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1、线段垂直平分线中一道习题的变式北师大版九年级（上）线段的垂直平分线课后习题1.6中第三题：例1：如图1，在ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，BCE的周长等于50，求BC的长.解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，由此BCE的周长等于AC+BC，进而可以求得BC的长为23.点评：此题是ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分线与BC相交时，(如图2),对应的是ACE的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变.图1图2变式1：如图1，在ABC中， AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若BEC=70，则A=？解析：由线段垂
2、直平分线定理得出AE=BE，可得ABE是等腰三角形，由 “三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得出BEC=2A，进而得出A=35.点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：AEC=2B.变式2：如图3，在RtABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E。若BE=2，B =15求：AC的长。图3解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，应用变式1的结论，可求得AEC =30，再应用“直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半”性质，可出求AC=1.点评：此题为图形变式，由一般三角形变为直角三角形，上面我们总结的结论不变，然后再应用直角三角形的
3、有关性质。变式练习1如图4，在RtABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2，B =22.5求：AC的长.图4提示与答案：AEC是等腰直角三角形,AE=2,再应用勾股定理得AC= 例2: 如图5，在ABC中，AB=AC, BC=12,BAC =120,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1) 求AEN的周长.图5(2) 求EAN的度数.(3) 判断AEN的形状.解析：此题图形为一个顶角是钝角的等腰三角形，两腰的垂直平分线都与底边相交，（1）应用线段垂直平分线定理得出AE=BE，AN=NC，因此AEN的周长等于BC的长.（2）应用变式1的结论AEN=2B
4、=60，ENA=2C=60所以EAN=60.（3）由（2）知AEN是等边三角形.变式练习2:如图6，在ABC中，AB=AC, BC=12,BAC =130,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1) 求AEN的周长.图6(2) 求EAN的度数.(3) 判断AEN的形状.提示与答案：（1）AEN的周长不变.（2）AEN=2B=50，ENA=2C=50所以EAN=80（3）由（2）知AEN是等腰三角形.变式练习3:如图7，在ABC中， BC=12,BAC =100,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1) 求AEN的周长.图7(2) 求
5、EAN的度数.提示与答案：（1）AEN的周长不变.（2）AEN=2B，ENA=2C，因为B+C=80所以AEN+ENA=160所以EAN=20.点评：例2和它的两道变式练习题中发现：三个图形由特殊到一般，从顶角是120的等腰三角形到顶角是钝角的一般的等腰三角形到一般钝角三角形，AEN的形状也不断的变化，EAN的度数也变化，但AEN的周长不变，因此得出结论：1）AEN的周长=BC长.2）AEN的形状变化规律是由等边三角形到等腰三角形到一般三角形，与ABC的形状有关.3）EAN的度数与BAC的度数有关.因为EAN=180-2B-2C=180-2（B+C）=180-2（180-BAC）=2BAC -
6、180.从等式中也得出BAC必须大于90.变式练习4如图8，ABC中, BAC =70, BC=12,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. 求:EAN的度数. 图8答案: EAN=40点评:由上题的方法得出AEC+BNA =2B+2C,由平角性质可得: AEB+CNA=360-(2B+2C),由三角形内角和定理得EAN=180-2BAC 总评：从上述两道例题及变式题中得出无论是图形变化还是题条件变化，都和基本图形及由基本图形得出的结论有关.因此同学们在以后的学习或解题中，善于在复杂图形中找出基本图形，这样就会将图形简单化.应用由基本图形得出的相关结论，就会找出解题
7、思路.1.3.2 三角形三边中垂线交于一点班级：_ 姓名：_一、判断题1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点2.以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必经过另外两个顶点3.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等4.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称二、填空题1.如左下图，点P为ABC三边中垂线交点，则PA_PB_PC.2.如右上图，在锐角三角形ABC中，A=50，AC、BC的垂直平分线交于点O，则1_2，3_4，5_6，2+3=_度，1+4=_度，5+6=_度，BOC=_度.3.如左下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD
8、_DC，点D在_的垂直平分线上. 4.如右上图，在ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则B_1，C_2；若BAC=126，则EAG=_度.5.如左下图，AD是ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则_(HL)；从而BD=DC，则_(SAS)；ABC是_三角形.6.如右上图，BAC=120，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则ADB=_度.三、作图题（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC （2）观察各图中的点P与ABC的位置关系，并总结规律：当ABC为锐角三角形时，点P在ABC的_；当ABC为直角三角形时，点P在ABC的_；当ABC为钝角三角形时，
9、点P在ABC的_；反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.四、类比联想既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.参考答案1.3.2 三角形三边中垂线交于一点一、1. 2. 3. 4. 二、1.= =2.= = = 50 50 80 1003.= AC4.= = 725.BED CED BAD CAD 等腰6.60三、1.略 （2）内部 斜边的中点 外部四、类比联想：略三、线段的垂直平分线班级：_姓名：_作业导航1.线段垂直平分线的性质、作法2.利用线段垂直平分线的
10、性质解决某些实际问题一、填空题1.三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_.2.到线段两端距离相等的点在这条线段的_.3.已知线段AB外两点P、Q，且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与线段AB的关系是_.4.底边AB=a的等腰三角形有_个，符合条件的顶点C在线段AB的_上.5.如图1，直线 l上一点Q满足QA=QB，则Q点是直线l与_的交点.图16.在ABC中，AB=AC=6 cm，AB的垂直平分线与AC相交于E点，且BCE的周长为10 cm，则BC=_ cm.7.在RtABC中，C=90，ACBC，AB的垂直平分线与AC相交于E点，连结BE，若CBEEBA=14，则A=_度
11、，ABC=_度.二、选择题8.下列命题中正确的命题有（ ）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个9.下列作图语句正确的是（ ）A.过点P作线段AB的中垂线B.在线段AB的延长线上取一点C，使AB=BCC.过直线a，直线b外一点P作直线MN使MNabD.过点P作直线AB的垂线10.如图2，在RtABC中，ACB=90，BC的垂直平分线交斜边AB于D，AB=12 cm，AC=6 cm，
12、则图中等于60的角共有（ ）图2A.2个B.3个C.4个D.5个11.ABC中，C=90，AB的中垂线交直线BC于D，若BADDAC=22.5，则B等于（ ）A.37.5B.67.5C.37.5或67.5D.无法确定三、解答题12.已知如图3，在ABC中，AB=AC，O是ABC内一点，且OB=OC，求证：AOBC.图33.在ABC中，AB=AC=a，AB的垂直平分线交AC于D点，若BCD的周长为m，求证：BC=ma.14.如图4，在ABC中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.求证：CM=2BM.图4三、线段的垂直平分线一、1.相等 2.垂直平分线 3.PQ是线段AB的垂直平分线 4.无数 垂直平分线5.AB的中垂线 6.4 7.40 50二、8.A 9.D 10.D 11.A三、12.解：由AB=AC，OB=OC，得AO垂直平分BC，从而AOBC.13.AD=BD，AD+DC=BD+DC=AC=a，BC=ma14.连结AM，AB=AC，BAC=120，B=C=30，MN垂直平分AB，MB=MAB=MAB=30MAC=90，AM=CM，CM=2BM1.3 线段的垂直平分线1.3.1 线段的垂直平分线班级：_ 姓名：_一、判断题1.如图（1），OC=OD直线AB是线段CD的垂直平分线2.如图（1），射成OE为线段CD的垂直平分
