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1、学习目标1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a，b，c，e间的关系知识点一双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)实轴和虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴；线段B1B2叫作双曲线的虚轴渐近线yxyx离心率e，e(1，)知识点二双曲线的离心率双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率，记为e，其取值范围是(1，)e越大，双曲线的
2、张口越大知识点三双曲线的相关概念1双曲线的对称中心叫作双曲线的中心2实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线方程是yx.1双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点()2双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔()3双曲线x2y2m(m0)的离心率为，渐近线方程为yx.()4平行于渐近线的直线与双曲线相交，且只有一个交点()5等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e.()题型一由双曲线方程研究其简单性质例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程求a，b，c，渐近线解将9y24x236化为标准方程为1，即1，
3、所以a3，b2，c.因此顶点坐标为A1(3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，实轴长2a6，虚轴长2b4，离心率e，渐近线方程为yxx.引申探究求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程解把方程nx2my2mn(m0，n0)化为标准方程为1(m0，n0)，由此可知，实半轴长a，虚半轴长b，c，焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率e，顶点坐标为(，0)，(，0)，所以渐近线方程为yx，即yx.反思感悟由双曲线的方程研究简单性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确
4、定a，b的值(3)由c2a2b2求出c的值，从而写出双曲线的简单性质跟踪训练1求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程求a，b，c，渐近线解把方程9y216x2144化为标准方程为1.由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3；c5，焦点坐标是(0，5)，(0,5)；离心率e；渐近线方程为yx.题型二由双曲线的简单性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)以直线2x3y0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M(3，2)；(3)过点(2,0)，与双曲线1离心率相等；(4)与椭圆1有公
5、共焦点，离心率为.考点双曲线性质的应用题点由双曲线的简单性质求方程解(1)方法一由题意可设所求双曲线方程为4x29y2(0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得32.因此所求双曲线的标准方程为1.方法二由题意可设所求双曲线方程为1(mn0)由题意，得解得因此所求双曲线的标准方程为1.(2)设所求双曲线方程为(0)由点M(3，2)在双曲线上，得，2.故所求双曲线的标准方程为1.(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得，故所求双曲线的标准方程为y21；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得0，b0)因为e，所以a
6、2，则b2c2a25，故所求双曲线的标准方程为1.方法二因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为1(160，b0)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0，b0)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(0，b20)，将点(5,4)代入双曲线方程，得9，双曲线方程为1.题型三与双曲线有关的离心率问题例3设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D3考点双曲线的简单性质题点求双曲线的离心率的值答案B解析考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，则|PF1|PF2|2a，而|P
7、F1|PF2|3b，两式等号左右两边平方后相减，得|PF1|PF2|.又已知|PF1|PF2|ab，ab，得(负值舍去)该双曲线的离心率e.引申探究若本例条件“|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab”改为“若PF1PF2，且PF1F230”，结果如何？解作出满足题意的几何图形(如图)，设点P在双曲线右支上PF1PF2，|F1F2|2c，且PF1F230，|PF2|c，|PF1|c.又点P在双曲线的右支上，|PF1|PF2|(1)c2a，e1.反思感悟求双曲线离心率的常见方法(1)依据条件求出a，c，再计算e.(2)依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化为离心率e的方程
8、求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后，利用e求解跟踪训练3双曲线1(0ab)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c.求双曲线的离心率考点双曲线的简单性质题点求双曲线的离心率的值解依题意，直线l：bxayab0.由原点到l的距离为c，得c，即abc2，16a2b23(a2b2)2，即3b410a2b23a40，321030，解得或3.又0a0，b0)的焦距为4，且经过点(3,2)(1)求双曲线C的方程和其渐近线方程；(2)若直线l：ykx2与双曲线C有且只有一个公共点，求所有满足条件的k的取值考点题点解(1)由题意可知，双曲线的焦点为(2,0)和(2
9、,0)，根据定义有2a2，a1，由以上可知，a21，c24，b23，所求双曲线C的方程为x21.渐近线方程为yx.(2)由得(3k2)x24kx70.当3k20，即k时，此时直线与双曲线相交于一个公共点，符合题意当3k20，即k时，由0得k，此时直线与双曲线相切于一个公共点，符合题意综上所述，符合题意的k的所有取值为，.引申探究本例条件不变，若直线y2xm被双曲线C截得的弦长为2，求实数m的值解设直线y2xm与双曲线C的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x24mxm230，16m24(m23)0，得m1，x1x24m，x1x2m23，|AB|2，解得m，适合m1，故m.反思感悟
10、(1)直线与双曲线位置关系的判定方法通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2bxc0的形式，在a0的情况下考查方程的判别式当0时，直线与双曲线有两个不同的公共点当0时，直线与双曲线只有一个公共点当0，b0)依题意可知c，方程可以化为1，将直线yx1代入，得(72a2)x22a2x8a2a40，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，MN的中点的横坐标为，解得a22，此时0，曲线的方程为1.存在性问题需验证典例已知双曲线2x2y22，过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于点Q1，Q2，且点B是弦Q1Q2的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，请说明理由考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的其他问题解由题意知，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)是双曲线上的两点，则x1x2，且x1x22，y1y22，由两式相减并变形得2，若存在，则直线l为y12(x1)，即y2x1，联立得2x24x30，而80，方程无实根，即直线与双曲线无交点，故不存
