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1、第七章不等式 第一部分第一部分 三年高考荟萃三年高考荟萃 20102010 年高考题年高考题 一 选择题一 选择题 1 1 20102010 上海文 上海文 15 满足线性约束条件 23 23 0 0 xy xy x y 的目标函数zxy 的最大值是 A 1 B 3 2 C 2 D 3 答案 C 解析 当直线zxy 过点 B 1 1 时 z 最大值为 2 2 2 20102010 浙江理 浙江理 7 若实数x y满足不等式组 330 230 10 xy xy xmy 且xy 的最大值为 9 则实数m A 2 B 1 C 1 D 2 答案 C 解析 将最大值转化为 y 轴上的截距 将 m 等价为
2、斜率的倒数 数形结合可知答案选 C 本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组 以及简单的转化思想和数形结合的思想 属中档题 3 3 20102010 全国卷全国卷 2 2 理 理 5 不等式 2 6 0 1 xx x 的解集为 A 2 3x xx 或 B 213x xx 或 C 213xxx 或 D 2113xxx 或 答案 C 命题意图 本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法 解析 利用数轴穿根 法解得 2 x 1 或 x 3 故选 C 4 4 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 5 若变量 x y 满足约束条件 1 325 x yx xy 则 z 2x y 的最大值 为 A
3、 1 B 2 C 3 D 4 解析 C 本题考查了线性规划的知识 作出可行域 作出目标函数线 可得直线与 yx 与3 25xy 的交点为最优解点 即为 1 1 当 1 1xy 时 max 3z 5 5 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 2 不等式 3 2 x x 0 的解集为 A 23xx B 2x x C 23x xx 或 D 3x x 解析 A 本题考查了不等式的解法 3 0 2 x x 23x 故选 A 6 6 20102010 江西理 江西理 3 不等式 22xx xx 的解集是 A 0 2 B 0 C 2 D 0 0 答案 A 解析 考查绝对值不等式的化简 绝对值大于本
4、身 值为负数 2 0 x x 解得 A 或者选择 x 1 和 x 1 两个检验进行排除 7 7 20102010 安徽文 安徽文 8 设 x y 满足约束条件 260 260 0 xy xy y 则目标函数 z x y 的最大值 是 A 3 B 4 C 6 D 8 答案 C 解析 不等式表示的区域是一个三角形 3 个顶点是 3 0 6 0 2 2 目标函数 zxy 在 6 0 取最大值 6 规律总结 线性规划问题首先作出可行域 若为封闭区域 即几条直线围成的区域 则 区域端点的值是目标函数取得最大或最小值 求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最 大值 8 8 20102010 重庆文 重庆文
5、7 设变量 x y满足约束条件 0 0 220 x xy xy 则32zxy 的最大值为 A 0 B 2 C 4 D 6 解析 不等式组表示的平面区域如图所示 当直线32zxy 过点 B 时 在 y 轴上截距最小 z 最大 由 B 2 2 知 max z 4 解析 将最大值转化为 y 轴上的截距 可知答案选 A 本题主要考察了用平面区域二元一 次不等式组 以及简单的转化思想和数形结合的思想 属中档题 10 10 20102010 重庆理数 重庆理数 7 已知 x 0 y 0 x 2y 2xy 8 则 x 2y 的最小值是 A 3 B 4 C D 11 2 答案 B 9 2 解析 考察均值不等式
6、 2 2 2 8 2 82 yx yxyx 整理得 032242 2 yxyx 即 08242 yxyx 又02 yx 42 yx 11 11 20102010 重庆理数 重庆理数 4 设变量 x y 满足约束条件 0 10 30 y xy xy 则 z 2x y 的最大值 为 A 2 B 4 C 6 D 8 答案 C 解析 不等式组表示的平面区域如图所示 当直线过点 B 3 0 的时候 z 取得最大值 6 12 12 20102010 北京理 北京理 7 设不等式组 110 330 530 xy xy xy9 表示的平面区域为 D 若指数函数 y x a的图像上存在区域 D 上的点 则 a
7、的取值范围是 A 1 3 B 2 3 C 1 2 D 3 答案 A 13 13 20102010 四川理 四川理 12 设0abc 则 22 11 21025 aacc aba ab 的最 小值是 A 2 B 4 C 2 5 D 5 解析 22 11 21025 aacc aba ab 22 11 5 acaabab aba ab y 0 x70 48 80 70 15 55 2 11 5 acaba ab aba ab 0 2 2 4 当且仅当a 5c 0 ab 1 a a b 1 时等号成立 如取a 2 b 2 2 c 2 5 满足条件 答案 B 14 14 20102010 四川理 四川
8、理 7 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品 由乙车间加工出B产 品 甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克A产品 每千克A产品获利 40 元 乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克B产品 每千克B产品获利 50 元 甲 乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工 每天甲 乙两车间耗费工时总和不 得超过 480 小时 甲 乙两车间每天总获利最大的生产计划为 A 甲车间加工原料 10 箱 乙车间加工原料 60 箱 B 甲车间加工原料 15 箱 乙车间加工原料 55 箱 C 甲车间加工原料 18 箱 乙车间加工原料 50 箱 D 甲车间加工原料 40 箱 乙
