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1、 第2节节 空间间点 直线线 平面的位置关系 考试要求 1 借助长方体 在直观认识 空间点 直线 平面的位置关系的基础 上 抽象出空间点 直线 平面的位置关系的定义 2 了解四个公理和一个定 理 知 识 梳 理 1 平面的基本性质 1 公理1 如果一条直线上的 在一个平面内 那么这条直线在此平面内 2 公理2 过 的三点 有且只有一个平面 3 公理3 如果两个不重合的平面有 公共点 那么它们有且只有一条过该 点的公共直线 两点 不在同一条直线上 一个 2 空间点 直线 平面之间的位置关系 直线与直线直线与平面平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言a ba 相交关系 图形语言 符号语言a b
2、Aa A l 独有关系 图形语言 符号语言a b是异面直线a 3 平行公理 公理4 和等角定理 平行公理 平行于同一条直线的两条直线 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行 那么这两个角 4 异面直线所成的角 1 定义 设a b是两条异面直线 经过空间任一点O作直线a a b b 把a 与b 所成的 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 互相平行 相等或互补 锐角 或直角 微点提醒 1 公理2的三个推论 推论1 经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面 2 两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时
3、容易忽视这个三角形的内角可能 等于两异面直线所成的角 也可能等于其补角 基 础 自 测 1 判断下列结论正误 在括号内打 或 1 两个平面 有一个公共点A 就说 相交于过A点的任意一条直线 2 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 3 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 4 若直线a不平行于平面 且a 则 内的所有直线与a异面 解析 1 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的 公共直线 故错误 3 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面相交或重合 故错误 4 由于a不平行于平面 且a 则a与平面 相交 故平面 内有与a相交的直线 故错误 答案 1 2 3 4
4、2 必修2P52B1 2 改编 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是AB AD的中点 则异面直线B1C与EF所成角的大小 为 A 30 B 45 C 60 D 90 解析 连接B1D1 D1C 则B1D1 EF 故 D1B1C为所求的角 又B1D1 B1C D1C D1B1C 60 答案 C 3 必修2P45例2改编 已知空间四边形的两条对角线相互垂直 顺次连接四边中点的 四边形一定是 A 梯形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 解析 如图所示 易证四边形EFGH为平行四边形 因为E F分 别为AB BC的中点 所以EF AC 又FG BD 所以 EFG或其 补角为AC与
5、BD所成的角 而AC与BD所成的角为90 所以 EFG 90 故四边形EFGH为矩形 答案 B 4 2019 聊城调研 是一个平面 m n是两条直线 A是一个点 若m n 且 A m A 则m n的位置关系不可能是 A 垂直 B 相交 C 异面 D 平行 解析 依题意 m A n m与n异面 相交 垂直是相交的特例 一定不 平行 答案 D 5 一题多解 2017 全国 卷 如图 在下列四个正方体中 A B为正方体的两个顶点 M N Q为所在棱的中点 则在这四个正方体中 直线AB与平面MNQ不平行的 是 解析 法一 对于选项B 如图 1 所示 连接CD 因为 AB CD M Q分别是所在棱的中点
6、 所以MQ CD 所以 AB MQ 又AB 平面MNQ MQ 平面MNQ 所以AB 平面 MNQ 同理可证选项 C D中均有AB 平面MNQ 因此A项中直线 AB与平面MNQ不平行 图 1 图 2 法二 对于选项A 其中O为BC的中点 如图 2 所示 连接OQ 则OQ AB 因为OQ与平面MNQ有交点 所以AB与平面MNQ 有交点 即AB与平面MNQ不平行 答案 A 6 2018 宁波月考 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为棱AA1 CC1的中点 则 在空间中与三条直线A1D1 EF CD都相交的直线有 条 解析 在EF上任意取一点M 如图 直线A1D1与M确定一个平面 这个平
7、面与CD有且仅有1个交点N 当M取不同的位置就确定不同的平面 从而与CD有不同的交点N 而直线MN与这3条异面直线都有交点 故在空间中与三条直线A1D1 EF CD都相交的直线有无数条 答案 无数 考点一 平面的基本性质及应用 例1 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是AB和AA1的中点 求证 1 E C D1 F四点共面 2 CE D1F DA三线共点 证明 1 如图 连接CD1 EF A1B 因为E F分别是AB和AA1的中点 又因为A1D1綉BC 所以四边形A1BCD1是平行四边形 所以A1B CD1 所以EF CD1 所以EF与CD1确定一个平面 所以E F C D
