《高三数学第一轮复习：立体几何复习1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学第一轮复习：立体几何复习1（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 立体几何立体几何 专题复习专题复习2 2 一 概念 名称定义图形 两条异面直线 所成的角 直线与平面 所成的角 二面角及它 的 平面角 直线a b是异面直线 经过空间任意 一点o 作直线a b 并使a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的 角 a b o a O是空间中的任意一点 点o常取在两条异面直线中的一条上 b o o o o o 一 概念 名称定义图形 两条异面直线 所成的角 直线与平面 所成的角 二面角及它 的 平面角 直线a b是异面直线 经过空间 任意一点o 作直线a b 并使 a a b b 我们把直线a 和b 所 成的锐角 或直角 叫
2、做异面直 线a和b所成的角 平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的锐角 叫做这条直线和这 个平面所成的角 特别地 若L 则 L与 所成的角是直角 若L 或 L 则L与 所成的角是0 的角 o L B A 一 概念 名称定义图形 两条异面直线 所成的角 直线与平面 所成的角 二面角及它 的 平面角 直线a b是异面直线 经过空间 任意一点o 作直线a b 并使 a a b b 我们把直线a 和b 所 成的锐角 或直角 叫做异面直 线a和b所成的角 从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角 以二面角的 棱上任意一点为端点 在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线 这两 条射线所成的角叫
3、做二面角的平面 角 L o B A 平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的锐角 叫做这条直线和这 个平面所成的角 特别地 若L 则 L与 所成的角是直角 若L 或 L 则L与 所成的角是的角 A L B O 一 概念 名称定义图形 两条异面直线 所成的角 直线与平面 所成的角 二面角及它 的 平面角 直线a b是异面直线 经过空间 任意一点o 作直线a b 并使 a a b b 我们把直线a 和b 所 成的锐角 或直角 叫做异面直 线a和b所成的角 从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角 以二面角的 棱上任意一点为端点 在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线 这两 条射线所成的
4、角叫做二面角的平面 角 L o B A A L B O 平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的锐角 叫做这条直线和这 个平面所成的角 特别地 若L 则 L与 所成的角是直角 若L 或 L 则L与 所成的角是的角 二 数学思想 方法 步骤 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化 即把空间的角转化为平面的角 进而转化为三角形的内 角 然后通过解三角形求得 2 方法 3 步骤 b 求直线与平面所成的角 a 求异面直线所成的角 c 求二面角的大小 作 找 证 点 算 1 数学思想 平移 构造可解三角形 找 或作 射影 构造可解三角形 找 或作 其平面角 构造可解三角形 A1 A B B1
5、 C D C1 D1 F E G 解 如图 取AB的中点G O 证 A1D1 FGAD又AD A1D1 FG 四边形A1GFD1为平行四边形 A1 G D 1F A1G与AE所成的锐角 或直角 就是AE与D1F所成的角 点 算 FG A1G A1G与AE交于O 连结 作 三 例题 例1 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是BB1 CD中点 求AE与D1F所成的角 即直线AE与D1F所成的角为直角 E是BB1的中点 tRA1AGABE AOG 90 GA1A GAO 例2 已知 在矩形ABCD中 AB 4 BC 3 E为DC边上的中点 沿AE折成60 的二面角 分别求DE
