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1、第二讲 参数方程考情分析通过对近几年高考试题的分析可见，高考对本讲知识的考查，主要是以参数方程为工具，考查直线与圆或与圆锥曲线的有关的问题真题体验1(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C. (1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos sin )0，M为l3与C的交点，求M的极径解：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y(x2)设P(x，y)，由题设得消去k得x2y24(y0)所
2、以C的普通方程为x2y24(y0)(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02，)联立得cos sin 2(cos sin )故tan ，从而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4得25，所以交点M的极径为.2(2017江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值解：直线l的普通方程为x2y80.因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，从而点P到直线l的距离d.当s时，dmin.因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值.3(2016江苏高考
3、)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(为参数)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长解：椭圆C的普通方程为x21.将直线l的参数方程代入x21，得21，即7t216t0，解得t10，t2.所以AB|t1t2|.曲线的参数方程与普通方程的互化1.消参的常用方法(1)代入消参法，是指由曲线的参数方程中的某一个(或两个)得到用x(或y，或x，y)表示参数的式子，把其代入参数方程中达到消参的目的(2)整体消参法，是指通过恰当的变形把两式平方相加(或相减、相乘、相除)达到消参的目的，此时常用到一些桓等式，如sin2cos21，sec2tan21，2
4、24等2消参的注意事项(1)消参时，要特别注意参数的取值对变量x，y的影响，否则易扩大变量的取值范围(2)参数方程中变量x，y就是参数的函数，可用求值域的方法确定变量x，y的取值范围例1直线(t为参数)与圆(为参数)相切，则直线的倾斜角等于()A.B.C. D.解析直线(t为参数)化为普通方程为xtan y0.圆(为参数)化为普通方程为(x4)2y24，可得圆心坐标为(4,0)，半径r2.直线(t为参数)与圆(为参数)相切，2，又，解得tan .又为直线的倾斜角，.答案A例2参数方程表示的曲线是什么？解化为普通方程是x2y225，0x5，5y5.表示以(0,0)为圆心，5为半径的右半圆.直线的
5、参数方程及其应用1直线参数方程的标准形式直线参数方程的一般形式为(t为参数)，只有当b0，a2b21时，上述方程组才为直线的参数方程的标准形式，直线经过的起点坐标为M0(x0，y0)，直线上另外两点M1(x1，y1)，M2(x2，y2)对应的参数分别为t1，t2，这时就有|M0M1|t1|，|M0M2|t2|，|M1M2|t1t2|.2直线参数方程的应用直线的参数方程应用十分广泛，特别在计算与圆锥曲线的相交弦的弦长时，可以利用参数的几何意义和弦长公式求解，这样可以避免因运用直线和圆锥曲线的方程所组成的方程组求解导致的烦琐运算，从而简化解题过程，优化解题思路3应用直线的参数方程求弦长的注意事项(
6、1)直线的参数方程应为标准形式(2)要注意直线倾斜角的取值范围(3)设直线上两点对应的参数分别为t1，t2.(4)套公式|t1t2|求弦长例3已知点P(3,2)平分抛物线y24x的一条弦AB，求弦AB的长解设弦AB所在的直线方程为(t为参数)，代入方程y24x整理得：t2sin24(sin cos )t80.因为点P(3,2)是弦AB的中点，由参数t的几何意义可知，方程的两个实根t1，t2满足关系t1t20.即sin cos 0.因为0，所以.所以|AB|t1t2|8.曲线的参数方程及其应用圆心为(a，b)，半径为r的圆(xa)2(yb)2r2的参数方程为(为参数)；长半轴为a，短半轴为b，中
7、心在原点的椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数)，圆、椭圆的参数方程在计算最大值、最小值和取值范围等问题中有着广泛的应用，利用圆、椭圆的参数方程将上述问题转化为三角函数的最值问题，利用三角函数的变换公式可以简化计算，从而避免了繁杂的代数运算例4(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.解(1)曲线C的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30，由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，.(2)直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos ，
