让学生归纳二次函数的知识点，这比先梳理知识点再去做配套题目效果来得好很多。如果每堂课都可以这样让学生自己去发现，去探究原因不仅给了学生大量的学习体验，也对学生该如何更好地学习数学进行了引导。久而久之，学生自然学会了如何去把知识点进行串连理解。（二）重视学生计算能力的培养本中考题解法二中，学生若能平心静气地进行字母运算，再利用根的判别式不难求得结果，而学生往往败在这繁琐的计算之上。笔者认为良好的运算习惯有助于得出正确规范的运算过程，能大幅度提升学生的运算能力。故在九年级数学教学中要重视学生计算能力的培养。（1）我的
11、困惑：每次都“败”在计算题上在教学过程中，有不少学生每次考试都“吃亏”在计算题上，他们的阅读理解能力非常强，能在较短的时间内读懂题目，结合已学知识点找到最佳方案解决问题，但往往在计算过程中败下阵来。在教学经验尚不足时，经常会认为是学生粗心导致的，嘱咐下次做题时认真仔细些，可这类学生还是会在每场考试或作业中犯着同样的“低级”错误。（2）我的思考：立足于常态运算教学在之前的印象中，运算教学隶属于初一，初一学好了计算，初二初三就是在它的基础上衍生；初一没学好的就学不好了；初一学得不错的就没有多大问题。其实不然，初三完全可以把很多初一初二不好的习惯改过来。那我们初三数学老师在这最后一年如何去培养学生良
12、好的运算习惯。我想应该是立足于常态运算教学，使其在长期训练里形成一种计算思路分析和过程书写的惯性。（3）我的实践：适时强调摹写在近期的“二次函数的图象”中，要将一般式y=2x2+4x+5转化为y=a(x+m)2+k的顶点式。有些运算相对熟练的同学就直接配方得到y=2(x+1)2+3但细究其过程，他会告诉你就这样算算的，没有过程而当我们将数字变复杂之后，这类同学就会吃大亏，当时我带着学生一起重复这一配方过程。【课堂实录】师：“首先”生：“提出2”板书y=2(x2+2x)+5师：“然后”生：“对x2+2x进行配方”板书y=2(x2+2x+1-1)+5师：“接下来呢？”生：“把-1从括号中移出来”板
13、书y=2(x2+2x+1)-2+5生：“最后写成顶点式”板书y=2(x+1)2+3然后，再出一题y=-3x2-5x+2师：“请你按照上述格式，将此二次函数一般式转化为顶点式”找两个平时运算时常出错的同学上台板演。再让同学们一起评一评他们两人的解题过程，为其指出不足之处。或许有的老师会觉得这样太浪费时间，都是学生掌握的知识点，这些在初二的时候已经全部教授给学生了。但个人认为常态教学时适时强调摹写，可有助于学生养成正确规范的运算过程，进而大幅度提升学生的运算能力。（三）重视数学解题策略的培养本中考题解法三中，学生若能拥有较强的解题策略，不难发现此时的顶点就是与x轴的两个相同的解，利用顶点式与交点式
14、的形式差异，顺利求得结果。笔者认为在九年级数学教学过程中，重视数学解题策略的培养变得刻不容缓。（1）我的困惑：直觉、推理如何兼顾早在几年前徐利治先生就指出：“数学直觉既是抽象思维的起点，又是抽象思维的归宿。通过抽象性思维，对数学对象的本质有所洞察、有所概括，这样就形成了更高层次的数学直觉数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”而推理又是学习数学的基本思维方式，更是人们生活中经常被使用的一种思维方式，甚至有学者提出“学习数学就是学习推理，推理能力的发展需贯穿在整个数学学习的过程中。”在数学教学中如何兼顾直觉及推理能力变得尤为重要。（2）我的思考：先肯定直觉，再培养推理在
15、我看来，数学直觉和推理能力都是可以通过训练来提高的，而训练的重要途径是数学解题。个人认为应该先让学生获得成功体验（研究表明成功可以培养人的自信，而直觉必须有强大的自信做奠基）例如图，点E是ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则E与A的关系。生1：“E=A”师：“你是怎么得出来的？”生1：“猜的”师：“你的数学直觉相当敏锐，请运用你已学的知识验证你的猜测。”在实际情境中教师的回答至关重要，如果在上面这个教学片断中，老师不肯定他的答案，而一味否决他的“猜”，是否会断送一个数学高手呢？教师除了带给学生成功体验，还应该让学生感受教师在解题时的直觉思维（研究表明，学生若没有见过他的老师运用直觉思维的方法，他们不会相信，更不会发展自己的直觉思维），而在解题教学课堂上，教师“有备而来”，课堂上几乎不会出现猜测，那就只能还原自己解题时的情境。（3）我的实践：直觉与推理相辅相成我们初三数学老师在现阶段又该做些什么去改变这些困苦。新课阶段，让学生自主动手操作，归纳总结，分析成因，以近期一节课“圆确定圆的条件”为例，过两个点可以画几个圆？【课堂实录】生1：“一个”（直觉）师：“
