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1、 5 1 5 1 极极 限限 定定 理理 1 若X1 X2 Xn 为随机变量 随着 n 的分 布将会如何 所谓 稳定性 粗略地说 也就是考察是否存在常 数a 使 从分析的角度讲 这两个问题一个是概率的极限问题 一个是分布的极限问题 相应的一系列结论分别被称 为 大数定律 中心极限定理 统称极限定理 若X1 X2 Xn 为随机变量 而 Yn 那么随着 n Yn的稳定性如何 两个问题 2 1 1 问题的 问题的引出 在n次独立重复实验中 事件A发生的频率是否稳定于A的概率 分析 nA 表示n次实验中A发生的次数 则为n次实验中A发生的频率 即 fn A a 贝努利实验的描述 在每次实验中 P A
2、p 各次实验相互独立 一 大数定律一 大数定律 3 nA是随机变量 且 nA B n p 进而 E nA np D nA np 1 p 也是随机变量 分布未知 但 可见 n 时 D fn 0 而E fn 不变 注意到 D X 0 P X C 1 故应有 n 时 P fn 常数p 1 b fn 的极限行为的讨论 4 贝努利定理 由车比雪夫不等式 P X 2 2 得证 称在n次独立重复 实验中 事件A发 生的频率依概率收 敛于A的概率 一般地 定义 对于R v序列 Xn 若存在常数a 使得 0 有 则称 依概率收敛于a 5 当n充分大时 fn p v 实际意义 由此定理得 p很小时 fn 也很小
3、频率是稳定于概率的 小概率事件很少发生 在一次实验中 不可能发生 说明 1 因此由贝努利大数定理的证明过程 可以看到 我们实际上 是讨论了形如 的随机变量 当时的统计规律 2 实际上 若记Xi为A在第i次发生的次数 则有 Xi独立同分布 Xi 0 1分布 6 若X1 X2 Xn 为随机变量序列 记 若存在一个数序列 a1 a2 an 使得对任意 0 有 则称 Xn 服从大数定律 大数定律 3 由于贝努利定理说明了大数次重复试验下所呈现的客观规律 所以此定理称为贝努利大数定律 贝努利大数定律又可描述为 相互独立且服从 0 1 分布的随机变量 序列 Xn 服从大数定律 7 1 车比雪夫 tcheb
4、ysheff大数定律 定理 设 Xn 为相互独立的随机变量组成的序列 且Xn n 1 2 的 方差有公共上界 则 0 有 2 2 几个常用的大数定律 几个常用的大数定律 证 由契比雪夫不等式 独立 方差有公共上界的 Xn 服从大数定律 8 2 辛钦 Khintchine 大数定律 设X1 X2 Xn 为独立 同分布的随机变量 且有相同的数学 期望E Xi i 1 2 则对 0 有 3 贝努利 Bernoulli 大数定律 上述的贝努利大数定理又可简述为 在独立重复实验中 事件A在各次实验中发生的次数 Xi 服从大数定律 在n次独立重复试验中 事件A发生了n A次 且P A p 则对任意 正数
5、有 9 注 此外还有若干其它的大数定律 如马尔可夫大数定律等 辛钦大数定律乃车贝雪夫大数定律之特殊情形 而贝 努利大数定律又可看成是辛钦大数定律之推论 大数定理讨论了独立随机变量Xi的平均值 序列依概率收敛的问题 下面讨论Xi的和序列 辛钦大数定律的意义 X在n次独立试验中n个观察值的算术平均值 而 E X 所以由辛钦大数定律得 X的算术平均值依概率收 敛于它的数学期望 X的算术平均值稳定于它的数学期望 10 复习 n1 正态分布的背景 当连续型随机变量X可看作是 许多细小的 独立的因素的总结果 且在正常情况下 每个细小因素都不起特别作用 则一般情况下 n X N 2 2 若随机变量序列 Xi
6、 i 1 2 Xi N 2 则 问题 设X1 X2 Xn 为独立 同分布的随机变量 且有E Xi D Xi 2 i 1 2 则 可看作是许多细小 的 独立的因素的总结果 且n充分大时 每个Xi都不起 特别作用 那么 11 1 1 同分布中心极限定理 同分布中心极限定理 林得伯格林得伯格 列维列维Lindeberg levy Lindeberg levy 证明 超出 设X1 X2 Xn 独立同分布 E Xn D Xn 2 0 则 意义意义 无论各R v Xn 的分布为何 都有 当n 时 N 0 1 进而 注意条件 独立同分布 二 中心极限定理二 中心极限定理 12 当n 我们将有 2 德莫佛德莫
7、佛 拉普拉斯拉普拉斯 DeMoivre LaplaceDeMoivre Laplace 定理 定理 设nA B n p n 1 2 则对任意实数x有 特别 若Xi B 1 p 则E Xi p D Xi p 1 p i 1 2 由林得贝尔格 列维中心极限定理 N 0 1 即 13 vv说明说明 由此定理得 若 X B n p 则当n很大时有 2 对任意区间 a b 有 1 对任意实数x 有 近似地 还记得泊松定理 是怎么说的吗 泊松定理 X 近似地 3 若记Xi为A在第i次发生的次数 则有 则德莫佛德莫佛 拉普拉斯拉普拉斯定理讨论的是Xi的和序列 14 3 3 几点说明 几点说明 若 Xn 不同
8、分布 但相互独立 则在一定条件下仍有 Xn 服从中心极限定理 正是依据中心极限定理 才反映出正态分布在实际中的广 泛适应性 见P97例2之后 15 进而可求P a Yna 等等 归纳前面所述 有 N 0 1 三 极限定理的初步应用三 极限定理的初步应用 v 若X B n p 则n 很大时 近似有 v 若R v 序列 Xn 独立同分布 且E Xn D Xn 2 n 1 2 则近似有 16 例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vi i 1 2 20 设它们是相互独立的随机变量 且都服从 0 1 上的均匀分 布 记V 求P V 105 的近似值 分析 1 Vi是独立同分布的 且分布已知 2 2 2
9、要求 P V 105 但只是近似值 利用中心极限定理恰好可以得知的近似分布 进而 N 0 1 详解略 17 例2 每次射击命中目标的炮弹数的数学期望为2 均方差为1 5 求 在100次射击中 有180发到220发炮弹击中目标的概率 分析 1 每次射击中所发射的炮弹数Ni是未知的 2 若记Y为100次射击中击中目标的炮弹数 则 因而每次击中目标的炮弹数Xi的分布也未知 但 i i 2 2 i i 1 5 1 5 是同分布吗 而要求的是 P 180 Y 220 解 依题意 各次射击命中目标的次数Xi i 1 2 100 是独 立 同分布的 且E Xi 2 Xi 1 5 而100次射击中击中目 标的次数 P 180 Y 220 P 4 3 Z 4 3 4 3 4 3 由同分布中心极限定理知 近似地有 18 所谓所谓大数定律大数定律 内容是什么 意义何在 内容是什么 意义何在 所谓所谓中心极限定理中心极限定理 内容是什么 意义何在 内容是什么 意义何在 可以帮助我们解决什么问题 可以帮助我们解决什么问题 小小 结结 19