8、sin )到l的距离为d.当a4时，d的最大值为 .由题设得，解得a8；当a4时，d的最大值为.由题设得，解得a16.综上，a8或a16. (时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知曲线的方程为(t为参数)，则下列点中在曲线上的是()A(1,1)B(2,2)C(0,0) D(1,2)解析：选C当t0时，x0且y0.即点(0,0)在曲线上2直线xy0被圆(为参数)截得的弦长是()A3 B6C2 D.解析：选B圆的普通方程为x2y29，半径为3，直线xy0过圆心，故所得弦长为6.3当参数变化时，动点
9、P(2cos ，3sin )所确定的曲线必过()A点(2,3) B点(2,0)C点(1,3) D点解析：选B令x2cos ，y3sin ，则动点(x，y)的轨迹是椭圆：1，曲线过点(2,0)4若曲线C的参数方程为参数，则曲线C()A表示直线 B表示线段C表示圆 D表示半个圆解析：选D由得(y1)21，整理得x2(y1)24，由得01，1(y1)1，0x2，1y3，曲线C表示半个圆，故选D.5将曲线的参数方程(t为参数)化为普通方程为()Ax2y216 Bx2y216(x4)Cx2y216 Dx2y216(x4)解析：选D在(t为参数)中，分别将x及y平方作差，得x2y22216t816，由x4
10、24，得x4，故曲线的参数方程化成普通方程为x2y216(x4)6以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos ，则直线l被圆C截得的弦长为()A. B2C. D2解析：选D由题意得，直线l的普通方程为yx4，圆C的直角坐标方程为(x2)2y24，圆心到直线l的距离d，直线l被圆C截得的弦长为22.7若(为参数)，则点(x，y)的轨迹是()A直线x2y0B以(2,0)为端点的射线C圆(x1)2y21D以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析：选D(为参数)，(为参数)，消去参数，得x2
11、(1y)，即x2y20，由x2cos2得0x2，点(x，y)的轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段8参数方程(t为参数)表示的直线与坐标轴的交点坐标为()A(1,0)，(0，2) B(1,0)，(0,1)C(0，1)，(1,0) D(3,0)，(0,3)解析：选D参数方程(t为参数)消去参数t，得xy30，令x0，得y3；令y0，得x3.直线与坐标轴的交点坐标为(0,3)，(3,0)9已知圆的渐开线(为参数)上有一个点的坐标为(3,0)，则渐开线对应的基圆的面积为()A B3C6 D9解析：选D把已知点(3,0)代入参数方程得由得tan ，所以0，代入得，3r(cos 00)，所以r3，
12、所以基圆的面积为9.10已知点(x，y)满足曲线方程(为参数)，则的最小值是()A. B.C. D1解析：选D曲线方程(为参数)化为普通方程得(x4)2(y6)22，曲线是以C(4,6)为圆心，以为半径的圆，表示原点和圆上的点的连线的斜率，如图，当原点和圆上的点的连线是切线OA时，取最小值，设过原点的切线方程为ykx，则圆心C(4,6)到切线ykx的距离d，即7k224k170，解得k1或k，的最小值是1.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上)11双曲线(为参数)的渐近线方程为_解析：双曲线的普通方程为x21，由x20，得y2x，即为渐近线方程答案：y2
13、x12若直线l的参数方程为(tR，t为参数)，则直线l在y轴上的截距是_解析：令x0，可得t1，y1，直线l在y轴上的截距是1.答案：113在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cos ，则圆C的圆心到直线l的距离为_解析：直线l的参数方程(t为参数)化成普通方程为xy10，4cos 即24cos ，即x2y24x0，也即(x2)2y24，表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆圆C的圆心到直线l的距离为.答案：14已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为24cos 30，设点P是曲线C上的一个动点，则P到直线l的距离d的取值范围是_解析：(t为参数)，消去t，得直线l的普通方程为xy20.由曲线C的极坐标方程为24cos 30得曲线C的直角坐标方程为(x2)2y21.设点P(2cos ，sin )(R)，则d，因为R，所以d的