9、车间加工原料 30 箱 答案 B 解析 设甲车间加工原料x箱 乙车间加工原料y箱 则 70 106480 xy xy x yN 目标函数z 280 x 300y 结合图象可得 当x 15 y 55 时z最大 本题也可以将答案逐项代入检验 15 15 20102010 天津文 天津文 2 设变量 x y 满足约束条件 3 1 1 xy xy y 则目标函数 z 4x 2y 的最大 值为 A 12 B 10 C 8 D 2 答案 B 解析 本题主要考查目标函数最值的求法 属于容易题 做出可行域 如图由图可知 当目标函数过直线 y 1 与 x y 3 的交点 2 1 时 z 取得最大值 10 16
10、16 20102010 福建文 福建文 17 17 20102010 全国卷全国卷 1 1 文 文 10 设 1 2 3 log 2 ln2 5abc 则 A abc B bca C cab D cba 答案 C 命题意图 本小题以指数 对数为载体 主要考查指数函数与对数函数的性质 实数大 小的比较 换底公式 不等式中的倒数法则的应用 解析 1 a 3 log2 2 1 log 3 b In2 2 1 log e 而 22 log 3log1e 所以 a b c 1 2 5 1 5 而 22 52log 4log 3 所以 c a 综上 c a b 解析 2 a 3 log2 3 2 1 lo
11、g b ln2 2 1 loge 3 22 1loglog2 e 3 22 111 1 2logloge c 1 2 111 5 254 c a b 18 18 20102010 全国卷全国卷 1 1 文 文 3 若变量 x y满足约束条件 1 0 20 y xy xy 则2zxy 的最大 值为 A 4 B 3 C 2 D 1 答案 B 0 xy 1 O yx y 20 xy x A 0 20lxy L0 2 2 A 命题意图 本小题主要考查线性规划知识 作图 识图能力及计算能力 解析 画出可行域 如右图 11 2 22 zxyyxz 由图可知 当直线l经过点 A 1 1 时 z 最大 且最大
12、值为 max 1 2 1 3z 19 19 20102010 全国卷全国卷 1 1 理 理 8 设a 3 log2 b ln2 c 1 2 5 则 A a b c B b c a C c a b D c b a 20 20 20102010 全国卷全国卷 1 1 理 理 21 21 20102010 四川文 四川文 11 设0a b 则 2 11 a aba ab 的最小值是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 D 解析 2 11 a aba ab 2 11 aabab aba ab 11 aba ab aba ab 2 2 4 当且仅当ab 1 a a b 1 时等号成立 如取a 2 b
13、2 2 满足条件 22 22 20102010 四川文 四川文 8 某加工厂用某原料由车间加工出A产品 由乙车间加工出B产品 甲 车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克A产品 每千克A产品获利 40 元 乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克B产品 每千克B产品获利 50 元 甲 乙两车间每天功能完成至多 70 多箱原料的加工 每天甲 乙车间耗费工时总和不得超 过 480 小时 甲 乙两车间每天获利最大的生产计划为 A 甲车间加工原料 10 箱 乙车间加工原料 60 箱 B 甲车间加工原料 15 箱 乙车间加工原料 55 箱 C 甲车间加工原料 18 箱 乙
14、车间加工原料 50 箱 D 甲车间加工原料 40 箱 乙车间加工原料 30 箱 答案 B 解析 解析 设甲车间加工原料x箱 乙车间加工原料y箱 则 70 106480 xy xy x yN 目标函数z 280 x 300y 结合图象可得 当x 15 y 55 时z最大 本题也可以将答案逐项代入检验 y 0 x70 48 80 70 15 55 23 23 20102010 山东理 山东理 24 24 20102010 福建理 福建理 8 设不等式组 x1 x 2y 30 yx 所表示的平面区域是 1 平面区域是 2 与 1 关于直线3490 xy 对称 对于 1 中的任意一点 A 与 2 中的
15、任意一点 B AB的 最小值等于 A 28 5 B 4 C 12 5 D 2 答案 B 解析 由题意知 所求的 AB的最小值 即为区域 1 中的点到直线3490 xy 的 距离的最小值的两倍 画出已知不等式表示的平面区域 如图所示 可看出点 1 1 到直线3490 xy 的距离最小 故 AB的最小值为 3 1 4 1 9 24 5 所以选 B 二 填空题二 填空题 1 1 20102010 上海文 上海文 2 不等式 2 0 4 x x 的解集是 答案 24 xx 解析 考查分式不等式的解法 2 0 4 x x 等价于 x 2 x 4 0 所以 4 x0 b 0 称 2ab ab 为 a b
16、的调和平均数 如图 C 为线段 AB 上的点 且 AC a CB b O 为 AB 中点 以 AB 为 直径做半圆 过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D 连结 OD AD BD 过 点 C 作 OD 的垂线 垂足为 E 则图中线段 OD 的长度是 a b 的算术 平均数 线段 的长度是 a b 的几何平均数 线段 的长度是 a b 的调和平均数 答案 CD DE 解析 在 Rt ADB 中 DC 为高 则由射影定理可得 2 CDAC CB 故CDab 即 CD 长度为a b的几何平均数 将 OC 222 ababab aCDabOD 代入 OD CEOC CD 可得 ab CEab ab 故 2 22 2 ab OEOCCE ab 所以 ED OD OE 2ab ab 故 DE 的长度为a b的调和平均数 17 17 20102010 江苏卷 江苏卷 12 设实数 x y 满足 3 2 xy 8 4 y x2 9 则 4 3 y x 的最大值是 答案 27 解析 考查不等式的基本性质 等价转化思想 2 2 16 81 x y 2 11 1 8 3xy 32 2 42 1 2 27 x