8、1 即E C D1 F四点共面 所以四边形CD1FE是梯形 所以CE与D1F必相交 设交点为P 则P CE 平面ABCD 且P D1F 平面A1ADD1 所以P 平面ABCD且P 平面A1ADD1 又因为平面ABCD 平面A1ADD1 AD 所以P AD 所以CE D1F DA三线共点 规律方法 1 证明点或线共面问题的两种方法 1 首先由所给条件中的部分线 或 点 确定一个平面 然后再证其余的线 或点 在这个平面内 2 将所有条件分为两 部分 然后分别确定平面 再证两平面重合 2 证明点共线问题 的两种方法 1 先由两点确定一条直线 再证其他各点都在这 条直线上 2 直接证明这些点都在同一条
9、特定直线 如某两个平面的交线 上 3 证明线共点问题的常用方法是 先证其中两条直线交于一点 再证其他直线经 过该点 训练1 如图 在空间四边形ABCD中 E F分别是AB AD的中点 G H分别在 BC CD上 且BG GC DH HC 1 2 1 求证 E F G H四点共面 2 设EG与FH交于点P 求证 P A C三点共线 证明 1 E F分别为AB AD的中点 EF BD GH BD EF GH E F G H四点共面 2 EG FH P P EG EG 平面ABC P 平面ABC 同理P 平面ADC P为平面ABC与平面ADC的公共点 又平面ABC 平面ADC AC P AC P A
10、 C三点共线 考点二 判断空间直线的位置关系 例2 1 一题多解 若直线l1和l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是 A l与l1 l2都不相交 B l与l1 l2都相交 C l至多与l1 l2中的一条相交 D l至少与l1 l2中的一条相交 2 将图 1 中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD 如图 2 则在空间四面体ABCD中 AD与BC的位置关系是 A 相交且垂直 B 相交但不垂直 C 异面且垂直 D 异面但不垂直 解析 1 法一 由于l与直线l1 l2分别共面 故直线l与l1 l2要么都不相交 要 么
11、至少与l1 l2中的一条相交 若l l1 l l2 则l1 l2 这与l1 l2是异面直线矛 盾 故l至少与l1 l2中的一条相交 法二 如图 1 l1与l2是异面直线 l1与l平行 l2与l相交 故A B不正确 如图 2 l1与l2是异面直线 l1 l2都与l相交 故C不正确 2 折起前AD BC 折起后有AD BD AD DC 所以AD 平面BCD 所以 AD BC 又AD与BC不相交 故AD与BC异面且垂直 答案 1 D 2 C 规律方法 1 异面直线的判定方法 1 反证法 先假设两条直线不是异面直线 即两条直线平行或相交 由假设出发 经过严 格的推理 导出矛盾 从而否定假设 肯定两条直
12、线异面 2 定理 平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直 线 2 点 线 面位置关系的判定 要注意几何模型的选取 常借助正方体为模型 以 正方体为主线直观感知并认识空间点 线 面的位置关系 训练2 1 2018 湘潭调研 下图中 G N M H分别是正三棱柱 两底面为正三角 形的直棱柱 的顶点或所在棱的中点 则表示直线GH MN是异面直线的图形有 A B C D 2 已知空间三条直线l m n 若l与m异面 且l与n异面 则 A m与n异面 B m与n相交 C m与n平行 D m与n异面 相交 平行均有可能 解析 1 由题意 可知题图 中 GH MN 因此直线GH与M
13、N共面 题图 中 G H N三点共面 但M 平面GHN 因此直线GH与MN异面 题图 中 连接 MG 则GM HN 因此直线GH与MN共面 题图 中 连接GN G M N三点 共面 但H 平面GMN 所以直线GH与MN异面 故选C 2 在如图所示的长方体中 m n1与l都异面 但是m n1 所以A B错误 m n2 与l都异面 且m n2也异面 所以C错误 故选D 答案 1 C 2 D 考点三 异面直线所成的角 多维探究 角度1 求异面直线所成的角或其三角函数值 解析 法一 如图 连接BD1 交DB1于O 取AB的中点M 连接DM OM 易知O为BD1的中点 所以AD1 OM 则 MOD为异面
14、直线AD1与DB1所成角 答案 C 角度2 由异面直线所成角求其他量 例3 2 在四面体ABCD中 E F分别是AB CD的中点 若BD AC所成的角为60 且BD AC 1 则EF的长为 解析 如图 取BC的中点O 连接OE OF 因为OE AC OF BD 规律方法 用平移法求异面直线所成角的一般步骤 1 作角 用平移法找 或作 出符合题意的角 2 求角 转化为求一个三角形的内角 通过解三角形 求出角的大小 训练3 2019 杭州模拟 三棱锥A BCD的所有棱长都相等 M N分别是棱AD BC的中点 则异面直线BM与AN所成角的余弦值为 解析 连接DN 取DN的中点O 连接MO BO M是
15、AD的中点 MO AN BMO 或其补角 是异面直线BM与AN所成的角 设三棱锥A BCD的所有棱长为2 在 BMO中 由余弦定理得 答案 D 思维升华 1 主要题型的解题方法 1 要证明 线共面 或 点共面 可先由部分直线或点确定一个平面 再证其余直 线或点也在这个平面内 即 纳入法 2 要证明 点共线 可将线看作两个平面的交线 只要证明这些点都是这两个平 面的公共点 根据公理3可知这些点在交线上 2 判定空间两条直线是异面直线的方法 1 判定定理 平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面 直线 2 反证法 证明两线不可能平行 相交或证明两线不可能共面 从而可得两线异面 3 求两条异面直线所成角的大小 一般方法是通过平行移动直线 把异面问题转 化为 相交直线的夹角 体现了化归思想 易错防范 1 异面直线易误解为 分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线 实质上两 异面直线不能确定任何一个平面 因此异面直线既不平行 也不相交 2 直线与平面的位置关系在判断时最易忽视 线在面内
