《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的几何性质（第2课时）抛物线的几何性质的应用学案（含解析）新人教B版选修1_1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的几何性质（第2课时）抛物线的几何性质的应用学案（含解析）新人教B版选修1_1（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习目标1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题知识点直线与抛物线的位置关系1直线与抛物线的位置关系与公共点个数位置关系公共点个数相交有两个或一个公共点相切有且只有一个公共点相离无公共点2.直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程k2x22(kbp)xb20的解的个数当k0时，若0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当0时，直线与抛物线有一个公共点；当0)的通径长为2a.()题型一直线与抛物线的位置关系例1已知直线l：yk(x1)与抛物线C：y24x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？解由方程组消去y，得k2x2(2
2、k24)xk20，(2k24)24k416(1k2)(1)若直线与抛物线有两个交点，则k20且0，即k20且16(1k2)0，解得k(1,0)(0,1)所以当k(1,0)(0,1)时，直线l和抛物线C有两个交点(2)若直线与抛物线有一个交点，则k20或当k20时，0，解得k0或k1.所以当k0或k1时，直线l和抛物线C有一个交点(3)若直线与抛物线无交点，则k20且1或k1或k0.设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，y1y2，y1y2.P1P2的中点为(4,1)，2，k3，适合式所求直线方程为y13(x4)，即3xy110，y1y22，y1y222，|P1P2|.方法二设P1(
3、x1，y1)，P2(x2，y2)则y6x1，y6x2，yy6(x1x2)，又y1y22，3，所求直线的斜率k3，所求直线方程为y13(x4)，即3xy110.由得y22y220，y1y22，y1y222，|P1P2|.题型三抛物线性质的综合应用命题角度1抛物线中的定点(定值)问题例3已知点A，B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB.(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点(1)解设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有kOA，kOB.因为OAOB，所以kOAkOB1，所以x1x2y1y20.因为y2px1，y2px2，所以y1y20.因为y1
4、0，y20，所以y1y24p2，所以x1x24p2.(2)证明因为y2px1，y2px2，所以(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，所以，所以kAB，故直线AB的方程为yy1(xx1)，所以yy1，即y.因为y2px1，y1y24p2，所以y，所以y(x2p)，即直线AB过定点(2p,0)反思感悟在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化跟踪训练3如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值证明方法一设AB的斜率为k
5、，则AC的斜率为k.把直线AB的方程y2k(x4)与y2x联立得y2k(y24)，即ky2y4k20.y2是此方程的一个解，2yB，yB，xBy，B.kACk，以k代替k代入B点坐标得C.kBC，为定值方法二设B(y，y1)，C(y，y2)，则kBC.kAB，kAC，由题意得kABkAC，则y1y24，则kBC，为定值命题角度2对称问题例4在抛物线y24x上恒有两点A，B关于直线ykx3对称，求k的取值范围解因为A，B两点关于直线ykx3对称，所以可设直线AB的方程为xkym.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线AB的方程代入抛物线方程，得y24ky4m0，设AB的中点坐标为M(x0，
6、y0)，则y02k，x02k2m.因为点M(x0，y0)在直线ykx3上，所以2kk(2k2m)3，即m.因为直线AB与抛物线y24x交于A，B两点，所以16k216m0，把m代入，化简，得0，所以0，所以0，解得1k0.反思感悟轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系跟踪训练4已知抛物线yx23上存在关于直线xy0对称的相异两点A，B，求A，B两点间的距离解由题意可设l：yxb，把直线方程代入yx23中，得x2xb30.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，y1y2x1bx2b(x1x2)2b2b1.所以AB的中点坐标为，因
7、为该点在直线xy0上所以0，得b1.所以|AB|x1x2|3.所以A，B两点间的距离为3.与抛物线有关的最值问题典例求抛物线yx2上的点到直线4x3y80的最小距离考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线的综合问题解方法一设A(t，t2)为抛物线上的点，则点A到直线4x3y80的距离d2.所以当t时，d有最小值.方法二如图，设与直线4x3y80平行的抛物线的切线方程为4x3ym0，由消去y得3x24xm0，1612m0，m.故最小距离为.素养评析(1)求抛物线上一点到定直线的距离的最值，最常见的解题思路：一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决
8、二是转化两平行线间距离代入两平行线间距离公式可求得(2)探究运算思路，选择运算方法，能提升数学运算能力，同时促进数学思维发展，形成良好的数学运算素养1过点P(0,1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有()A4条B3条C2条D1条答案B解析当斜率不存在时，过P(0,1)的直线是y轴，与抛物线y2x只有一个公共点当斜率存在时，设直线为ykx1.由消去y，得k2x2(2k1)x10，当k0时，符合题意；当k0时，令(2k1)24k20，得k.与抛物线只有一个交点的直线共有3条2已知点A(2,0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|MN|等于
9、()A2B12C1D13答案C解析如图所示，由抛物线定义知|MF|MH|，所以|MF|MN|MH|MN|.由MHNFOA，则，故，则|MH|MN|1，即|MF|MN|1.3已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，设C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.B.C.D.答案D解析点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线x上，2，p4，抛物线C：y28x.设直线AB的方程为xk(y3)2，将与y28x联立，得y28ky24k160，令(8k)24(24k16)0，解得k2或k.当k时，切点在第四象限，与题意不符，舍去将k2代入，得即B(8,8)又F(2,0)，kBF.故选D.4过抛物线y24x的顶点O作互相垂直的两弦OM，ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为_答案16解析由已知设OM的斜率为k，则ON的斜率为.从而OM的方程为ykx，联立方程解得M的横坐标x1.同理可得N的横坐标x24k2，可得x1x216.5已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y2x4所得的弦长|AB|3，求此抛物线的方程解设所求抛物线方程为y2ax(a0)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得4x2(a
