《人教B版高中数学选修2-2第二章3《数学归纳法 （2）》ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教B版高中数学选修2-2第二章3《数学归纳法 （2）》ppt课件（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 3 数学归纳法 2 内容 应用 1 用数学归纳法证明等式与不等式 2 用数学归纳法证明整除性与几何问题 数学归纳法 重点 用数学归纳法证明一些简单的数学问题 难点 数学归纳法证明不等式时第二步的放缩 1 掌握数学归纳法证题的两个步骤 2 初步会用 数学归纳法 证明简单的与自然数有关的命 题 如恒等式 不等式及整除问题等 3 用数学归纳法归纳 猜想 证明 本课主要学习数学归纳法 以两个小问题引入新课 对数学归纳法的步骤分析准确 详细 精心选择三 道例题 分别是用数学归纳法证明等式与不等式 用 数学归纳法证明整除性与几何问题 归纳 猜想 证 明在实际问题中的应用 题目新颖 难度由浅入深 与 数
2、列 解析几何 导数 方程等知识融合交汇 体现 证明等式 不等式等高考常考内容 计算量不大 答 案详细 分析准确 在讲述数学归纳法的应用时 采用例题与变式结 合的方法 通过例1和变式1巩固掌握用数学归纳法证 明等式与不等式 通过例2和变式2掌握用数学归纳法证 明整除性与几何问题 通过例3用数学归纳法归纳 猜 想 证明 采用一讲一练针对性讲解的方式 重点理 解数学归纳法的应用 问题1 请回顾数学归纳法的步骤 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 2 使用数学归纳法证明不等式的难点在第二个步 骤上 这时除了一定要用到归纳假设外 还要较多的运用 不等式证明的方法 对所要证明的不等式加以变形
3、寻求 其与归纳假设的联系是问题的突破口 注意 在用数学归纳法证题时 注意以下三句话 递推基础不 可少 归纳假设要用到 结论 写明莫忘掉 用数学归纳法证明等式与不等式 典例1 1 已知n为正偶数 用数学归纳 法证明 时 若已假设n k k 2 且为偶数 时命题为真 则还需要用归纳 假设再证n 时等式成立 A k 1 B k 2 C 2k 2 D 2 k 2 2 等比数列 an 的前n项和为Sn 已知对任 意的n N 点 n Sn 均在函数y bx r b 0且b 1 b r均为常数 的图象上 求r的值 当b 2时 记bn 2 log2an 1 n N 证明 对任意的n N 不 等式 成立 规范解
4、答 1 选B 因为n k为偶数 所以下一个与之相邻的 偶数为n k 2 2 由题意 Sn bn r 当n 2时 Sn 1 bn 1 r 所以an Sn Sn 1 bn 1 b 1 由于b 0且b 1 所以n 2时 an 是以b为公比的等比数列 又a1 b r a2 b b 1 所以 由 及b 2知an 2n 1 因此bn 2n n N 所证不等式为 当n 1时 左式 左式 右式 所以结论成立 假设n k k 1 k N 时结论成立 即 则当n k 1时 要证当n k 1时结论成立 只需证 即证 由基本不等式得 成立 故 成立 所以 当n k 1时 结论成立 由 可知 n N 时 不等式 成立
5、规律方法 运用数学归纳法证明问题时应注意的四个问题 1 由假设n k成立证n k 1时 要推导详实 并且一定要运用 n k成立的结论 2 要注意n k到n k 1时增加的项数 3 n n0时成立 要弄清楚命题的含义 4 对于不等式在证明由n k变化到n k 1时 除了应用综合法 外还可用分析法 反证法 求差 求商比较法及放缩法等加 以证明 若本例 1 中将n改为正奇数 若已知n 2k 1 k N 时命题为真 则下一步证明 n 时等 式成立 解析 由题意可知n为正奇数 取n 2k 1的下一 个奇数为n 2k 1 答案 2k 1 用数学归纳法证明整除性与几何问题 典例2 1 用数学归纳法证明34n
6、 1 52n 1 n N 能被8整 除时 当n k 1时 对于34 k 1 1 52 k 1 1可变形为 A 56 34k 1 25 34k 1 52k 1 B 34 34k 1 52 52k C 34k 1 52k 1 D 25 34k 1 52k 1 2 用数学归纳法证明 凸n边形的对角线的条数为f n n n 3 n N n 3 规范解答 1 选A n k 1时 34 k 1 1 52 k 1 1 25 34k 1 52k 1 56 34k 1 由n k时 能被8整除 即 34k 1 52k 1 能被8整除 而 56 34k 1也能被8整除 故n k 1时成立 2 因为三角形没有对角线
