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1、第七章 欧氏空间 一 教学目标 1 熟练掌握向量的内积 夹角 长度 距离概念 2 掌握Schwarz不等式及应用 3 理解标准正交基的概念 求法及应用 了解子空间正交 补的概念及应用 4 理解正交变换 正交矩阵的概念 性质及关系 5 理解对称变换的概念 性质及其与对称矩阵的关系 熟 练掌握对称矩阵化为对角阵的正交化方法 二 重点 内积 欧氏空间 正交 标准正交组 标准正交基 正交变换 对称变换 三 难点 正交变换 对称变换 四 课时 20学时 1 向量的内积 定义1 设V是R上一个向量空间 如果 有一个确定的实数记作 与它对应 并且 满足 这里 叫向量 的内积 而V叫做对这个内积来说的一个 欧
2、氏空间 记作 2 说明 定义中的 1 4 称为内积公理 这里把内积的符号记为 主要是与 中内积相区别 也就是说 是对实数域上 的所有向量空间通用的符号 今后 谈到欧氏空间 如无特殊情况 它的内积为 3 内积的性质 1 有 2 如果 有 特别地 若 3 4 4 定义2 设 向量的长度是零 非零向量的长度是正数 长度是1的向量 称为单位向量 即 为单位向量 任一非零向量 都可以化为单位向量 事实上 即为单位向量 说明 5 定理1 在欧氏空间中 有 当且仅当 线性相关 等式成立 由定理1得 这正是大家熟知的Cauchy 柯西 不等式 说明 6 因此我们也把不等式 叫Cauchy Shwarz不等式
3、在 中 规定 则 这也是大家熟知的Shwarz 施瓦兹 不等式 当 正交时 等式成立 称为内积勾股定理 7 设是欧氏空间 的两个非零向量 的夹角为 定义 说明 这样定义是符合意义的 且 的夹角 是唯一确定的 定义3 8 由 则 当 补充定义 零向量与任意向量均正交 推广 在欧氏空间中 中每个向量正交 则 的任意线性组 合也正交 即 9 定义4 在欧氏空间中 的距离 说明 的距离实际是 的长度 距离的性质 i 正定性 当 ii 对称性 iii 三角不等式 称 i ii iii 为距离公理 iii 在解析几何中的意义是 三角形两边 之和大于第三边 10 定理2 如果W是欧氏空间V的一个子空间 那么
4、 对V的内积来说 W也是一个欧氏空间 11 7 2 正交基 定义 1 欧氏空间 中的一组两两正交的非零向量 叫 的一个正交组 如果这组向量都是单 位向量 则称为一个标准正交组 说明 正交组是线性无关的向量组 在 维欧空间 中 两两正交的非零空间 向量个数不超过n个 在面几何中 正交的非零向量 是有两个 在空间解几中 正交的非零向量是有3个 特别 如果 是n维欧氏空间 的一组正 交组 则称 为V的一个正交基 如果 是 n维欧氏空间V的标准正交基 则称为V的一个标准正 交基 12 定理1 向量 关于一个标准正交基的第i个坐标等 于 与第 个基向量的内积 定理2 设 是欧氏空间v的一个线性无关组 那
5、么可以求出v的一个正交组 使得 可由 线性表示出 k 1 2 m 说明 此定理不仅给出标准正交组是存在的 而且给出 一个具体求正交组的方法 使得我们可由任一个线性无关 组出发得出一个标准正交组 这种方法叫正交化方法 有 的书上称为施密特正交化方法 对于n 维欧氏空间v 如果 是v的基 则由 正交化方法可得到v的一个正交基 进而得到v 的 一个标准正交基 即n维欧氏空间v一定有正交基 因而有标准正交基 称为正交化公式 13 定义2 一个n阶实矩阵 叫做一个正交矩阵 如果 说明 由定义得 说明 定理3 维欧氏空间 的一个标准基到另一个标准 正交基的过渡矩阵 的正交矩阵 1 给出两个标准正交基的过渡
6、矩阵所具有的属性 2 由定理可以得到 如果 是标 准正交基 是正交矩阵 则由 得到是标准正交基 14 定义3 设W是欧氏空间V的一个非空子集 如果 且 与W中每一个向量正交 则称 与W 正交 记为 说明 V中与W正交的向量所成的子集记为 W是V的一个子空间 15 定理4 令W是欧氏空间V的一个有限维子空间 那么 因而V中每一向量可以唯一写成 这是 是唯一的 定理5 设W是欧氏空间V的一个有限维子空间 是V的任意向量 是 在W上的正射 影 那么对于W中任意向量 都有 说明 把在上的正射影叫做到的最佳逼近 16 定义4 欧氏空间 是同构的 如果 i 存在 的一个同构映射 ii 对 都有 说明 ii
