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1、 一 高斯点 定义 高斯公式 机械求积公式 含有2n 2个待定参数 若适当选择这些参数使求积公式具有2n 1次代 数精度 则这类公式称为高斯公式 4 1 请回答 以前学过的梯形公式 辛甫生公式 柯 特斯公式 中矩形公式是高斯公式吗 答 除中矩形公式外都不是 定义 高斯点 高斯公式的求积节点称为高斯点 举例求 a b 上的一点和二点高斯公式 解设一点高斯公式为 则其代数精度应为 即 解得 中矩形公式 再设两点高斯公式为 则其代数精度应为 即 这是关于 四个未知 数的非线 性方程 难于求解 高斯点具有以下性质 定理对于插值型求积公式 4 1 其节点 是高斯点的充要条件是 以这些点为零点的多项式 与
2、任意次数不超过n的多项式P x 均正 交 即 启发 如何求 高斯 公式 证明先证必要性 即 是高斯点 设P x 是任意次数不超过 n 的多项式 则 P x x 的次数不超过2n 1 因此应准确 成立 但 故 再证充分性 即 是高斯点 对于任意给定的次数不超过2n 1的多项式f x 用 除 f x 记商为P x 余式为Q x 即 2n 1n 1nn 由已知条件 x 与P x 正交 得 由于所给求积公式 4 1 是插值型的 它至少具 有n次代数精度 故对Q x 能准确成立 再注意到 xk 0 知Q xk f xk 从而有 于是由前面的推导知 这说明公式对一切次数不超 过2n 1的多项式均能准确成
3、立 故xk是高斯点 定理给我们的启发 1 求出 a b 上与所有次数不超过n的多项式 都正交的多项式 n 1 x 2 求出 n 1 x 的n 1个零点就是高斯点 请回答 1 1 上与所有次数不超过0的多项式都 正交的多项式 1 x 解 设P0 x C 1 x x x0 由于 即 展开 得 则一个点的高斯公式为 中矩形公式 二 高斯 勒让得公式 特别地 取 a b 1 1 其上高斯公式为 下面求对应的高斯点 由于勒让得多项式是 1 1 上的正交多项式 因此勒让得多项式Pn 1 x 的零点就是高斯点 特殊地若取P1 x x 的零点x0 0 作节点构造 求积公式 令它对 f x 1准确成立 即可定出
4、A0 2 即一点高斯公式为 中矩形公式 令它对 f x 1 x 准确成立 即可定出A0 A1 可得两点高斯 勒让得公式为 再取 的零点 作节点构 造求积公式 注 其它的高阶公式详见书 请回答 高斯 勒让得公式仅适用于求积区间是 1 1 那么对于任意求积区间 a b 如 何求 解作变换 可以化到区间 1 1 上 这时 三 带权的高斯公式 定义 带权的高斯公式 求积公式 若该公式具有2n 1次代数精度 则称这类公 式为带权的高斯公式 上述 x 0是权函数 高斯点 定理是高斯点的充要条件是 是区间 a b 上关于 x 的正交多项式 特殊的 若 a b 1 1 权函数是 所建立的高斯公式为 切比雪夫 高斯公式 xk是切比雪夫 多项式的零 点 注意 运用正交多项式的零点构造高斯求积 公式 这种方法只是针对某些特殊的 权函数才有效 构造高斯公式的一般方法是 待定系数法 举例要构造下列形式的高斯公式 解则其代数精度应为即 作业 习题 10 11 此课件下载可自行编辑修改 此课件供参考 部分内容来源于网络 如有侵权请与我联系删除