7、所以n 3时 f 3 0 命题成立 假设n k k 3 时 命题成立 即f k k k 3 则当n k 1时 凸k边形由原来的k个顶点变为k 1个顶点 对角线 条数增加k 1条 所以f k 1 f k k 1 k k 3 k 1 k 1 k 1 3 所以当n k 1时命题成立 由 可知对任何n N且n 3 命题 恒成立 易错警示 关于几何问题的变化情况 本例 2 中由n k变换到n k 1时 对角线条数不会求 或根 本看不清其变化情况导致错解 规律方法 证明整除性与几何问题的关键 1 证明整除问题的关键 凑项 证明整除问题的关键是 凑项 即采用增项 减项 拆项和因式 分解等手段 将n k 1时
8、的式子凑出n k时的情形 从而利用归纳假设 使问题获证 2 证明几何问题的关键 找项 用数学归纳法证明几何问题的关键是 找项 即几何元素从k个 变成k 1个时 所证的几何量将增加多少 这需用到几何知识或借助 于几何图形来分析 事实上 将n k 1和n k分别代入所证的式子 然 后作差 即可求出增加量 这也是用数学归纳法证明几何问题的一 大技巧 典例3 是否存在常数a b 使得等式 对一切正整数n都成立 并证明你的结论 点拨 对这种类型的题目 一般先利用n的特殊值 探求出待 定系数 然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立 解 令n 1 2 并整理得 以下用数学归纳法证明 归纳 猜想 证明 2
9、 假设当n k时结论正确 即 则当n k 1时 故当n k 1时 结论也正确 根据 1 2 知 对一切正整数n 结论正确 1 当n 1时 由上面解法知结论正确 已知函数f x rx xr 1 r x 0 其中r为有理数 且0 r 1 求f x 的最小值 试用 的结果证明如下命题 设a1 0 a2 0 b1 b2为正有理数 若b1 b2 1 则 a1b1 a2b2 请将 中的命题推广到一般形式 并用数学归纳法证明 你所推广的命题 注 当 为正有理数时 有求导公式 x x 1 解答 f x r rxr 1 r 1 xr 1 令f x 0 解得x 1 当0 x 1时 f x 1时 f x 0 所以f
10、 x 在 1 内是增函数 故函数f x 在x 1处取得最小值f 1 0 由 知 当x 0 时 有f x f 1 0 即xr rx 1 r 若a1 a2中至少有一个为0 则 a1b1 a2b2成立 若a1 a2均不为0 又b1 b2 1 可得b2 1 b1 于是 在 i 中令x r b1 可得 b1 1 b1 即 a1b1 a2 1 b1 亦即 a1b1 a2b2 综上 对a1 0 a2 0 b1 b2为正有理数且b1 b2 1 总有 a1b1 a2b2 中命题的推广形式为 设a1 a2 an为非负实数 b1 b2 bn为正有理数 若b1 b2 bn 1 则 a1b1 a2b2 anbn 用数学
11、归纳法证明如下 1 当n 1时 b1 1 有a1 a1 成立 2 假设当n k k 1 且k N 时 成立 即若a1 a2 ak为非负实数 b1 b2 bk为正有理数 且b1 b2 bk 1 则 a1b1 a2b2 akbk 当n k 1时 已知a1 a2 ak ak 1为非负实数 b1 b2 bk bk 1 为正有理数 且b1 b2 bk bk 1 1 此时0 bk 10 于是 因 由归纳假设可得 从而 又因 1 bk 1 bk 1 1 由 得 从而 a1b1 a2b2 akbk ak 1bk 1 故当 n k 1时 成立 由 1 2 可知 对一切正整数n 所推广的命题成立 正确运用数学归纳
12、法 用数学归纳法证明的关键在于两个步骤 要做到 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 因此必须注意以下三点 1 验证是基础 数学归纳法的原理表明 第一个步骤是要找一个数n0 这个n0就是要证 明的命题对象的最小自然数 这个自然数并不一定都是 1 因此 找准起点 奠基要稳 是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题 2 递推乃关键 数学归纳法的实质在于递推 所以从 k 到 k 1 的过程 必 须把归纳假设 n k 作为条件来导出 n k 1 时的命题 在 推导过程中 要把归纳假设用上一次或几次 3 寻找递推关系的方法 在第一步验证时 不妨多计算几项 并争取正确写出来 这样 对发现递推关系是有帮助的 探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律 观察n 处在哪个位置 在书写f k 1 时 一定要把包含f k 的式子写出来 尤其是 f k 中的最后一项 除此之外 多了哪些项 少了哪些项都要分 析清楚 提醒 在求由 k 到 k 1 时函数f x 变化的项时 一般把 n k n k 1分别代入 将两式作差求得