7、 称为保内积不变 如果 是欧氏空间 的同构映射 则 是向量空间 的同构映射 因而同构的 欧氏空间有相同维数 定理6 说明 任意n维欧氏空间与 同构 两个有限维欧氏空间同构 维数相等 欧式空间的结构完全被它的维数所决定 17 7 3 正交变换 定义1 欧氏空间 的一个线性变换 叫做 一个正交变换 如果对于任意 都有 说明 保持向量长度不变的线性变换叫正交 变换 旋转变换 镜面反射等都是正交变 换 18 定理1 设 是欧氏空间的一个线性变换 则 保持内积不变 是正交变换 保持长度不变 说明 正交变换保持夹角不变 把 的标准正交基仍旧变成标 准正交基 关于 的标准正交基的矩阵 是正交矩阵 19 7
8、4 对称变换和对称矩阵 定义2 若 是数域 上 阶矩阵 如果 等于它的转量 即 则称 是 对称矩阵 定义1 设 是欧氏空间 的一个线性变换 则称 是一个对称变换 如果对 有 20 定理1 设 是欧氏空间 的一个线性变换 是对称变换 关于 的标准 正交基的矩阵是对称矩阵 说明 对称变换与对称矩阵是1 1对应的 定理2 实对称矩阵的特征根都是实数 说明 由于我们是在实数域上引入向量的 内积 概念 即欧氏空间都是在实数域上进 行讨论的 故对称变换 的特征多项式的 根都是 的特征根 21 定理3 n维欧氏空间的一个对称变换的属 于不同特征根的特征向量彼此正交 说明 一个线性变换关于不同特征根的特征 向
9、量是线性无关的 定理4 设 是n维欧氏空间 的一个对称变换 那么存在 的一个标准正交基 使得 关于这个基的矩阵是对角形式 说明 欧氏空间 的对称变换可以对角化 即如果 是对称变换 则存在 的标 准正交基 使得 关于这个基的矩阵 是对角形式 22 要使 有一个正交基 而 在这个基下的 矩阵是对角形式 则 一定是对称变换 即 对称变换 可以使 有一个由 的特征向量 组成的正交基 对称变换与对称矩阵1 1对应 则由对称变 换可对角化到对称矩阵可对角化 即设 是一 个n阶实对称矩阵 则存在一个n阶正交矩阵 使得 是对角形式 23 最后我们给出具体求U的方法 由 故 第七章给 出的求可递矩阵 的方法 是
10、对角形式 但这样求出的 一般说来还不是正交矩阵 是过渡矩阵 然而 注意到 的列向量是 的特征向量 对于不同特征根的特征向量来说 是彼此正交的 因此 我们还需要再对 中同一 个特征根的线性无关向量施行正交化手续就 得到了要求的 具体步骤 24 1 求出 的特征根 是 的不同特征根 2 对每一 解方程组 得基础 解系 这就是 的一组基 由这组基施行正交 化 得到 的一组标准正交基 3 以这些标准正交基为到向量排成一列 即为所求 25 7 5 酉空间 定义1 设V是复数域上一个向量空间 如果对 于V中任意一对 向量 有一个确定的复 数 与它们对应 则 叫做 与 的内积 并且下列条件满足 1 是 的共
11、轭复数 2 3 4 是非负实数 并且当 时 是 V中任意向量 是C中任意数 那么V叫做对于这个 内积来说是一个酉空间 26 设V是酉空间 则 1 2 3 4 27 定义2 设 是酉空间 为 的长度 说明 当 当 当 定理1 设 是酉空间 当且仅当 线性相关时 等式 成立 即 柯西 施瓦兹不等式在酉空间中也成立 28 定义3 设 是酉空间 时 称 正交 说明 零向量与任意向量相交 定义 4 的一组两两正交的向量组叫 的一组正交组 的正交组中每一个向量都是单位向量 则称该正交组 为一个规范正交组 说明 与欧氏空间一样 设V是n维酉空间则 中两两正交的n个线性无关的向量组 叫的 一个正交基 中两两正
12、交的个线性无关的单位向量 叫的 一个标准正交基 中一组线性无关的向量组 总可以用施密特正交化 方法进行正交化 并扩充成一个标准正交基 29 定义5 设 是酉空间 的一个有限维子空间令 则 是 的子空间 称为 的正交补 且 定义6 设 是 n阶复矩阵 如果 则称为一个 酉矩阵 其中 的共轭 定理2 n维酉空间一个规范正交基则另一个规范 正交基的过渡矩阵是一个酉矩阵 30 7 6 酉变换的对称变换 定义1 酉空间的一个线性变换 是一个酉变换 如果 都有 与欧氏空间平行 有 是维的酉空间的一个线性变换 则 是酉变换 把规范正交基变为规范正交基 关于规范正交基的矩阵是酉矩 阵 说明 31 定义 2 酉空间了 的一个线性变换 叫做一 个对称变换 也称为厄米特变换 如果 对 都有 定义 3 阶复矩阵 是一个埃尔米特矩阵 如 果 1 实对称矩阵 是一个厄米特矩阵的特 殊情况 说明 32 定理 1 是 维酉空间 的一个线性变 换 则 是对称变换 关于规范 正交基的矩阵是厄米特矩阵 定理 2 设 是 维酉空间的一个对称变 换 则 1 的特征值都是实数 2 属于不同基特征值的本 征向量彼此正交 此定理给出对称变换的性质 定理3 设 是一个 阶厄米特矩阵 则存在 一个 阶酉矩阵 使得 是一个实对角形式 即 任何一个 厄米特矩阵都 酉相似 一个实对角阵 说明 33