6、DC与平面AC所成的角 AB DE 3 4 C 3 4 D E AB C 2 二面角 D AE B 为60 解 如图 1 作DM AE于M 延长DM交CB于N AB CD22 3 4 M E M D E A C B N D D D D D D D F N 图 1 图 2 过D作DF 平面ABCE 连结EF DC CF 沿AE折成60 的二面角后如图 2 于是 DEF是DE与平面ABCE所成的角 DCF是DC与平面ABCE所成的角 A B CD22 3 4 M E N 图 1 E A C B M N F 图 2 D DM AE MN AE DMN 60 且AE 平面 DMN 又 AE 平面ABC
7、E 平面DMN 平面ABCE 从而垂足F在 MN上 F 如图 1 在Rt ADE中 DM ME 在Rt DFM中 DEF 即DE与平面AC所成的角为 A B CD22 3 4 M E N E A C B M N F 图 2 D 图 1 在Rt EFM中 在Rt DFE中 Cos DEF F 在图 1 中 设 EDM 在Rt DME中 DF DM MF 在 DFC中 由余弦定理得 CF DF DC 2DF DC Cos 73 13 在Rt DFC中 即DC与平面AC所成的角为 A B CD22 3 4 M E N E A C B M N F 图 2 D 图 1 F DF 在图 2 中 A B C
8、D22 3 4 M E N E A C B M N F 图 2 D 图 1 F 另外 过D作DF 平面ABCE于F 过F作FM AE于M 连结DM 则DM AE 从而 DMF 60 也可 注 在求解图形翻折问题时 1 分别画好平面图形和翻折后的立体图 字母一定要一致 2 弄清平面图中的量与位置关系在翻折后的变 与不变的情况 3 按题意作出包含已知与未知的图形 然后 计算和证明 B1 A1 C1 A B C 例3 如图 在直三棱柱ABC A1 B1 C1中 BAC 90 AB BB1 1 直 线B1C与平面ABC成30 的角 求二面角B B1C A的余弦值 分析 求二面角B B1C A的度数 要
9、作出平面角 显然二面 角的棱为B1C 故需在B1C上取一点 然后分别在两个面内作垂 直于棱的两条射线 C1 A A1 B1 B C 解 作AN BC于N 则AN 平面 BCC1B1 作NQ B1C于Q 则AQ B1C AQN是二面角B B1C A的平面角 AN BC AB AC AN AB AC BC 3 612 3 AN AQ 又 AC AB1 AQ B1C AC AB1 AQ 1 AB1AC B1C 22 2 3 3 Sin Cos AQN 3 6 AQN Q N A B C A1 C1 B1 另解 AC AB AC AA1 AC 平面AA1B1B 又 AC 平面ACB1 平面ACB1 平
10、面AA1B1B 设E为AB1的中点 连接BE则BE 平面ACB1 作EF B1C于F 连接BF 则BF B1C EFB是二面角B B1C A的平面角 3 3 即二面角B B1C A的平面角的余弦值为 AB BB1 AB1 BE BE AB BB1 AB1 1 1 2 又 BC BB1 B1C BF 2 2 BF BC BB1 B1C 3 2 1 2 3 SinEFB BE BF 2 3 2 2 3 6 CosEFB 3 3 F E B1 B1 例4 如图 已知在正三棱柱ABC 中 侧棱长大于底面边长 M N分别在侧棱AA1 B 上 且 N 2 M 求截面 MN与 底面 所成的二面角的大小 A1
11、B1C1 B1A1A1C1 A1B1C1 分析 由题意平面 MN与平面 的 公 共点是 但二面角没有棱 需要作出 再找平面角 C1 C1B1 A1 C1 A1 B1 C1 A BC N M A1 B1 C1 A BC N M D 解 连结NM并延长交 的延长线于点D 连 结 D 则截面 MN与底面 所成二面 角的棱为 D C1 A1 B1 C1 A1B1C1 C1 在 N D中 N 2 M 且 N M D 2D D 又 为等边三角形 D 180 60 120 D 30 又 60 D 90 即D 又 C 平面 C D D 平面 BC A1 B1B1 A1B1C1 A1C1B1 A1B1B1 A1 A1 C1A1 C1A1B1A1 C1A1 C1B1C1C1B1 C1 A1B1C1 C1C1 C1C1B1 又 N 平面 D N N 是平面 MN与底面所成二面角的平面角 C1 C1C1 C1B1BC C1B1C1 t B1C1 A1B1C1 C1 S S 4 a 6 2 4 a 3 2 2 2 又 在R N 中 B1N B1C1 NC1B1 45 即截面 MN与底面 所成二面角为45 利用面积也可作出Cos 45
